裸眼测试井壁失稳概率及参数敏感性分析

黄亮 余意 任冠龙 孟文波 郑文培

1. 中海石油(中国)有限公司湛江分公司；2. 中国石油大学(北京)安全与海洋工程学院；3. 应急管理部油气生产安全与应急技术重点实验室

南海莺琼盆地天然气储量丰富，但该区域储层地层构造复杂，局部井底温度达到194 ℃，地层压力梯度2.4 MPa/100 m，井底压力达142 MPa，存在温度高、压力高、压力台阶高的问题，易发生井壁坍塌［1］。井壁稳定性问题首次提出是在1940 年，Westergaard［2］通过建立井筒周围岩石的应力平衡方程，得到了井筒零内压情况下，井壁围岩应力的理论公式。现有井壁失稳研究多采用摩尔-库伦准则，未同时考虑中间主应力、温度效应和渗流作用对井壁的影响。

蒙特卡罗方法是可靠性分析的常用方法之一。1995 年，Dumans［3］对比分析了蒙特卡罗方法和模糊集方法评估井筒不稳定性，认为以蒙特卡罗为基础的概率评价方法更适合定义钻井液密度的安全范围。2014 年Udegbunam 等［4］利用蒙特卡罗方法研究井壁稳定的不确定性，分析了输入参数假设的概率分布类型对输出的影响。2018 年胜亚楠等［5］对不同应力分布条件下，影响井壁稳定可靠度的因素进行了敏感性分析。现有的裸眼测试井壁失稳参数敏感性分析仅采用局部敏感性，未考虑各参数同时变化对井壁稳定性的影响。

笔者针对莺歌海盆地储层岩性、储层高温特性和裸眼井壁特性，考虑温度效应，引入多孔渗流理论，建立高温高压裸眼测试临界测试压差(以下简称临界测试压差)计算模型；结合蒙特卡罗方法和临界测试压差计算模型，分析测试层段不同测试压差下井壁发生失稳的概率，比较地层岩石力学参数在不同数学分布下，井壁坍塌概率的变化和岩石力学参数对井壁失稳的敏感性。

1 裸眼测试临界测试压差计算

1.1 井壁围岩应力

研究井壁稳定性的常规思路是从力学角度出发，结合岩石的基本性质，计算保证井壁附近岩石稳定的井底参数［6-8］。首先建立井底裸眼井壁部分的力学模型，将井眼及周围储层岩石简化为在无限大空间内有一半径为a的圆孔，在两个相互垂直的水平方向上受最大水平地应力和最小水平地应力作用，垂直方向上受上覆海水及岩层压力，圆孔内受均匀的内压，井壁附近岩石受力情况见图1。

图1 井眼附近岩石力学模型Fig. 1 Near-wellbore rock mechanic model

井底岩石所受的力首先是自身地应力，这里以最大水平主应力σH、最小水平主应力σh和垂直地应力σv为代表，此外还包括地层孔隙压力pf0和测试期间的井底流压pw。为了计算井壁围岩的受力，将井壁围岩上的一点单独提出进行受力分析(见图2)。

图2 井壁围岩微元受力图Fig. 2 Infinitesimal stress diagram of the borehole surrounding rock

裸眼井壁应力分布可表示为［9］

式中，σH为最大水平主应力，MPa；σh为最小水平主应力，MPa；σv为垂直主应力，MPa；σr为井眼径向应力，MPa；σθ为井眼切向应力，MPa；σz为井眼轴向应力，MPa；a为井眼半径，m；b为岩石某处距井眼中心距离，m；pw为井底流压，MPa；pf0为地层孔隙压力，MPa；θ为研究点矢径和σH的夹角；μ为泊松比。

由于裸眼井壁上充满孔隙结构，不能仅仅把其当作光滑无渗透的表面，必须要考虑多孔介质的影响。此外，地层测试过程中，高温地层流体经过井底进入管柱，与井底岩石发生热交换，井底岩石的温度也将改变，地层的应力分布和井壁围岩应力都会在一定程度上受到温度变化的影响，从而影响井壁的稳定性。为更好地预测井壁围岩应力状态，需要在应力模型中考虑多孔渗流和温度变化引起的应力。

采用多孔渗流理论经典的有效应力原理，对井壁受力进行分析。基于Terzaghi 的基本理论，假设：(1)增加材料外部静水压力与降低相同压力值的孔隙压力对材料的体积变化影响相同；(2)材料剪切强度与且只与法向应力和孔隙压力之间的差值有关［10-11］。

假设地层岩石温度变化为ΔT，则井壁围岩因温度变化引起的应力表达式为

测试期间，井底温度一般低于地层温度，井底气体与井壁岩石进行热交换，井壁围岩由于温度效应产生的附加应力可表示为［12-13］

在井壁表面，r=R，井壁附近岩石附加热应力场化简为

式中，E为地层弹性模量，MPa；αt为线性膨胀系数，1/℃；、、分别为地层温度变化引起的径向应力、周向应力和垂向应力，MPa；T(r)为井壁围岩附近温度分布函数；T0为井壁原始温度， ℃；TW为测试时井壁温度， ℃；ΔT为岩石温度变化， ℃。

对于单重孔隙介质，有效应力张量计算形式为

井壁为可渗透材料，δij取值为1。将多孔渗流和温度效应引起的附加应力整合到式(1)井壁围岩受力模型中，得到裸眼井渗流-温度耦合应力模型。

1.2 临界测试压差计算

从力学角度来看，井壁失稳原因就是井眼内压力过低，井壁围岩所受的应力超过岩石所能承受的最大强度，使岩石发生破坏。在研究井壁失稳的问题上，基于力学原理，需要使用各种强度准则来计算井壁失稳压力，进而计算测试压差。基于对岩石破坏机制的不同认识，众多学者已经提出各种不同的破坏准则，方法多达上百种，常用的判断在特定应力状态下岩石是否发生破坏的强度准则有Mohr-Coulomb 准则、Drucker-Prager 准则、Hoek-Brown经验准则和能量破坏准则。

Mohr-Coulomb 准则认为当材料在某个平面上的剪切应力超过其剪切极限τmax时，材料将发生剪切破坏［14-15］，但其只考虑最大、最小主应力对剪切破坏的影响，计算公式为

Drucker-Prager 准则同时考虑包括中间应力在内的3 个主应力作用和岩石屈服过程中静水压力的影响，可以反映剪切效应引起的岩石膨胀性质，计算公式为

Hoek-Brown 准则以岩石力学实验为基础，广义的Hoek-Brown 破坏准则考虑了裂缝对岩体参数的降解作用［16］，未考虑中间主应力的约束作用［17］，计算公式为

能量破坏准则从岩石储能变化的角度分析井壁稳定性，井眼内的压力低于原本井壁岩石所提供的压力，井壁围岩储能将发生变化，使井壁发生失稳［18-19］，计算公式为

式中，τ为破坏面剪切应力，MPa；C为岩石内聚力，MPa；σ为破坏面法相应力，MPa；μf为岩石的内摩擦系数；J1为应力张量第一不变量；J2为应力偏张量第二不变量；C0和C1为与岩石内摩擦角φ和内聚力C有关的参数；σm为轴向峰值应力，MPa；σw为围压，MPa；σc为岩石单轴抗拉强度，MPa；s，mb和a为定义参数；Uc为岩石极限储能，MJ/m3；ζ，η为与岩石性质相关的常数。

公式(7)～(10)中的等式成立时，代表此时井壁处于临界状态，即将发生破坏。以上计算模型中，很多参数都无法直接测量，包括岩石摩擦角φ，岩石内聚力C，泊松比μ，有效应力系数α，岩石弹性模量E。在测试阶段，已经获得了钻井过程中的测井数据，本研究采用测井数据确定临界测试压差计算过程中的岩石力学参数，有关计算方法见文献［20-21］。通过对南海5-3 井的测井数据分析计算得到相关参数，对井深3 870～4 060 m 的测试层段进行力学分析计算，不同破坏准则下临界测试压差与井深关系见图3。

图3 不同破坏准则下的临界测试压差Fig. 3 Critical testing drawdown pressure under different failure criteria

由图3 可以看出，Mohr-Coulomb 准则下临界测试压差大部分在30～40 MPa 之间，临界压差数值变化较平缓；Drucker-Prager 准则计算的临界测试压差在40～60 MPa 之间，与Mohr-Coulomb 准则临界测试压差的变化规律一致；Hoek-Brown 准则计算的临界测试压差最小，在3 870～3 880 m 层段仅为6～8 MPa，数值变化最稳定；能量破坏准则的临界测试压差在50～70 MPa 之间，在4 种准则中结果最大，波动也最大。

对计算结果分析发现，Hoek-Brown 强度准则计算的岩石临界测试压差最小，在3 870～3 880 m 层段仅为6～8 MPa，而实际测试证明，该井在40 MPa 测试压差下井壁仍能保证稳定，因此该准则不适用于井壁失稳计算；能量破坏准则计算结果过大且波动明显，也不适用于裸眼测试临界测试压差计算；Mohr-Coulomb 准则和Drucker-Prager 准则相比较而言，由于海水和上覆岩层所产生的垂直地层压力不能忽略，Drucker-Prager 准则计算中考虑包括中间应力在内的3 个主应力作用，Mohr-Coulomb 准则只考虑两个水平主应力对岩石剪切破坏的影响，因此最终选用Drucker-Prager 准则作为裸眼测试临界测试压差计算的准则。

从图3 中Drucker-Prager 准则下临界测试压差与井深曲线可以看出，3 900 m 附近开始，临界测试压差逐渐增大，经分析，此处井眼尺寸发生变化，井径突变，故井壁稳定性差；井深4 030 m、4 050 m 处临界压差发生较大变化，4 030 m 处为粉砂岩与粉砂泥岩交接带，4 050 m 处地层为细砂岩与泥质粉砂岩交接带，地层孔隙压力发生突变，且两处分别为开始油气产出和油气消失处，岩石岩性交接变化层段井壁承受能力低，易发生井壁失稳，可见选用Drucker-Prager 准则作为裸眼测试临界测试压差计算准则与实际情况相符。

2 裸眼测试临界测试压差概率分析

在临界测试压差计算过程中，各种岩石力学参数由测井数据及经验数据得出，都为确定值。在井壁围岩受力计算过程中，由于测试数据的不确定性、计算误差、模型的局部适用性较低以及在建立模型时的简化假设，很多情况下计算得出的井壁受力值不能反映围岩的真实应力状态［22］，根据可靠性理论和随机过程理论，从概率论的角度计算裸眼测试井壁失稳概率，可减少井壁坍塌临界压差预测结果的不确定性，使井壁坍塌预测结果更可靠。

蒙特卡罗方法通常被称为统计实验法或随机模拟法，常被用来计算工程问题数值近似解，是一种基于统计抽样理论，利用计算机解决随机变量的数值计算方法［23-24］。其基本思想是：当已知不确定变量的分布特征，可以利用计算机产生符合参数概率分布的若干随机数，代入危险状态方程，计算出判别值的随机过程结果，进而得到失效概率［25］。蒙特卡罗方法确定井壁失稳概率计算步骤如下。

(1)确定井壁失稳失效函数，即为Drucker-Prager 准则。确定井壁失稳计算的关键参数，包括最大水平主应力σH、最小水平主应力σh、垂直主应力σv、岩石内摩擦角φ、内聚力C，利用测井资料，计算裸眼井段所有关键参数值，统计其概率分布，确定参数分布。

(2)根据精确度要求，确定蒙特卡罗模拟次数N，利用计算机产生符合其数学分布的随机数，组成因素集，记为Wc。

(3)将所产生的因素集中的每一组参数均代入失效函数，计算生成判别结果集Y。

(4)统计结果集Y中井壁发生失稳的次数Nf，得到失效概率P=Nf/N。

为确定井底某深度的岩石力学参数的数学分布规律，选取该深度以上及以下共计10 m 的测井数据，计算该井段围岩力学参数判断其分布规律来确定该地层深度的力学参数分布，依次计算3 920、3 960、4 000、4 040 m 附近的岩石力学参数，利用正态分布和三角分布模拟其分布规律，将其数学分布参数统计汇总，结果见表1。

表1 岩石力学参数正态分布、三角分布数学特征汇总Table 1 Summary of mathematical characteristics of normal distribution and triangular distribution of rock mechanical parameters

根据对地层井壁岩石力学参数的数学分布模拟结果，并生成符合其分布特征的随机数，依次模拟3 920、3 960、4 000、4 040 m 处岩石的力学参数分布，计算其在0～80 MPa 临界测试压差下的井壁失稳概率，统计结果见图4。

图4 不同临界测试压差下不同井深处的井壁失稳概率Fig. 4 Probability of wellbore instability at different depths under different critical testing drawdown pressures

比对临界测试压差预测值与井壁失稳概率发现：(1)测试压差在某个10 MPa 的区间变化时，井壁失稳概率会急剧增大，故认为一旦井壁失稳概率大于0，便已经达到测试压差临界值，应立即调整井底压力防止井壁坍塌；(2)在小于临界测试压差3～5 MPa 时，井壁开始有发生失稳的风险存在；(3)正态分布和三角分布下井壁失稳概率变化趋势表现一致，考虑到三角分布下临界测试压差和井壁失稳概率出现时的测试压差相差过小，推荐使用正态分布对岩石力学参数进行拟合。

3 临界测试压差对岩石参数敏感性分析

不同地层参数对井壁失稳的影响程度不同，利用蒙特卡罗随机抽样可分析裸眼井壁失稳模型中各地层岩石力学参数的局部敏感性，包括最大水平主应力σH、最小水平主应力σh、垂直主应力σv、岩石内摩擦角φ、内聚力C，并对其作出比较，分析各力学参数对井壁坍塌临界测试压差的影响度。敏感性分析包括局部敏感性分析和全局敏感性分析，局部敏感性分析在计算某一因素对结果的影响时，假定其余因素不会变化，但实际上，岩石力学参数并不会单一的变化，存在两个或两个以上参数同时变化的情况，单因素敏感性分析不能反映多因素同时变化时，某一因素对结果的影响情况，本文采用Sobol 方法对临界测试压差参数进行全局敏感性分析。

选取南海5-3 井4 000 m 地层，按照岩石力学参数正态分布和三角分布两种分布形式，分别计算最大水平主应力σH、最小水平主应力σh、垂直主应力σv、岩石内摩擦角φ、内聚力C变化时的临界测试压差，进行局部敏感性分析，按正态分布对岩石力学参数进行全局敏感性指数分析，结果见表2。

表2 临界测试压差参数敏感性分析结果Table 2 Parameter sensitivity analysis of critical testing drawdown pressure

通过对比可知，在正态分布和三角分布条件下，临界测试压差对地层岩石力学参数的敏感度大小排列均为σH＞C＞σh＞σv＞φ。结合井壁围岩应力对此分析，最大水平主应力σH是影响环向应力和垂向应力的主要应力，所以其敏感度最高。其次是岩石内聚力C，岩石破坏准则本质就是岩石内部应力与岩石强度的比较，内聚力是岩石自身强度的决定性因素，也是Drucker-Prager 准则中改变C0大小的最主要参数。垂直地应力σv只对垂向应力有影响，岩石内摩擦角进行三角函数计算后只在0～1 之间变化，故这两者对临界测试压差的影响很低。

由全局敏感性分析结果可以看出，5 种输入参数的一阶敏感性指数和全局敏感性指数中，最大的2 项均为最大水平主应力和内聚力，敏感性指数最小的均为内摩擦角φ，与局部敏感性分析结果一致。但在全局敏感性分析中，最大水平主应力敏感性指数要远大于其余参数，甚至大于其余参数的敏感性指数总和，说明在考虑多个岩石力学参数共同变化时，最大水平主应力对裸眼测试临界测试压差起到决定性作用。

4 结论

(1)利用所建立的井壁围岩受力模型，对比4 种不同强度准则下井壁坍塌临界测试压差，发现基于Drucker-Prager 岩石破坏准则所计算的临界测试压差与实际测试情况最相符，且考虑到海水和上覆岩层所产生的垂直地层压力不能忽略，而Drucker-Prager 岩石破坏准则对应力考虑更加全面，推荐使用Drucker-Prager 岩石破坏准则作为裸眼测试井壁稳定性研究的准则。

(2)以正态分布和三角分布2 种形式对岩石力学参数进行模拟，通过蒙特卡洛方法计算测试压差在0～80 MPa 下的井壁失稳概率，发现在实际测试压差小于临界测试压差3～5 MPa 时，已经存在井壁失稳的风险，最大测试压差的选择必须小于临界测试压差5 MPa 以上方能保证测试期间的井壁稳定。

(3)正态分布和三角分布下临界测试压差对地层岩石力学参数的敏感度大小排列均为：最大水平主应力σH＞内聚力C＞最小水平主应力σh＞垂直主应力σv＞岩石内摩擦角φ，结果表明在考虑多个岩石力学参数共同变化时，最大水平主应力σH对裸眼测试临界测试压差起到主要作用，是判断井壁失稳的最重要因素，井壁失稳判断时应着重关注最大水平主应力，对于最大水平主应力变化较大的地层必须稳定测试压差谨防发生井壁失稳。