聚焦圆锥曲线问题中的“同构法”——以近五年高考圆锥曲线试题为例

焦永垚

(甘肃省兰州市第六中学)

1.问题的提出

高中平面解析几何中的圆锥曲线问题是高考重点考查的内容,是高考考查学生核心素养的重要载体,对学生的数学运算能力有较高的要求.对于此类问题,学生通常将直线方程与圆锥曲线方程联立,再利用韦达定理求解.但在具体解答过程中,往往计算量非常大且繁杂,使很多考生半途而废.笔者发现,对于很多圆锥曲线高考题,如果运用“同构法”解决,可以简化运算步骤,优化解题过程,提高解题的成功率.

2.初探“同构法”

(Ⅰ)求l的斜率;

设直线PQ的方程为mx+ny=1(2m±n≠1),将点P,Q的坐标代入化简得

反思：上述解题过程中蕴含着一种重要的思想方法,就是“同构”思想.同构思想是高中数学中一种重要的思想方法,在数列、不等式、方程、函数及解析几何中都有着非常广泛的应用,是解决数学问题的一把利器.在数学上,我们把结构相同的两个式子称为“同构式”,把不同的数学结构转化为相同的数学结构的思想方法称为同构法.在解析几何中,我们通常可以利用一些点、线所具有的“形”的共同特征构造同构式,再利用“整体消元”解决问题.此题中由于点P,Q的坐标结构相同,且都在直线l上,所以将P,Q的坐标代入l的方程,得到两个同构式,将“k”视作主元整理成一元二次方程,再利用韦达定理得到结果.可以看出,在解析几何中,“同构法”的中心思想就是“设而不求” “整体消元”,从而避免复杂的运算,这是解决解析几何复杂问题的基本思路.本题中“点P,Q都在直线l上”这一“形”的“对等”性是构造同构式的关键.

下面笔者以近五年部分圆锥曲线高考题为例,从四个方面阐述“同构法”的解题应用.

3.“同构法”在高考圆锥曲线题中的应用

3.1 根据“圆锥曲线上的两点在同一直线上”构造同构式

(Ⅰ)求椭圆E的方程;

(Ⅱ)过点P(-2,1)作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B,C,直线AB,AC分别与x轴交于点M,N.当|MN|=2时,求k的值.

由直线AB,AC的方程可得M(-m1,0),N(-m2,0),

解得k=-4.

【评注】从上述解法可以看出,此题本质上与例1相同,根据“椭圆上的两点B,C在同一直线上”构造同构式,大大简化了运算过程.将直线AB,AC的方程设为x=m1(y-1)和x=m2(y-1)的形式而非斜截式,成功避免了对其斜率存在性的讨论,从而减少了运算量.

3.2 根据“两个点在同一圆锥曲线上”构造同构式

【例3】(2018·北京卷·19)已知抛物线C:y2=2px经过点P(1,2),过点Q(0,1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A,B,且直线PA交y轴于M,直线PB交y轴于N.

(Ⅰ)求直线l的斜率的取值范围;

解析：(Ⅰ)直线l的斜率的取值范围是(-∞,-3)∪(-3,0)∪(0,1).(过程略)

设直线l的方程为y=kx+1(由(Ⅰ)知k≠1),

【例4】(2018·浙江卷·21)如图,已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点,抛物线C:y2=4x上存在不同的两点A,B满足PA,PB的中点均在C上.

(Ⅰ)设AB的中点为M,证明:PM垂直于y轴;

【评注】例3中的点A,B在直线l上,从而点A,B的坐标结构相同,再根据“点A,B都在抛物线C上”这一“形”的对等构造出关于λ和μ的同构方程.例4则是根据“PA,PB的中点都在抛物线C上”这一“形”的对等构造出关于y1和y2的同构方程,最后运用韦达定理完成解答.此解法摆脱了“将直线方程与抛物线C的方程联立”的思维定式,运用“设而不求”和“整体代换”的思想优化了解题过程.

3.3 根据“两条直线与圆锥曲线有相同的位置关系”构造同构式

【例5】(2021·全国乙卷理·21)已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,且F与圆M:x2+(y+4)2=1上点的距离的最小值为4.

(Ⅰ)求p;

(Ⅱ)若点P在M上,PA,PB是C的两条切线,A,B是切点,求△PAB面积的最大值.

解析：(Ⅰ)p=2.(过程略)

【评注】此题为抛物线中的阿基米德三角形问题,“联立切线方程与圆锥曲线方程,消元,则Δ=0”,这是解决此类问题的通法.由两条切线得到两个判别式,从而构造出关于k1和k2的同构方程,再利用韦达定理求解.由于该题为开口向上的抛物线切线问题,所以也可用求导的方法解决,通过求导得到切线的斜率,再利用斜率公式得同构方程x0x1-2y1-2y0=0和x0x2-2y2-2y0=0,从而得到直线AB的方程.同为同构法,但同构法二比同构法一思维更为灵动,过程更为简捷.

【例6】(2021·全国甲卷理·20)抛物线C的顶点为坐标原点O,焦点在x轴上,直线l:x=1交C于P,Q两点,且OP⊥OQ.已知点M(2,0),且⊙M与l相切.

(Ⅰ)求C,⊙M的方程;

(Ⅱ)设A1,A2,A3是C上的三个点,直线A1A2,A1A3均与⊙M相切.判断直线A2A3与⊙M的位置关系,并说明理由.

解析：(Ⅰ)C的方程为y2=x,⊙M的方程为(x-2)2+y2=1.(过程略)

当A1,A2,A3三点都不是坐标原点时,如图,

综上所述,直线A2A3与⊙M的位置关系为相切.

【评注】此题是一道以彭赛列闭合定理为背景的高考题,由于直线A1A2和A1A3与⊙M有相同的位置关系(相切),所以它们的方程结构相同,由“圆心到直线的距离等于1”构建出点A2和A3所满足的同构方程,思路新颖独特,过程简便快捷.

3.4 根据“两条直线过同一个点”构造同构式

对于前文的例5,我们也可根据“切线PA和PB过同一点P”构造同构方程.

我们再来看一道以抛物线中的阿基米德三角形为背景的高考题.

(Ⅰ)证明:直线AB过定点;

【评注】能够用“同构法”解决的圆锥曲线高考题还有很多,如2022年浙江卷第21题、2020年全国Ⅰ卷理科第20题、2020年山东卷第22题等等,有兴趣的读者可以自己尝试,本文不再赘述.

4.结束语