学会分析数据的波动

李典婷

生活现象

有的同学学习成绩不稳定，忽高忽低，忽上忽下，波动很大，他们的成绩在班级的排名可以明显说明这一问题；而有的同学学习成绩非常稳定，一直保持在班级某个名次左右，跨度很小. 或者说，有的同学学习成绩稳步上升，而有的同学学习成绩直线下降，这实际就是数据的波动程度.

在大数据时代，同学们将来在工作中可能会接触大量数据，因此，从现在开始，同学们就要学会分析一组数据的波动程度. 下面，我们就通过一道例题说明如何分析数据的波动程度.

例题精析

例 甲、乙两名射击运动员的10次射击成绩（单位：环）如表1所示，请你判断哪位运动员的射击成绩比较稳定.

解法1：一般情况下，一组数据的方差越小，数据的波动程度就越小，这组数据就越稳定；反之，一组数据的方差越大，数据的波动程度就越大，这组数据就越不稳定. 因此，我们可以通过计算两组数据的方差来判断哪位运动员的射击成绩稳定.

甲的射击成绩平均数[x甲=7×3+8×2+9×2+10×310=8.5].

乙的射击成绩平均数[x乙=7×2+8×2+9×5+10×110=8.5].

甲的射击成绩的方差：

[s2甲=（8-8.5）2+（9-8.5）2+   + （7-8.5）2+（10-8.5）210=1.45].

乙的射击成绩的方差：

[s2乙=（7-8.5）2+（7-8.5）2+   + （9-8.5）2+（9-8.5）210=0.85].

显然[s2甲>s2乙]，所以乙的射击成绩比较稳定.

在比较一组数据的波动程度或稳定性时，是否一定要用方差这个统计量呢？回答是不一定.

解法2：在比较上面两位运动员10次射击成绩的稳定性时，我们可以用折线统计图表示出两位运动员的射击成绩，如图1所示.

通过折线统计图我们可以清晰地看出，甲10次射击成绩的折线统计图（虚线表示）忽高忽低，而且跨越幅度较大（如第5次到第6次，从最高的10环猛降到最低的7环，第8次到第9次亦是如此；而第9次到第10次，又从最低的7环猛升到10环）. 而乙10次射击成绩的折线统计图变化比较平稳，起伏不大，無论是上升还是下降的幅度都比较小，其中前两次与最后三次的成绩都分别在一个水平线上，而甲的射击成绩从来没有连续两次在同一条水平线上. 从折线统计图可以看出，乙的射击成绩比较稳定.

规律：两组数据的波动程度，可以通过方差和折线统计图两种方法进行比较. 有时也可以用方差的意义进行比较.

变式应用

芭蕾舞是一种来自欧洲的古典舞蹈，它的一个最重要特征是女演员表演时以脚尖点地，因此又称“脚尖舞”.芭蕾舞对女演员的身高要求比较严格，女演员不能太高也不能太矮. 在一次芭蕾舞表演比赛中，“白天鹅”芭蕾舞团与“维纳斯”芭蕾舞团都表演了《天堂的孩子》，参加表演的女演员的身高（单位：cm）如表2所示，试判断哪个芭蕾舞团女演员的身高更加整齐.

对于这样的问题，我们还有必要再计算两组数据的方差吗？当然没有. 观察两组表格中的数据很快发现，“白天鹅”芭蕾舞团女演员的身高非常整齐，10人中9人身高一样，而“维纳斯”芭蕾舞团女演员的身高既有163 cm（3人），也有164 cm（5人），还有165 cm（2人）. 显然，“白天鹅”芭蕾舞团女演员的身高整齐.这正是根据方差的意义来比较两组数据的波动程度.

综上可知，比较两组数据的波动程度，既可以通过比较两组数据的方差，也可以通过观察两组数据的折线统计图，还可以根据方差本身的意义. 因此，比较两组数据的波动程度一定要具体问题具体分析，根据问题的特点选择合适的方法.

（作者单位：甘肃省积石山县银川初级中学）