排列组合有玄机

王冠

什么是排列组合呢？举个例子：

抗日戰争时期，解放区组织了儿童团，负责站岗放哨、送信等工作。儿童团里分为“战斗小组”。有个小组由张大、王二和李三３个孩子组成，他们３人就是一个“组合”。如果让他们排成一行，那么顺序可以是张王李，还可以是王张李，也可以是李王张……在数学里，排成不同的顺序就是“排列”。

那么如果我们要做1、2、3三件事，一共会有多少种组合呢？按上面张、王、李六种相同的排列组合方法就能办到。

（1）拉兹用餐

印度人常吃的食品有辣汤、咖喱饭、薄饼，拉兹常到孟买的一家餐馆用餐，每天都是这老三样。第一样先吃什么？有３个选择，不是辣汤就是咖喱饭，或者是薄饼。吃完第一样后，剩下的选择只有２样了。如果你从选择咖喱饭开始，现在只能选择辣汤或薄饼了。因此拉兹吃的头２样的排列数量就是３×２＝６。

到吃第３样食品的时候，拉兹就剩下一个选择了，因此他的选择是１，这样他所有的选择的排列数是３×２×１＝６。

如果拉兹口袋里有多余的钱，他又点了香肠和面包，那么就有５种食品了；如果他把它们全吃掉，虽然也是一种组合，但是排列的顺序却增加了，一共有５×４×３×２×１种排列顺序，结果是有120种。真多啊！

（2）三个孩子握手共有几次？

上面的实例告诉我们，１、２、３三个数字排列数有６种，那么张大、王二和李三每２人握一次手，一共要握多少次呢？是不是也是６次呢？

３个儿童团员于是互相握起手来，结果只握了３次就互相握完了，为什么前面有６种排法，而握手只能握３次呢？原来张大同王二握了一次手，也就是王二同张大握一次手，所以这次握手只能算一次，而不是两次。王二同李三握手，李三同张大握手，情况相同。可见握手与顺序无关。

（3）邮差送信路几条？

有个邮差负责甲城    乙镇    丙村一条线的送信任务。从甲城到乙镇有四条路可走，从乙镇到丙村有三条路可走。甲城、乙镇、丙村是这个邮差要经过的三个地方，我们把它看成是一个“组合”。而经过三地的顺序是不变的，但可走的路线有很多种，这就是“排列”。送信是个枯燥的工作，但每条路上的风光各异，他为了欣赏不同的风景，每天走的路线都不同。请你帮他算一算，多少天他能不重复地把所有线路走一遍呢？

如果这位邮差从甲城到乙镇选定一条线路的话，那么从甲城到丙村有３条线路，从而甲城到乙镇又有４条线路，所以可以按这４条线路，把所有从甲城到丙村的走的路线分为４类：

解：３×４＝12（条）。所以这位邮差可以12天不重复地把所有线路走一遍。

（4）他的线路咋会少1条？

另一个邮递员也是把邮件送到丙地，也有多条线路可走，但并非所有线路都要经过乙地。具体来说，从甲地到乙地有４条路可走，从乙地到丙地有２条路可走，从甲地到丙地有３条路可走。那么，从甲地到丙地共有多少种走法？

从甲地到丙地，先看是用加法原理还是乘法原理，判断好方法，然后简单计算就可以了。第一类，由甲地途经乙地到丙地。这时，要分两步走，第一步从甲地到乙地，有4种走法；第二步从乙地到丙地共2种走法，所以要用乘法原理，这时共有4×2种不同的走法。

第二类，由甲地直接到丙地，由条件可知，有3种不同的走法，根据的是加法原理。两类走法合在一起，是甲地到丙地的所有走法，共有４×２＋３＝11（种）不同的走法。

排列组合是不是奥秘无穷而趣味无限呀？