小题应小做 图形巧助力

在高中数学中，数形结合是数学学科中重要的数学思想，往往伴随函数与方程思想、分类讨论思想、特殊与一般思想等，与逻辑推理、数学运算、数学抽象等核心素养相交融.通过对图形的观察与分析，化抽象为直观，化直观为精确，本文以高考试题为例，仅从图形的角度浅谈它在高考小题中的巧用巧做，并列举两道方法类似的高考试题，以期抛砖引玉.

一、图形在函数中的巧用

函数是高中数学最重要的主干知识，也是解决实际生活、生产中的重要模型.初高中所学习的基本初等函数、其组合函数与复合函数，与参数的引入构成了丰富多彩的函数类型，其图象与基本性质相得益彰，图形凸显性质，性质勾勒出图形，相辅相成，尤其是在解决与抽象函数有关问题时，图形发挥出关键作用.

例1 （2020年新高考卷Ⅰ第8题，卷Ⅱ第8题）若定义在R的奇函数f（x）在（－∞，0）单调递减，且f（2）=0，则满足xf（x－1）≥0的x的取值范围是（）.

A.［－1，1］∪［3，+∞）B.［－3，－1］∪［0，1］

C.［－1，0］∪［1，+∞） D.［－1，0］∪［1，3］

分析与解：本题考查函数的奇偶性、单调性以及抽象函数不等式的解法.如图1，先根据题设初步画出函数f（x）的大致图象，再向右平移1个单位长度，再结合xf（x－1）≥0可求得－1≤x≤0或1≤x≤3，故选D.

例2 （2020年北京卷第6题）已知函数f（x）=2x－x－1，则不等式f（x）>0的解集是（）.

A.（－1，1） [WB]B.（－∞，－1）∪（1，+∞）

C.（0，1） D.（－∞，0）∪（1，+∞）

分析与解：本题是函数与不等式的交汇，意图考查转化思想、函数思想、基本初等函数的图象与性质.先由f（x）>0得2x>x+1，转化为指数函数y=2x的图象与直线y=x+1的位置关系问题.如图2，不等式f（x）>0表示的含义是指数函数y=2x的图象在直线y=x+1的上方，因而可得x<0或x>1，故选D.

点评：在解题中，通过图形呈现出函数的性质、关键特征，能迅速求解问题，有事半功倍之效，因此，作出函数对应的大致图形是解题的关键.与例1类似题有2014年新课标卷Ⅱ理科第15题、2017年新课标卷Ⅰ理科第5题，与例2类似题有2019年天津卷文科第8题、2015年北京卷理科第7题.

二、图形在立体几何中的巧用

高考对空间立体几何的考查主要是点线面之间的位置关系、常见几何体的结构特征及其表面积与体积、空间角与距离，还有一些动态问题，主要是应用传统几何方法或建系引入空间向量来求解相关问题.对于立几问题，借助它们的几何特征进行转化，运用有关的性质定理、判定定理或结论、计算公式进行求解.

例3 （2021年新高考卷Ⅱ第10题）如下图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点.则满足MN⊥OP的是（）.

分析与解：对于选项A：平移直线OP至过点N，此时为正方体的对角线，易知该直线与直线MN斜交，不可能是垂直，选项A错误；对于选项B：平移直线OP至该正方体的体对角线位置（前左上方顶点、后右下方顶点），由三垂线定理可知，该直线与直线MN垂直，选项B正确；对于选项C：与选项B的情形相同，选项C正确；对于选项D：平移直线MN至前面，平移直线OP至左侧面，易知两直线斜交，不可能垂直，选项D错误.综上，故选BC.

点评：异面直线所成角的求解方法、有关的定理知识等是求解本题的关键.通过平移直线至同一平面内，或转化为具有明显的几何特征来准确判断两直线的位置关系.类似题有2017年新课标卷Ⅰ文科第6题、2017年新课标卷Ⅲ文科第10题.

例4 （2020年新高考卷Ⅱ第13题）已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，M，N分别为BB1，AB的中点，则三棱锥A1－NMD1的体积为＿＿＿＿＿.

分析与解：如图3，直接求△NMD1的面积及其对应的高比较麻煩，利用等体积法将三棱锥A1－NMD1换顶点与换底面成三棱锥D1－A1NM，此时只需求底面A1NM的面积、确定对应高，即可求体积.△A1NM的面积S=2×2－2×12×2×1－12×1×1=32，又知对应高为A1D1=2，所以三棱锥A1－NMD1的体积V=13×S×A1D1=1.

点评：当直接求几何体的体积比较困难，或遇到动点问题时，往往进行置换顶点（或底面），或等体积（或面积）进行转化，探寻比较容易求解的几何模型.类似题有2015年四川卷文科第14题、2012年山东卷理科第14题.

三、图形在解析几何中的巧用

解析几何主要包括直线、圆、椭圆、双曲线和抛物线，高考重点考查它们的几何性质和位置关系，定义是它们的“根”，妙用平几知识也是破解小题的惯用手段，在解题中能巧妙求解问题，达到小题小做、巧做的目的.

例5 （2012年安徽卷文科第9题）若直线x－y+1=0与圆（x－a）2+y2=2有公共点，则实数a的取值范围是（）.

A.［－3，－1］ B.［－1，3］

C.［－3，1］ D.（－∞，－3］∪［1，+∞）

分析与解：如图4，在直角坐标系中画出直线和圆的大致位置，发现圆心（a，0）在x轴上运动.

（视角1：定性分析）根据图形，显然知道直线与圆相切是临界情形，且均相切时，在x轴正半轴的圆心离原点距离比在x轴负半轴的圆心离原点距离更近，因此根据选项特征，故选C.

（视角2：定量分析）因已知直线的倾斜角为45°，由等腰直角三角形易知直线与圆相切时，圆心（a，0）与点（－1，0）的距离是2，所以a=－3或a=1，故选C.

点评：画出直线与圆在直角坐标系中的大致位置，结合几何特征判断圆在一定范围内运动的情况，通过定性分析或定量分析可得到正确选项.类似题有2012年重庆卷理科第3题、2012年陕西卷理科第4题（文科第6题）.

例6 （2021年全国甲卷理科第15题，文科16题）已知F1，F2为椭圆C：x216+y24=1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|=|F1F2|，则四边形PF1QF2的面积为＿＿＿＿＿.

分析与解：如图5，在直角坐标系中画出椭圆，由|PQ|=|F1F2|可确定F1，F2，P，Q四点在以原点O为圆心、焦半径c为半径的圆上，所以P，Q两点是直角顶点.根据焦三角形面积公式得S=b2tanθ2=4tan45°=4，故四边形PF1QF2的面积为4×2=8.

点评：本题抓住|PQ|=|F1F2|，利用平几知识判断出点P，Q与点F1，F2四点共圆，进而转化为圆与椭圆的相交问题，再借助焦三角形的二级结论求解.类似题有2021年新高考卷Ⅰ第14题、2020年新课标卷Ⅰ文科第11题.

四、图形在概率与统计中的巧用

几何概型、正态分布、古典概型等都有对应的图形或树状图，直方图、叶茎图和散点图等本身就是图形.这些图形有其自身特有的几何特征，在解题中充分借助特征有助于求解相关问题.

例7 （2021年新高考卷Ⅱ第6题）某物理量的测量结果服从正态分布N（10，σ2），下列结论中不正确的是（）.

A.σ越小，该物理量在一次测量中在（9.9，101）的概率越大

B.σ越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5

C.σ越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等

D.σ越小，该物理量在一次测量中落在（9.9，10.2）与落在（10，10.3）的概率相等

分析与解：如图6，对于选项A：σ为数据的标准差，σ越小，数据在μ=10附近越集中，所以测量结果落在（9.9，10.1）内的概率越大，选项A正确；对于选项B：由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为0.5，选项B正确；对于选项C：由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等，选项C正确；对于选项D：因为该物理量一次测量结果落在（9.9，10）的概率与落在（10.2，10.3）的概率不同，所以一次测量结果落在（9.9，10.2）的概率与落在（10，10.3）的概率不同，选项D错误.综上，故选D.

点评：本题破解之道就是利用正态分布密度曲线的对称性求解，通过作出大致图象即可解决问题.类似题有2015年山东卷理科第8题、2011年湖北卷理科第5题.

例8 （2021年全国乙卷理科第8题）在区间（0，1）与（1，2）中各随机取1个数，则两数之和大于74的概率为（）.

A.79 B.2332 C.932 D.29

分析与解：如图7，在平面直角坐标系xOy中，不妨设x∈（0，1），y∈（1，2），则它们组成一个边长为1的正方形；而x+y>74表示的区域是在直线x+y=74的右上方，根据几何概型有P=1－12×34×341×1=2332，故选B.

点评：线性规划知识与几何概型相结合，体现知识的交汇性，通过简单地作出图象能够迅速得出它们的面积之比.类似题有2016年新课标卷Ⅰ理科第4题、2015年湖北卷理科第7题.

五、图形在平面向量中的巧用

平面向量既有大小又有方向，具有“数”和“形”的天然特征，是一座有效沟通各知识模块的“优质”桥梁，在解决很多数学问题时，可借助平面向量巧妙求解，让人耳目一新，豁然开朗.

例9 （2020年新高考卷Ⅱ第3题）在△ABC中，D是AB边上的中点，则CB=（）.

A.2CD－CA B.2CA－CD

C.2CD+CA D.2CA+CD

分析与解：本题考查平面向量的基本定理，会用某一组基底表示平面内的任一向量.如图8，画出△ABC，过点B分别作AC，CD的平行线，分别交直线CD，AC于点N，M.由于D是边AB的中点，所以CM=CA，CD=DN，因此CB=CM+CN=－CA+2CD，故选A.根据中位线也可写出CD=12（CA+CB），反解得CB=2CD－CA.

点评：三角形法则和平行四边形法则是向量加减运算的重要依据，命题者往往会结合等分点或角平分线等进行考查，此时，善用平几知识，结合图形能迅速求解问题.类似题有2018年新课标卷Ⅰ理科第6题（文科第7题）、2015年新课标卷Ⅰ理科第7题.

例10 （2020年新高考卷Ⅰ第7题）已知P是边长为2的正六邊形ABCDEF内的一点，则AP·AB的取值范围是（）.

A.（－2，6） B.（－6，2） C.（－2，4） D.（－4，6）

分析与解：本题考查平面向量的数量积运算.根据数量积的几何意义知AP·AB表示AP在AB方向上的投影与|AB|的积.如图9，点P运动到点C位置时，投影最大；点P运动到点F位置时，投影最小.计算得AC·AB=2×23×cos30°=6，AF·AB=2×2×cos（－120°）=－2，因此AP·AB∈（－2，6），故选A.

点评：求解数量积问题时，除了运用定义式a·b=|a||b|cosθ，还要注意它的几何意义和极化恒等式的应用，这可能会成为命题者反套路的一种新命题方式，因此解题时，若无法直接用定义式求解，不妨结合图形，运用数量积的几何意义进行求解.类似题有2017年北京卷文科第12题、2013年新课标卷Ⅱ理科第13题（文科第14题）.

图形具有优美性、对称性、和谐性与独特性，可以直观地将问题呈现出来，有助于解决问题，但不一定能完全展示出本质特征.数学家华罗庚曾精辟论述“数缺形时少直观，形缺数时难入微”、“以形助数”、“以数助形”.数学是严谨的，图形的形状、大小及位置的判断，需要数量来弥补，数是形的抽象概括，形是数的直观表达，因此充分利用图形和具体的数量关系等求解数学问题，激发学生学数学的热情，从心理上认同、走进数学，不会害怕数学运算，提高学好数学的积极性，往往会有“柳暗花明又一村”的完美境界，体验解题成功的喜悦感和成就感.

参考文献

［1］中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［S］.人民教育出版社，2020.

［2］谢盛富.善用平几知识妙解圆锥曲线问题［J］.福建中学数学，2020（2）：31-33.

本文系2021年新罗区教育科研重点课题“新教材背景下提高数学运算能力的策略研究”（编号：XL1452022072）的阶段性研究成果.