发散思维 一题多解

李昌成

(新疆乌鲁木齐市第八中学,新疆 乌鲁木齐 830002)

最近在某资料上看到一道2021年的模考题,题设简单、背景常见、问题常规,但是仔细推敲此题出口甚广,可以依托二次函数、三角函数、均值不等式、向量、正余弦定理、平面几何、解析几何等知识解答,对于巩固基础知识、开拓解题思路、提高解题的实战水平均有一定的意义.

1 题目呈现

2 解法探究

解法1 设AB=2x,则AD=x.

在△ABD中,由余弦定理知

评析设边长变量,巧用余弦定理,把面积最值问题转化为函数最值问题,即可求出面积的最大值[1].

解法2 设BC=a,AB=2b,则AD=DC=b.

由海伦公式,得

①

在△ABC和△ABD中,分别由余弦定理可得

整理,得a2+2b2=6.

②

由①②,得

评析等式②是在研究同一个角,从而产生等式,学生一般不太在意,我们平时教学应当多强调.多角度看待问题、思考问题,寻找隐形等量关系是一种技巧[2].

=2x2sinA

整理,得5S=6sinA+4ScosA

所以25S2≤36+16S2,解得S≤2.

所以△ABC面积的最大值为2.

评析辅助角公式的应用使得关于面积的不等式应运而生,显得十分自然,运算也简洁,最值成立的条件也一目了然[3].

解法4设AB=2x,则AD=DC=x,BC=2y.

在△ABD和△CBD中,由余弦定理可得

又∠ADB+∠BDC=π,

所以cos∠ADB+cos∠BDC=0.

化简,得2x2+4y2=6.

③

评析等式③容易出现视而不见的状况,而高考命题专家恰好经常在这个技巧上做文章,我们平时教学应当强调到位.这个关系式还可以通过四点共圆产生,有异曲同工之妙.

=4cosα·sinα

=2sin2α≤2.

所以△ABC面积的最大值为2.

评析引进变量α建立三角函数,目标函数简单,最值易求.对学生的函数应用意识要求较高,等价转化的能力要求较高.

④

由基本不等式,得

即ab≤1,

所以S=2ab≤2.

经过以上计算,可求得小数时延Δt1和幅度参数α1的初始值。先求出每个信号参数的初始值,然后采用迭代的方法依次对各参数进行更新以求得准确值。

所以△ABC面积的最大值为2.

解法7设G为△ABC的重心,

又AB=AC,

所以S=3S△BCG

=2sin∠BGC≤2,

所以△ABC面积的最大值为2.

解法8设BC中点为E,则AE⊥BC,G为△ABC重心.

设BE=x,GE=y,

在Rt△BEG中,BE2+GE2=BG2,

解法9设BC中点为E,G为△ABC重心,则AE⊥BC.

平方,得

所以△ABC面积的最大值为2.

评析重心的引入非常巧妙,学生需要长时间的修炼方可达成这种意识,形成这种能力.等价转化思想显得尤为重要.解法7、8、9属于非常规的巧妙解法[3].

设A(x,y),由AB=2AD,得

所以△ABC面积的最大值为2[4].

设A(-a,-b),C(a,b),(a>0,b>0),

因为AB=AC,

整理,得

所以△ABC面积的最大值为2[5].

评析解法10、11引入了解析几何,解法新颖.不仅可以训练学生三角问题,也能巩固解析几何的核心知识,思维显得十分发散,对学生的创新能力培养不可小觑.

3 解后反思

对于习题的处理,通常有两个误区:一是做对就好,二是多多益善(刷题).殊不知,很多问题的背后还有丰富的内涵,有知识的,有方法的,有能力的.数学各个模块之间存在千丝万缕的联系,这种联系只有在主动应用中才能织密织牢,只有掌握了理解了这些内在的联系才能应对千变万化的试题,才能培养学生分析问题、解决问题的能力,才能有创新的意识,才能在将来的工作中得心应手,高分高能.因此,解题研究,是我们教学的一个重要工作.