传统与创新并存 情境与问题共生——2022年高考数学试题分析

张建文

(甘肃省岷县第一中学)

在数学命题中,合适的情境与问题是考查学生数学学科核心素养的重要载体.情境包括现实情境、数学情境和科学情境,每种情境可以分为熟悉的、关联的和综合的;问题是指情境中的问题,从学生的认识角度分为:简单的问题、较为复杂的问题和复杂的问题.2022年高考数学试题既有传统试题也有创新试题,每一个试题都依托于特定的数学情境,每一个问题都是对情境当中数学元素之间关系的考察.下面笔者重点论述在高考题目当中,情境的呈现方式以及问题设置方法.

1.情境与问题的关系

1.1 情境是产生问题的环境

良好的情境主要体现在数学元素的清晰而确定,数学元素之间的关系明确而有序,其中蕴含着必要的数学原理和数学思想方法,能够达到训练学生思维的效果.数学情境是最主要的一类情境,是落实数学核心素养的沃土,中学数学为了增加数学的趣味性和适切性,也会出现一部分现实情境和科学情境.不同类型的情境对学生的思维训练价值有所区别,数学情境当中可以提供多种类型的思维训练方式,现实情境主要提供数学抽象训练,而科学情境主要从情感教育角度出发,帮助学生梳理正确价值观.

1.2 问题是情境的关系反映

恰到好处的情境设置必然需要配套良好的问题,而问题是情境的关系反应,更是思维发展的索引.情境中的问题通常有以下几类:①直接呈现型,就是对情境进行全面深入解读之后自然得到的结果设置问题,这种类型的问题不是难点,而难点在于情境解读;②补充延伸型,对原有情境增加部分条件,在此基础上设置问题,这就需要将新增加的条件结合到原有情境中重新解读,此时的问题就类似于直接呈现型问题;③辅助指引型,这种类型的问题自身暗含条件,能够使得原情境更加具体化,就其问题价值而言,辅助指引型的问题设置更具有思维价值,这种类型的问题本身没有增加新的条件,但是问题本身却使得情境更加具体,例如全国卷乙卷第9题中的问题设置就是这种类型.

1.3 情境与问题相辅相成

良好的情境能够孕育出高质量的问题,高质量的问题一定依赖于好的情境,2022年高考数学卷在情境创设与问题设置上,即保持传统的试题命制风格又体现素养考查的动向.

情境与问题是共生依存的,情境是问题存在的前提,问题是情境中数学元素之间关系的具体表述,先有情境描述后有问题引导,相同的情境可以设置多样化的问题,相同的问题可以依赖不同的情境.情境为学生的思维发展提供了良好的土壤,帮助学生培养数学核心素养,高质量的学习重心在于对情境的准确而深入的解读.问题使得学生在思考的同时能够获得学习的成就感.问题的另一个价值就是检测学生的学习效果,这是显性可测的,能够有效调整学生的思考方式,获得良好的学习方法.

2.情境分类

按照数学情境、现实情境和科学情境三类表述,2022年高考真题中数学情境占比最大,现实情境和科学情境数量较少.本文中的数学情境主要选取全国卷乙卷中的选择填空题进行说明,现实情境和科学情境则选取全国卷甲卷、乙卷、新高考Ⅰ卷和Ⅱ卷进行说明.

2.1 数学情境

数学情境是体现数学元素之间相互关系的情境,一般是先描述情境中的数学元素,再描述数学元素之间的相互关系,数学情境中的数学元素主要是指代数对象或几何中的点线面体等.数学情境是数学考题中出现频率最高的情境,是读者学习数学的主要载体.逻辑推理是数学的灵魂,而数学情境中进行的主要活动就是逻辑推理,通过逻辑推理在不同的数学元素之间建立联系,得出新的数学结论,逻辑推理的深度决定了对数学情境的理解深度,从而决定了对思维的训练效度.

按照情境的关联程度,数学情境可以分为熟悉的数学情境、关联的数学情境以及综合的数学情境.按照情境的复杂程度,可以分为简单的数学情境、较复杂的数学情境以及复杂的数学情境.学生的推理能力越强,对情境的认识越深刻,数学思维训练效果越好.试题中出现的大多数是数学情境,如全国乙卷理科1,2,3,5,7,8,9,11,12,14,15,16题等,关联程度都是熟悉的,复杂程度一般都不高.

2.1.1 数学情境中的较复杂情境

【例1】选自2022·全国乙卷理·11

情境描述：设双曲线C的焦点在x轴上,F1,F2为其左、右焦点,过左焦点F1的切线与双曲线相交,有两种情形:

(1)切线与双曲线的两支相交,如图1;(2)切线与双曲线的一支相交,如图2.

图1

图2

情境解释：(1)当切线与双曲线的两支相交时,设切点为P,过F2作切线的垂线,垂足为H,连接OP,如图3.设NF1=m,NF2=n,则m-n=2a.Rt△F1OP与Rt△F1F2H相似,且O为F1F2的中点,OP=a,所以F2H=2a.

图3

(2)当切线与双曲线的左支相交时,设切点为P,连接OP,过F2作切线的垂线,垂足为H,如图4.

图4

问题设置：1.围绕a,b,c的比值进行设置,或是在其基础上进行延伸或变换:

①求a,b,c的比值;②求双曲线的离心率;③求双曲线的渐近线方程.

2.增加限定条件确定切线交点情况:当切线与双曲线的左支相交时,

①求双曲线的渐近线方程;②求双曲线的渐近线夹角的余弦值和正弦值;

③判断直线y=2x与双曲线有几个交点;④当a=3时,求双曲线的方程.

此情境是较复杂的数学情境,是以文字描述的形式来体现的几何情境,需要我们根据文字描述将几何情境直观化,再去分析几何情境中量和量之间的关系.确定这个几何情境的关键是要明确切线与双曲线的交点情况,然后在焦点三角形中分析a,b,c之间的关系,在此基础上可以设置各种问题.当然,问题的顺利解答是情境充分理解的必然结果,情境理解的是否准确和全面直接决定问题解答的结果.常言道“以不变应万变”就是以情境的充分理解来解答此情境下产生的各种问题,所以启示教师在教学过程中要特别注重对情境的全方位理解,引导学生关注情境分析的过程,从而优化教法学法.

2.1.2 数学情境中的复杂情境

【例2】选自2022·全国乙卷理·12

情境呈现：已知函数f(x),g(x)的定义域均为R,且f(x)+g(2-x)=5,g(x)-f(x-4)=7.若y=g(x)的图象关于直线x=2对称,g(2)=4.

情境描述：两个函数f(x),g(x)满足:

(1)f(x)+g(2-x)=5,g(x)-f(x-4)=7对任意x∈R均成立;

(2)y=g(x)的图象关于直线x=2对称,且g(2)=4.

情境解释：y=g(x)的图象关于直线x=2对称⟺g(2-x)=g(2+x)⟺g(x)=g(4-x)⟺g(-x)=g(4+x),其结构符合:g(A)=g(B),A+B=4.

已知:①f(x)+g(2-x)=5;②g(x)-f(x-4)=7.

(1)对于①式进行变换,并与自身结合.f(x)+g(2-x)=5⟹f(-x)+g(2+x)=5,由于g(2-x)=g(2+x),所以f(x)=f(-x),即y=f(x)为偶函数.

(2)对于②式进行变换,并与自身结合.g(x)-f(x-4)=7⟹g(4-x)-f(-x)=7,由于g(x)=g(4-x),所以f(-x)=f(x-4),即y=f(x)的图象关于直线x=-2对称.

(3)对于②式进行变换,并与①式结合.g(x)-f(x-4)=7⟹g(2+x)-f(x-2)=7,由于g(2-x)=g(2+x),且f(x)+g(2-x)=5,所以f(x)+f(x-2)=-2,故y=f(x)为周期函数,且周期T=4.

(4)对于g(2)=4,通过观察结构取特值可以得到f(x)的部分函数值.

在①式中,令x=0,有f(0)+g(2)=5,则f(0)=1,

在②式中,令x=2,有g(2)-f(-2)=7,则f(-2)=-3,

在①式中,令x=1,有f(1)+g(1)=5;在②式中,令x=1,有g(1)-f(-3)=7,则有f(1)+f(-3)=-2,即f(1)=-1.所以有f(1)=-1,f(2)=-3,f(3)=-1,f(4)=1.

综上可知,函数y=f(x)是偶函数,关于直线x=-2对称,周期T=4,且f(1)=-1,f(2)=-3,f(3)=-1,f(4)=1;y=g(x)具有对称性(关于直线对称)和g(2)=4.

(2)设置性质探究型问题:①判断函数y=f(x)的奇偶性;②证明函数y=f(x)关于直线x=2对称;③证明函数y=f(x)的周期为T=4.

(3)收缩式设置问题:你可以绘制出符合条件的y=f(x)的图象吗?

(4)发散式设置问题:你可以尽可能多的写出y=f(x)的性质吗?

这个情境是数学情境中的熟悉而复杂的情境,虽然抽象函数在教学过程中是常见的,也是学生比较熟悉的,但是由于情境的复杂性,将两个抽象函数结合在一起,根据一个函数y=g(x)的性质去推导y=f(x)的性质,这当中考查数学抽象、逻辑推理以及数学运算核心素养,对学生的综合能力要求也比较高.问题的解决需要学生对此数学情境有明确而清楚的认识,并对情境准确解读.

数学情境的常规解答流程是:情境描述→情境解释→问题翻译→寻找对策→尝试解决.其中重难点是情境解释,只要将情境解释通透,其余问题就会迎刃而解.

2.2 现实情境

现实情境是对生活具体场景的描述,其中主要体现生活中各种事物之间的数量关系.现实情境是概念教学中引出概念的主要教学情境,是数学概念得以存在的主要载体.现实情境承载着数学抽象素养的培养任务,对现实情境进行解读的主要方式就是进行数学抽象,从生活常见情境当中抽象出代数表达式或几何图形,获得数学元素之间的数量关系或位置关系,由此进入数学情境,利用数学知识分析解答.

根据情境的关联程度,现实情境可以分为熟悉的现实情境、关联的现实情境以及综合的现实情境.根据情境的复杂程度,可以分为简单的现实情境、较复杂的现实情境以及复杂的现实情境.试题当中的现实情境主要以熟悉而简单的情境为主,如全国卷乙卷理科10,13题,甲卷理科2、新高考Ⅰ卷4题等,主要考查学生的数学抽象核心素养以及运算求解能力.

【例3】选自2022·全国新高考Ⅰ卷·4

情境呈现:南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题,其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148.5 m时,相应水面的面积为140.0 km2;水位为海拔157.5 m时,相应水面的面积为180.0 km2,将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台.

情境抽象：

对此现实情境的解读经历了一次数学抽象和一次图形修正(如图),第一次抽象是对现实情境的简单描述,将现实事物的数据直接呈现出来,但这样的图形不利于计算,所以还需要对此图进行调整,将不需要的线、面剔除掉,得到有利于分析运算的几何图形,由此转为数学化的数学情境:在棱台ABCD-A1B1C1D1中,下底面面积为140.0 km2,上底面面积为180.0 km2,棱台高为9 m.

问题设置：(1)根据已知条件设置问题:求该水库水位上升所增加的水量.

(2)增加条件设置问题:若水库放水速度为80 m3/s,则增加的水量流出大约需要多长时间?

水库是生活中熟悉却不常见的情境,该情境的考查重心在于数学抽象,是将水库抽象为棱台,对于棱台这个几何体,需要我们确定棱台的形状、棱长、高、上、下底面面积以及线面夹角等等,在此基础上可以将问题引入到数学化的情境当中去思考.现实情境的常规解答流程是:情境呈现→情境抽象→情境修正→数学情境→情境解答.其中重难点是数学抽象,进入数学情境以后问题就会变得非常简单.

2.3 科学情境

科学情境是关于科学技术发展以及技术应用方面的情境,既有古代科学技术也有现代科学技术.一般地,科学情境的呈现方式是:背景描述+数学模型,一般选取我国科技发展与进步中取得的重要成就作为试题背景,体现数学的应用价值和时代特征,激发青年学生树立为国家服务、奉献科技事业的信念,模型描述一般以数列、函数、不等式等基本知识为主.

根据情境的关联程度,科学情境可以分为熟悉的科学情境、关联的科学情境以及综合的科学情境.根据情境的复杂程度,可以分为简单的科学情境、较复杂的科学情境以及复杂的科学情境.试题当中的科学情境一般都新颖而特别,重在让学生感受我国现代科技的强大以及古代科技给人的震撼,至于情境中的问题都是直接呈现,一般难度较小.

【例4】选自2022·全国乙卷理·4

情境分析：科学情境转化后的数学情境是一个数列问题,数列{bn}是由数列{an}构造而成,其中数列{an}是正整数构成的数列,但具体的变化规律不确定.

问题设置：(1)当ak=1(k∈N*)时,比较大小:①b1与b3;②b3与b8;

(2)当ak=k(k∈N*)时,比较大小:①b1与b3;②b3与b8;

(3)比较大小:①b1与b3;②b3与b8.

在(3)中能否利用特值比较大小是值得商榷的,但鉴于试卷特点和应试技巧而言,我们是可以取特值ak=1比较大小的,即与(1)的结果是一致的.

通常情况下将科学情境转化成数学情境,在数学情境中利用数学知识完成解答.鉴于题目考查要求,由科学情境转化而来的数学情境一般都比较简单.

3.思考与小结

情境是学生进行思维训练的环境和载体,情境中问题的解决是学生思维发展的自然结果.这从另一个角度也体现出学生学习习惯的差异,一个关注于问题答案的思维活动是低层次的,忽略了情境中蕴含的其他知识联结,而关注于情境本身逻辑内涵的思维活动是高效的,这种思维活动理清了情境中的各种知识联结,思维量是比较大的,一个情境中的收获度是非常高的,相当于完成了好几道数学题目,学习效果的高效正体现于此.

纵观今年高考真题,大多数考生的反应是难,其实细细研究高考真题,根本原因是高考真题中的情境形式多样化、情境分布随机化以及情境联系深入化,从而使得习惯于固定题型训练的考生难以解读多样化的情境,进而问题难以解答.关注于固定题型和问题结果的考生对情境解读不够深入,必然导致问题难以解答,而在平时学习中关注于学习过程本身钻研情境中逻辑关系的考生感觉高考题与平时训练题目并没有多大区别.

(本文系甘肃省定西市教育科学“十四五”规划2022年度课题《单元教学背景下的高中数学问题情境创设研究》编号(DX[2022]GHBZ0107)阶段性成果之一)