泰勒展开式与超越不等式在高考中的应用

王文琦

(江苏省扬州大学数学科学学院,江苏 扬州 225002)

笔者从泰勒公式基本形式出发,证明了两大超越不等式.笔者接着举例分析了高考中以泰勒展开为背景的试题,并总结了高考中五大应用题型,以期抛砖引玉.

1 泰勒展开式与超越不等式

1.1 泰勒公式形式

其中:f(n)(x0)表示f(x)在包含x0的某个闭区间[a,b]上具有n阶导数,等号后的多项式称为函数f(x)在x0处的泰勒展开式,剩余的Rn(x)是泰勒公式的余项,是(x-x0)n的高阶无穷小量[1].

1.2 两个超越不等式

①

①中等号右边只取第一项,得

ln(x+1)≤x(x>-1).

②

用x-1替代②中的x,得lnx≤x-1(x>0).

③

④

证明因为

⑤

⑤式等号右边取前两项,得ex≥x+1(x∈R).

⑥

用-x替代⑥式中的x,得e-x≥-x+1(x∈R).

⑦

2 举例分析泰勒展开与高考题的联系

2.1 一阶导数放缩

例1 (2013年新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)=ex-ln(x+m),

(1)设x=0是f(x)的极值点,求m,并讨论f(x)的单调性;

(2)当m≤2时,证明f(x)>0.

命题手法分析第(2)问考查泰勒一阶展开式:ex≥x+1>x-1≥lnx,所以可得ex-ln(x+2)>0,这就是第(2)问的命题背景.

2.2 二阶导数放缩

例2 (2020年全国Ⅰ卷)已知函数f(x)=ex+ax2-x.

(1)当a=1时,讨论f(x)的单调性;

这个式子使得x=2是一个极大值点(最大值点).但是,这样构造的导函数其原函数过于简单,不能满足压轴题的难度,那就增加一个分母[1]:

3 具体应用

3.1 利用泰勒展开式证明不等式

证明设f(x)=ln(1+x)(-1

则f(x)在x=0处有泰勒公式

3.2 泰勒展开式与函数的极值界定

例2已知x=0是函数f(x)=x(ax-tanx)的极大值点,则a的取值范围是( ).

A.(-∞,0] B.(-∞,1]

C.[0,+∞) D.[1,+∞)

解析x=0是函数f(x)=x(ax-tanx)的极大值点,等价于x=0是函数g(x)=x(axcosx-sinx)的极大值点.由f(x)在x=0的泰勒展开为

3.3 利用超越不等式比较大小

A.a

3.4 利用对数型超越放缩证明不等式

例4 已知函数f(x)=lnx-kx+1.

(1)若f(x)≤0恒成立,求实数k的取值范围;

当00,g(x)单调递增,当x>1时,g′(x)<0,g(x)单调递减,所以g(x)max=g(1)=1.从而k≥1.

3.5 利用指数型超越放缩证明不等式

例5 已知函数f(x)=ex-e-x-2x,

(1)设g(x)=f(2x)-4bf(x),当x>0时,g(x)>0,求b的最大值;

解析(1)函数g(x)=f(2x)-4bf(x)=e2x-e-2x-4b(ex-e-x)+(8b-4)x,求导得

g′(x)=2(ex+e-x-2)(ex+e-x+2-2b).

①由ex+e-x>2,则ex+e-x+2>4.当2b≤4,即b≤2时,g′(x)≥0,当且仅当x=0时取等号.

从而g(x)在R上为增函数,而g(0)=0,所以x>0时,g(x)>0,符合题意.

②当b>2时,若x满足2

综合①②知,b≤2,即b的最大值为2.

所以ln2的近似值为0.693.

总结泰勒公式是高等数学中的重要知识,它构成了众多高考数学题中的命题背景.所以知道常见函数的泰勒展开式,就能捕捉到试题背后蕴藏的不等式,应用时用初等数学的方法证明即可.在高中数学学习的过程中适当扩展与了解一些高等数学的知识,对于高中生尤其是优等生是必要的.