渐开线变厚齿轮的承载力优化设计

陈育明

(黎明职业大学 智能制造工程学院,福建 泉州 362000)

在轴线方向上,渐开线变厚齿轮的变位系数随截面不同而变化,且齿根圆、齿顶圆及齿厚都具有一定锥度。因渐开线变厚齿轮可以通过调整轴向位移来调节齿轮副的啮合间隙,在理论上可实现零回差,被广泛应用于精密机器人、高速游艇和四驱汽车等领域。相较于传统渐开线齿轮,变厚齿轮啮合传动过程中的轮齿间接触状态更复杂,其齿面负载能力不高,啮合刚度也不足。因此,在输入功率较大的传动中,往往无法采用变厚齿轮。为此,国内外一些学者采用数学建模、有限元分析、安装误差分析等方法对渐开线变厚齿轮的承载力展开了研究。倪高翔等[1]建立了渐开线变厚齿轮的节圆锥几何数学模型,研究了安装误差、载荷和几何参数等刚度影响因素。毛汉成等[2]建立了一种变厚齿轮啮合刚度的求解数学模型,采用有限元分析法对模型进行计算,并对结果进行比较。李刚[3]计算出了变厚齿轮时变啮合刚度和齿侧间隙2个参数,在此基础上优化了变厚斜齿轮,并系统地比较优化前后的传动误差和接触应力。石珍等[4]建立了变厚齿轮传动过程中齿面接触的数学模型,定量分析了接触应力的分布,并用有限元法对接触模型进行验证。

本文在轮齿接触分析、承载分析和啮合刚度分析的基础上,综合考虑影响接触应力和啮合刚度的因素,提出一种以渐开线变厚齿轮结构参数为变量、接触应力和啮合刚度为目标函数的优化方法,调用Matlab软件优化工具箱中的遗传算法进行计算,并以变厚齿轮减速器的实例证明该方法的可行性,旨在为提高渐开线变厚齿轮的承载性能提供新的思路。

1 渐开线变厚齿轮啮合力计算

(a) 点接触 (b) 接触椭圆

(1)

(2)

(3)

(4)

接触椭圆方程为:

Aζ2+Bη2=±λ

(5)

λ=λ1+λ2

(6)

(7)

(8)

(9)

根据赫兹接触应力公式,接触区域近似椭圆的短轴半长b可用如下公式计算:

(10)

静态接触应力σH0可用如下公式计算:

(11)

其中,辅助参数Δ可表示为:

(12)

式(12)中,v为泊松比;E为弹性模量。

根据式(7)～(9),可求出参数A、B以及B/A;再根据文献[5]中B/A的比值与参数cb、cσ之间的关系表,确定参数cb、cσ;根据式(10)和(11)可求得b和σH0。因此,求解渐开线变厚齿轮齿面接触应力的关键是确定轮齿齿面的主曲率和主方向,而变厚角(又称切削角)是确定主曲率和主方向的重要指标。

2 变厚齿轮轮齿啮合复合刚度的确定

在完整的啮合过程中,齿轮各对参与啮合的轮齿存在不同刚度的综合作用,即轮齿啮合复合刚度。轮齿啮合复合刚度主要由单齿变形、对齿复合变形和重合度等因素决定。其中,单齿变形是啮合时单齿在外力作用下的弹性变形;对齿复合变形是啮合过程中一对轮齿各弹性变形的总效应,可表示为:

δ=δ1+δ2

(13)

式(13)中,δ1、δ2分别为参与啮合的两轮齿复合弹性变形,mm。

单对齿轮轮齿啮合复合刚度可表示为:

(14)

(15)

式(14)中,K1、K2分别为参与啮合的两轮齿的刚度,N/mm。

确定轮齿的啮合复合刚度的关键在于求解轮齿弹性变形。根据材料力学理论,齿轮轮齿一端固定在轮圈上,另一端自由,可将其视为截面按一定规律变化的悬臂梁。在齿轮啮合过程中,悬臂梁会产生弯曲弹性变形和剪切弹性变形,啮合齿面会产生接触变形,基础弹性变形会导致附加变形,这些变形均为轮齿复合弹性变形的基本组成。

2.1 变厚齿轮轮齿的基本变形

变厚齿轮轮齿可简化成悬臂梁结构进行分析,简化后的变厚齿轮轮齿如图2所示。由于变厚齿轮沿径向和轴向的截面均会变化,可采用微元法计算轮齿的基本变形,即将轮齿分成数量足够的微元,图2中的阴影部分是其中1个微元i。每个微元均被视为1个独立的悬臂梁,各个微元变形的效应总和即为载荷作用点处的总变形。

图2 简化后的变厚齿轮轮齿

设作用在微元上的载荷为Fj,微元的面积为Ai,厚度为Ti,微元i与受力点在x方向上的距离为Lij,抗弯刚度为EIi,载荷Fj与j轴间的夹角为βj,微元由于Fj的作用产生弯矩,则该弯矩引发的变形为:

(16)

(17)

微元由于Fj的作用产生横向力,则该横向力引发的变形为:

(18)

由微元i引发的剪切变形为:

(19)

(20)

与普通圆柱齿轮不同,变厚齿轮轮齿微元i沿轴向的横截面为梯形。因此,上式中的Ii、Ai应按下式计算:

(21)

(22)

式(21)～(22)中,Sib为微元i的大端齿厚,mm;Sis为微元i的小端齿厚,mm;B为变厚齿轮齿宽,mm;σ为变厚齿轮齿根倾角,°。

在载荷方向上,轮齿由于Fj作用产生的总变形为:

(23)

2.2 变厚齿轮齿根的附加变形

实际工程中,理想的刚性连接并不存在,轮齿的根部实际固定在弹性轮圈上,轮圈的弹性变形会引发啮合点产生附加变形,因此在讨论综合变形时必须加以考虑。其变形量计算如下:

(24)

Lf=xj-xm-yjtanβj

(25)

Hf=2ym

(26)

2.3 变厚齿轮齿面的接触变形

齿面接触变形公式如下:

(27)

根据材料力学理论,对上述3种变形求和,可得啮合点综合变形:

δj=δmj+δbj+δcj

(28)

3 渐开线变厚齿轮承载力优化模型

3.1 设计变量

在变厚齿轮的齿数、传动角、端面齿顶高系数、端面径向间隙系数已知的条件下,影响目标函数的变量主要有变厚角θ、齿宽B、端面变位系数ξi(i=1,2)。由此可得影响目标函数的主要设计变量可表示为:

X=(x1,x2,x3)T=(θ,B,ξi)T

(29)

3.2 目标函数

确定啮合应力的目标函数时,只考虑结构参数变量,把其余相关值作为定值处理。接触应力最小的目标函数为:

(30)

同理,确定啮合刚度的目标函数时,只考虑结构参数变量,其余相关值取与确定啮合应力的目标函数时进行相同的定值处理。接触刚度最大的目标函数为:

(31)

变厚齿轮的承载能力优化涉及的优化目标有2个,即应力最小化和刚度最大化。因其目标函数量纲不同,结果相差也很大,需要对应力和刚度目标函数作无量纲处理。在此基础上,对目标函数采用加权法,将2个目标函数统一为1个目标函数。

F(x)=ω1f1(x)-ω2f2(x)

(32)

(33)

(34)

(35)

式(32)～(35)中,ωi为将子目标函数统一在单目标函数中所占的比重。

3.3 约束条件

1)θ的约束条件。在精确传动机构中,为了能够严格控制轮齿啮合间隙,以实现精准传动,变厚齿轮必须能够实现实时调整和检查。因此,θ的大小必须能够微调,θ的约束条件一般为2°<θ<6°。

2)变厚齿轮啮合不根切的约束条件。为使变厚齿轮不产生根切,其齿数不能小于最小齿数。当齿轮加工刀具为齿条插刀时,变厚齿轮啮合不根切的齿数约束条件为:

(36)

当齿轮加工刀具为齿轮插刀时,变厚齿轮啮合不根切的齿数约束条件为:

(37)

3)大端变位系数的约束条件。为保证不产生根切,大端变位系数ξ2的约束条件为:

(38)

4)B的约束条件。为了提高齿轮的强度,变厚齿轮齿宽的约束条件为:

(39)

式(39)中,m为变厚齿轮的模数。

5)变厚齿轮啮合时的约束条件。啮合时的变厚齿轮接触应力由式(11)计算,变厚齿轮的最大接触应力σH0max小于许用接触应力[σH0],变厚齿轮啮合的约束条件为:

(40)

3.4 优化算法

相对于常规的优化算法,遗传算法结构简单,可直接操作结构对象,优化结果更佳,计算速度更快。遗传算法流程如图3所示。

图3 遗传算法流程

4 实例分析

以RV-30AⅡ型渐开线变厚齿轮减速器变厚外齿轮为例进行优化设计。其基本参数为:传动比i=121,输入功率P=1.71 kW,输出转矩T=300 N·mm,输出转速n=30 r/min[6]。运用Matlab遗传算法求解上述优化数学模型,结果见表1。变厚外齿轮啮合全程中,单个轮齿参与啮合的转角为35°。变厚齿轮优化前后接触应力和啮合刚度对比图分别如图4和图5所示。

表1 变厚外齿轮的优化结果

图4 变厚齿轮优化前后接触应力对比图

图5 变厚齿轮优化前后啮合刚度对比图

从图4和图5可以看出,优化前后相比较,单个轮齿从参与啮合开始(以0°记)在啮合轮齿转过10°处,接触应力降低的比例最大,降低27%;在啮合轮齿转过30°处,接触应力降低的比例最小,降低2.78%。在啮合轮齿转过25°处,啮合刚度增加的比例最大,增加了29.74%;在啮合轮齿转过35°处,啮合刚度增加的比例最小,增加了3.57%。对比结果表明,变厚齿轮的变厚角、大端变位系数、节锥角等参数经优化修改后能显著提升齿轮轮齿的承载能力。轮齿啮合过程中,啮合转角10～25°处,接触应力相对较低、啮合刚度相对较大,为理想的承载区域。

5 结论

通过分析变厚齿轮轮齿的接触应力和啮合刚度,建立了接触应力最小、啮合刚度最大的优化数学模型,应用遗传算法进行求解,获得一组最佳参数。优化后的接触应力降低,啮合刚度增加,有效增加了变厚齿轮的承载性能,为变厚齿轮传动系统的设计提供了一种新的方法。