知识理解下的有效学习

吴欢

垂线作为小学数学图形与几何领域的重要概念，对学生学习几何知识、培养空间观念具有非常重要的作用。当前小学数学几何概念的学习普遍存在“记忆模仿”而不能“理解应用”的现象。首先，因为教师教学几何概念时脱离现实背景，一味灌输，导致学生几何概念的形成过于仓促，理解不够深入。其次，教师过度追求学生技能的掌握，忽视学习过程。最后，教师就概念而教概念，忽视了概念间的联系和运用，学生缺乏应用意识，解决实际问题的能力较为薄弱。为了解决这些问题，在教学苏教版小学数学教材四年级上册“认识垂线”时，笔者做了以下尝试。

一、分类比较，构建新知

（一）分类感悟，建立概念

师：同学们，课前我给大家准备了一张圆形纸，你们能用水彩笔在纸上画出两条相交的直线吗？比一比谁画得又好又快！

（学生独立完成，教师巡视指导）

师：我刚才在同学们画的时候挑选了几幅作品，瞧！（呈现学生作品，如图1至图5）

师：他们都画对了吗？同样是相交，好像还有点不一样哦！你们能根据两条直线的相交情况，把它们分类吗？你们为什么这样分？把你们的想法在小组里说一说。

（学生小组交流）

师：讨论完了吗？你们打算怎么分？谁愿意边说边分给大家看？

生：图2和图5里有直角，所以我把图2和图5分为一类。其他三幅图是另一类。

（大部分学生鼓掌赞成）

（二）观察验证，凸显概念

师：我有点怀疑，这两组直线都相交成直角吗？谁能想办法让我心服口服？

生：用三角尺上的直角去比一比。

师：这里有三角尺（举起三角尺），谁来试一试。

（学生边演示边确认是否有直角，教师相机在图中标注直角符号）

师：除了这两个同学，还有谁画的两条直线也相交成直角？

（教师选取3个学生的作品板贴在黑板上，用三角尺快速验证）

师（小结）：同学们，像你们刚才所画的两条直线相交成直角时，数学上就称这样的两条直线互相垂直。（板书：互相垂直）

师（手指图1、图3、图4）：那这两条直线互相垂直吗？为什么？

生：不垂直。因为它们没有相交成直角。

师：也就是说，什么样的情况下两条直线才会互相垂直？

生：两条直线相交成直角。

【思考】概念是用来帮助人们认识事物，建立某种逻辑体系的。概念不是凭空出现的，它自然会有产生的基础，因此要考虑它从哪里来，到哪里去。当然为了更好地认识概念，我们还要知道这个概念包含了哪些核心要素，还可能延伸出哪些子概念，这个概念对于认识数学本质有哪些帮助，对后续的数学会有怎样的意义等。

“认识垂线”这节课研究的是两条直线的位置关系，而这种关系是一种特殊的关系——垂直，要想建立垂直的概念，我们要从知识生长的角度切入，考虑哪种引入方式更适合学生，要自然且不突兀。作为一种特殊的位置关系，垂直特殊在哪里，要让学生感受从一般到特殊的过程。教学时，学生根据已有经验在同样的圆形纸上画出了两条相交直线。教师以学生创作的作品为学习素材，引导学生通过观察比较，从同是相交的位置关系中分类出相交成直角的特殊情况。

二、深入探究，巩固新知

（一）图文揭示，理解概念

师：其实关于垂直还有不少数学知识呢！是我告诉你们呢，还是你们自己来研究。

生：自己研究。

师（课件呈现概念）：两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直。你们能理解吗？把你们的理解和同桌说一说。

（同桌交流）

师：谁来说一说你的理解？

生：我认为只有两条直线相交成直角时，才能说这两条直线互相垂直。没有相交成直角，这两条直线就不是互相垂直。

师：你能理解“互相垂直”里面“互相”的意思吗？

生：互相就是相互，是一种关系。

师：如图6，这里有两条直线（课件出示），如果一条直线用A表示，另一条直线用B表示。互相垂直就可以说直线A垂直于直线B，也可以说直线B垂直于直线A。

师：“其中一条直线是另一条直线的垂线。”能结合这幅图，说说你们的理解吗？

生：直线A是直线B的垂线，直线B也是直线A的垂线。

师：“这两条直线的交点叫作垂足。”你们能边指边说什么叫作垂足吗？

（学生边比画边介绍）

师（小结）：通过刚才的学习，我们认识了垂直。知道了在同一平面内两条直线相交成直角时，这样的两条直线就互相垂直。

（二）巩固练习，深化概念

师：我这里还带来了几幅图（如图7至图11），它们是不是互相垂直呢？我们一起来看一看！

生：图7、图8和图9里的直线互相垂直。

师：怎么来证明呢？

生：还是用三角尺上的直角来比一比。

师：图9还能用三角尺比画吗？

生：能。因为直线是可以无限延长的，所以延长一下讓它们相交就可以了。

（教师延长直线并用三角尺验证，验证后标注直角符号）

师：那最后两组直线为什么没有互相垂直呢？

生：因为它们没有相交成直角。

师：这两组直线有点特别。瞧！发现了什么？（教师转动图10、图11中的直线）

生：直线能转动。

师：如果给你们机会，你们能想办法把它们变成互相垂直吗？

（学生演示）

【思考】基于学生已有活动经验和课堂上对垂线概念的初步认识，教师图文并茂地呈现垂线及其相关概念，引导学生在自主探究、体验感悟中主动理解概念，自觉建构概念。接着，教师引导学生对学习材料进行观察、辨析、操作，设计多元且有层次的操作活动帮助学生进一步增强对概念的认识，垂线的概念也变得愈加鲜活。

三、联系生活，丰富认识

师：其实，不光是数学上有两条直线互相垂直，生活中我们也经常和垂直打交道。

（课件依次呈现生活中的图片，如图12所示）

师（出示三角尺图）：瞧！三角尺上能找到两条互相垂直的直线吗？

（学生上台比画）

师：对吗？来看看我是怎么指的。

（教师示范比画一组垂线，强调“互相”）。

师：三角尺上这一组互相垂直的直线，在我们今后数学学习中的作用可大了！

师（出示地砖图）：那这幅图上你们能指出互相垂直的两条直线吗？

（学生边比画，课件相机出示垂线）

师：同学们不仅能找到垂线，还能找到不同的垂线。

师（出示墙壁图）：这幅图呢？

（学生比画）

师：我相信善于观察的同学还能找到更多的垂线。

师（出示图画）：我还带来了一幅图，在这幅图中，你们一共能找到几组互相垂直的线？

生：4组。

师（课件出示4个直角符号）：真好！

【思考】在教学“认识垂线”时，很多教师都会通过身边的例子来帮助学生理解概念。身边例子是否基于知识本质表达准确，是否基于学生已有经验表达真实，都决定了学生能否真正理解概念，能否在理解概念的基础上进行有效学习。笔者选择了教材中呈现的例子，加以优化，逐个研究，引导学生学会用数学的眼光观察现实世界，用数学语言表达现实世界。让教学情境真正助力教师有效教学，助力学生知识理解和有效学习。

四、自主探究，应用提升

（一）厘清问题，尝试探究

师：刚刚我们认识了垂线，还在生活中找到了互相垂直的例子，接下来想不想去画一画互相垂直的直线呢？别急，我这儿有3个任务（如图13），仔细看！

师（出示任务1）：看明白了吗？题目让我们干什么？

生：画出已知直线的垂线。

师（出示任务2）：接着往下看，这里，我们不光要画垂线，还要怎么样？

生：经过点A。

师（出示任务3）：同样是经过点A画垂线，有没有什么不一样的地方？

生：任务2的点A在直线上，任务3的点A在直线的外面。

师：你们观察得真仔细！题目的要求都明白了吗？请你们选择一项或两项任务完成。比一比，看谁画得更准确。

（学生尝试画图，教师巡视指导）

（二）辨析修正，学习技能

师（呈现学生作品）：我这里有一个同学完成的作品（如图14）。他画得怎么样？

生：两条直线没有互相垂直。

师：你们猜猜看，他为什么会画得不垂直？

生：没用三角尺画，也有可能三角尺没有对齐。

师：看来！要想成功地画出垂线还有很多需要注意的地方。谁愿意上来给大家演示一下，你是怎样画的。

生：我是这样画的。首先用三角尺上的一条直角边和这条直线重合。然后沿着另一条直角边画出这条直线的垂线。画完以后，还要标上直角符号。

师：看清楚了吗？他是先用三角尺上的一条直角边和已知直线重合。这个时候，三角尺上的另一条直角边就和已知直线互相垂直了，因为三角尺上的两条直角边互相垂直。所以我们只要沿着另一条直角边画出已知直线的垂线就行了。因为我们画的是垂线，所以一定要穿过已知直线。最后不要忘记标注直角符号，表示这两条直线相交成直角。

师：接下来请你们用三角尺这个工具，在图13中任务1的图上，再画一条已知直线的垂线。完成以后，同桌互相检查。

（三）变式练习，熟练技能

师：研究完了图13中任务1，那任务2和任务3还难吗？谁愿意上来给大家介绍一下任务2的画法？

生：跟刚才的画法差不多。我先把三角尺上的一条直角边和已知直线重合，然后把三角尺上的这个顶点（两条直角边的交点）移动到和点A重合，最后沿着三角尺的另一条直角边画出垂线。

师：介绍得非常清楚。我要特别提醒同学们，为了平移三角尺的时候更准确，我们可以用一把直尺帮助我们平移（教师演示）。

师：那任务3呢？你们能把画的过程说给同桌听吗？

（学生交流，教师巡视指导）

师（呈现学生作品）：如图15至图17，他们都画对了吗？

生：画得都不对。图15没有把垂线画出头。图16标了直角符号，但是看上去明显不垂直。图17没有标直角符号。

师：看来要想把垂线画准确还不是一件容易的事。我们在画的时候一定要画规范！

（四）知识对比，深化认识

师：同学们，刚刚我们在完成这三个任务时，有什么相同的地方？又有哪些不同之处呢？

生：相同的地方是都要用三角尺，都要把一条直角边和已知直线对齐。不同点的地方是图13中任务1可以畫出许多条垂线，但是任务2和任务3过一点只能画一条垂线。

【思考】数学技能的学习，就是将一连串动作方式或心智活动方式，经过练习而形成熟练的、自动化的反应过程。教师在教学画垂线时，给学生呈现了由简到难的3个画垂线的任务，鼓励学生根据自己对垂线的理解，逐个完成任务，在完成任务的过程中，反复操作，及时修正，总结经验。例如，在图13中任务1的教学过程中，教师首先从学生错误作品入手，引导学生找出错误原因，强化“相交成直角”的特征。接着请学生再次演示画垂线的正确方法。最后由教师将画垂线的整套动作分解成若干个局部动作，让学生逐个观察、记忆、想象。学生在教师的示范下，理解掌握画垂线的技能，技能的学习经历着一个从会到熟的过程。

（作者单位：江苏省南京市北京东路小学红山分校）