计算极限的20 种方法在大学生数学竞赛中的应用

赖怡冰

（广东理工学院 基础课教学研究部，广东 肇庆 526000）

微积分建立在极限理论的基础上，极限反映了变量的局部性态与变化趋势，是实现无穷运算的唯一方法。极限理论主要包括其存在性、相关性质与极限的计算等方面的内容，工科数学尤以极限的计算为主。

极限思想在现代数学乃至物理学等学科中，有着广泛的应用，这是由它本身固有的思维功能所决定的。微积分研究的对象是函数，研究的工具叫极限，极限的最实际的作用就是可以进行微积分，进而进行更高层次的研究。极限可以把很多看似不可能的东西合理化，比如无穷、无限逼近等都可以在极限的框架下合理地运算和理解，其本质就是提出了一种很特殊的运算法则。由此可见，极限在高等数学教学、考研数学和大学生数学竞赛中的重要性[1-2]。

学好极限的思想，并学会灵活的应用，显得尤为重要。目前，全国大学生数学竞赛已经成功举办了14 届。大学生数学竞赛的目的是激励大学生学习数学的兴趣，培养学生分析问题、解决问题的能力，提升我国高等学校人才培养质量，促进高等学校数学课程建设，并为青年学子搭建一个展示数学思维能力和学习成果的平台，助力数学及复合型创新本科人才的成长[3-4]。 计算极限有哪些方法，这些方法如何体现在大学生数学竞赛中，学生如何去归纳总结，发散思维，创新应用值得深入研究。，如果

1 理论

为了更好地理解、掌握与应用极限的计算方法与技巧，本文通过历届全国大学生数学竞赛真题将计算极限常用的20 种方法进行归纳总结，并进行介绍[1-6]。方法1：幂指函数的对数函数法

[g( x )]f（x）幂指函数，即底为函数，幂也为函数的函数。

基于 f（x）= ex（x ∈R）在全体实数范围内的连续性，函数的极限等于极限的函数，即要 求g( x )＞0。

方法2：幂指函数的第二个重要极限法

如果x*在的某个去心邻域内 f（x）＞0，则有，则∞1 极限式为类型，基于重要极限的方法来计算函数的极限，即

幂指函数的极限式结构：∞1 未定型的极限的计算思路与步骤可以概括如下几步：

第一步：判定类型是否为∞1 ；

第二步：改写结构为∞+ 0)1( ；

第三步：转换极限为∞0⋅e ；

第四步：转换；∞0 ；

第六步：写出最终结果为ae 。

第五步：计算极限 ⋅→a

对于不符合这种未定型结构的幂指函数的极限式的极限计算，一般采用对数函数法。

方法3：幂指函数中用等价无穷小求极限

（1）∞1 型，先将幂指函数取对数，再用等价无穷小求极限。

（2）0∞或00中无穷小量可以直接做等价无穷小替换。

设f(x)0，g(x)0 且，f(x)~g(x)，f1(x)~g1(x)则

推导：

方法4：利用洛必达法则求极限

定理1（1）函数f(x)，g(x)都趋于0（无穷大）；（2）在x*某去心邻域内，f '(x)，g'(x)都存在，且g'(x)≠0；

注：（1）先有导函数构成的极限式极限存在，才有原来极限的极限存在并且极限值相等；（2）适用于分式类型的极限式；（3）适用于或未定型极限。

洛必达法则计算极限的步骤：

第三步：分子、分母函数的可导性及分母函数及导数是否为零；

方法5：利用等价无穷小代换求极限

定理2 设fj(x)( j=1, 2)和gj(x)( j=1, 2)均为过程的无穷小xx*，fj(x), gj(x)( j=1, 2)在相应的去心邻域中不等于0，且有f1(x)~f2(x)(xx*)，g1(x)~g2(x)(x x*)

注：一般适用于相乘的因式函数用等价无穷小替换简化极限计算，即等价无穷小的替换只能在商或积的情况下进行。

使用等价无穷小简化极限计算的基本原则：

（1）乘因式替换原则。例如：

（2）和差代替原则。

②不等价的无穷小相加减可以考虑使用等价无穷小化简计算，例如：。

方法6：四则运算法则

设lim f(x)及limg(x)都存在（假定x 在同一变化过程中），则有下列运算法则：

lim [f(x)±g(x)]=lim f(x)±limg(x)；

lim [f(x)·g(x)]=lim f(x)·limg(x)；(lim g(x) 0)≠ 。

注：极限的四则运算法则只有在极限存在，以及有限个的条件下才可以用。

方法7：利用无穷小与函数极限之间的关系求极限

lim f(x)=A 的充要条件是f(x)=A ＋a(x)，其中(x)是xx0时的无穷小量。

方法8：泰勒公式法

当函数f(x)在x=0 处具有n 阶导数，那么存在x=0 的一个邻域，对于该邻域内的任意x，有

（带皮亚诺型余项的麦克劳林公式）

注：（1）一般适用于自变量的变化过程为趋于0 的变化过程

（2）阶数一般与题目中出现的幂函数最高次数相同。

方法9：导数的定义法

导数的定义式：

方法10：利用极限存在的2 个原理计算极限

（1）夹逼准则：设3 个数列{xn},{yn},{zn}满 足xn≤yn≤zn，且，则。

（2）单调有界原理：单调增（减）有上（下）界的数列必定收敛。

方法11：利用拉格朗日中值定理求极限

若函数f (x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可导，则),∈( ab∃ξ ，使得f (a)-f (b)=f '(ξ)(b-a).

方法12：定积分定义法

方法13：积分中值定理

（2）广义积分中值定理：如果函数f(x), g(x)都在[a, b]闭区间上连续，并且g(x)在[a, b]上不变号，则在闭区间[a, b]上必有一点ξ，使得

方法14：利用施笃兹（Stolz）定理计算极限

设数列{yn} 单调增加且，如果存在或为∞，则

方法15：基于数列极限定义与定积分等式的极限证明方法

抽象数列、函数极限的验证一般考虑极限定义法。证明递推数列极限存在并计算极限值的定义法：

假设极限存在→利用递推式计算极限值→验证极限

解题过程中结合定积分基本计算公式的逆运算、函数的单调性、定积分的保序性等。

注：（1）用特殊法探索可能的极限值是整个验证过程的关键；（2）积分等式给出了改写数学描述的方向；（3）数列极限的定义是整个验证过程的理论依据；（4）转换问题描述是贯穿始终的探索解题思路的基本思想与方法。

方法16：基于常值级数收敛定义的部分和数列极限计算方法

前n 项的部分和式极限的计算问题：不含有n，只含有k，级数的部分和数列，xn是常值级数的部分和数列，f (n)是常值级数的求和。

方法17：用级数的敛散性计算极限

级数的敛散性就是其部分和数列的极限问题，所以数列极限与级数的敛散性很难分割。对某些形式（特别是无穷和形式）的极限借助于级数的相关知识来解决会更为方便。

方法18：基于极限定义与子数列的敛散性验证极限结论的方法

方法19：特殊法求极限

特殊法的使用有前提条件，要求：（1）所求的极限要存在；（2）极限在参数的取值范围内，极限值都相等，不需要另外讨论参数的取值范围可能会有不同极限值的结果。

方法20：初等变形法

用初等运算、变量代换、恒等变形、三角函数极限式、平方差公式、二倍角公式、递推法等方法将极限式化简。

为了更好地说明计算极限的20 种方法在大学生数学竞赛中的应用情况，下面列出历届大学生数学竞赛中考到极限的届数、题号、分值、用到的方法以及计算极限的20 种方法在历届大学生数学竞赛中运用的次数情况、分值变化趋势，具体情况（表1 和图1）。

表1 计算极限的20 种方法在大学生数学竞赛中的应用情况

从表1 和图1 可以看出，在历届大学生数学竞赛中，计算极限的20 种方法里运用得最多的是方法5 利用等价无穷小代换求极限，有11 次，方法1 幂指函数的对数函数法、方法4 洛必达法则和方法10 利用极限存在的2 个原理计算极限，都是7 次。图2 显示，从第一届到第十四届共14年的数学竞赛都考到了极限的知识，所占分值比例从原来的下降、上升、下降、上升的变化规律转变为逐渐上升的趋势，特别是从第十届开始到第十四届，从原来的12 分增加到40 分，对于总分100 分的竞赛题来说，所占分值较大，可见极限计算在竞赛中的重要地位。

图2 历届大学生数学竞赛极限占的分值情况

2 实例

为了更好地说明计算极限的20 种方法在历届竞赛中的应用，下面给出几道典型的历年大学生数学竞赛真题，从解题过程中可以清晰明了地看出各种方法的应用，有助于理解极限的知识，限于篇幅，只给出一部分真题解答过程。

解：幂指函数的对数函数法，洛必达法则

解：包含了抽象函数的，由已知极限求未知极限的问题。通常的做法：根据已知极限，借助无穷小与函数极限之间的关系，写出未知抽象函数相对具体的表达式，然后将抽象函数表达式代入要求极限的极限式，推导计算得到未知极限。

解：

例4（2016 年，6 分）若f (x) =0，f '(1) 存在，求极限。

解：利用导数的定义求极限

例5 （2017 年，7 分） 设f (x) 有 二 阶导 数 连 续， 且f (0) = f '(0) = 0，f ''(0) = 6， 则。

解：泰勒公式法（带皮亚诺型余项）

例7（2020 年，6 分） 设f (x) ，g (x) 在x=0 的某一邻域内有定义，对任意x ∈U，f (x) ≠g (x) ， 且， 则。

方法一：利用拉格朗日中值定理求极限

解：改写形式，再用拉格朗日中值定理设F(t)=tg(x)，则分子改写为[f (x)]g(x)-[g (x)]g(x)=F[f (x)]-F[fg(x)]

方法二：幂指函数中用等价无穷小求极限

解：[f (x)]g(x)-[g (x)]g(x)是两个幂指函数的差，已知

例8（2021 年，14 分）设函数f (x)在闭区间[a,b]上有连续的二阶导数，证明：

证明：对区间[a,b] 作等n 分，a=x0﹤x1﹤…﹤xk﹤…﹤xn=b，则各子区间[xk-1, xk]的长度都为，，k=0,1,2,…,n

因 为f (x) 在 区 间[xk-1, xk] 上 连 续，所 以 存 在 xMk，xmk∈ [xk-1, xk]，由夹逼准则，得

3 结论

总结介绍极限计算的20 种解题方法在历届大学生数学竞赛中的应用，不仅有助于学生更好地掌握极限的解题方法和技巧，也有利于提高学生分析解决问题的综合能力，激发学生的学习兴趣和发散性思维。以表格和折线图的形式给出考察极限的届数、题号、分值、用到的方法以及运用的次数情况、分值变化趋势等，对指导数学竞赛的指导教师和参赛学生把握极限这个内容有一定的参考价值。