平整输沙床面水流阻力研究

贺承明，张根广，许晓阳

（西北农林科技大学水利与建筑工程学院，陕西 杨凌 712100）

0 引 言

水流阻力是河流运动力学领域重点研究的问题之一，对于研究水流结构和泥沙运动问题具有重要意义。影响水流阻力的因素较多，主要包括泥沙级配、水流条件、床面形态及边界条件等。通常学者将水流阻力划分为沙粒阻力、沙波阻力和边壁阻力［1］，并建立了相应的阻力计算公式。对于明渠水流，床面阻力是水流阻力的主要组成部分，包括沙粒阻力和沙波阻力。当床面平整或是沙波发育不明显时，沙波阻力可忽略不计。

在研究床面阻力时，许多学者常常采用床面粗糙高度Ks来表示床面粗糙程度。例如，尼古拉兹在研究管道壁面阻力时，通过在管道内壁黏附均匀沙粒得到了圆管中水流阻力系数与雷诺数的关系［1］；Engelund［2］取2.5 倍的均匀沙粒径作为床面粗糙高度，即Ks=2.5d；Van Rijn［3］取3倍的d90作为非均匀床面的粗糙高度。赵连白［4］认为，对于非均匀沙而言，粗细泥沙颗粒对阻力的贡献不同，粗颗粒的贡献大于细颗粒。当d50≤0.2 mm时，取Ks=0.5d50；当0.2 mm＜d50＜6 mm 时，取Ks=d50；当d50≥6 mm 时，取Ks=2d50。喻国良［5］认为床面粗糙高度与泥沙不均匀性有关，并分析得到Ks=σg2d50，σg为床沙级配的非均匀性。还有一些学者研究了沙粒阻力与水流条件的关系。例如，黄才安［6］利用泥沙起动的Shields曲线与明渠阻力特性之间的相似性，结合实测泥沙起动资料得到了沙粒阻力系数只与床面坡度有关的结论。何文社［7］通过理论分析，提出了与泥沙起动水力条件及泥沙重度有关的泥沙等效粒径的概念及其计算方法，并在此基础上得到了粗化稳定床面的粗糙高度计算公式。陈学彪［8］基于阻力特性，综合考虑水沙条件，建立了以泥沙中值粒径、非均匀系数、水力半径和床面坡度为变量的床面粗糙度计算公式。

在可动床面上，水流运动往往会引起泥沙输移，因此将消耗水流的能量。推移质输沙率越大，水流搬运泥沙所消耗的能量越多，水流受到的阻力也越大。Song［9］、Gao［10］通过定床清水和定床输沙试验发现，在推移质输沙率较大时，输沙阻力系数与床面总阻力系数的比值超过了0.3，可见推移质输移引起的水流阻力增大比较显著，不可忽略。bagnold［11，12］基于能量平衡原理在推导推移质输沙率时认为，泥沙颗粒在运动过程中，因其重力作用及相互碰撞消耗一定能量，将使泥沙保持下沉，因此需要水流提供一定作用力维持其运动；并通过旋转圆筒的颗粒碰撞剪切试验，得到了水流搬运推移质泥沙所需做功的计算公式。黄才安［13］从挟沙水流的能量平衡原理出发，考虑泥沙运动对水流阻力的影响，结合bagnold 水流功率理论，给出了动平整床面挟沙水流阻力的计算公式。

综上分析，平整床面水流阻力与床面泥沙条件、水流条件及输沙情况等因素有关，前人的阻力计算公式较少考虑床面结构及输沙阻力，且输沙阻力计算公式大多是基于实验资料的经验公式或未对水流阻力进行划分。因此，本文将动床阻力进行分割，拟讨论床面粗化过程中床面粗化对床面沙粒阻力的影响，结合水流条件分析计算床面沙粒阻力，并通过分析滚动颗粒的运动特征，探讨推移质能量消耗规律，最后建立平整输沙床面的水流阻力公式。

1 阻力系数

床面阻力常常通过床面阻力系数或床面粗糙高度来反映［1］，其与水流结构的关系可表示为：

式中：f为床面阻力系数；U为断面平均流速，m∕s；u*为摩阻流速，m∕s；R为水力半径，m；χ为流态校正系数，在床面粗糙时，取χ= 1；Ks为床面粗糙高度，m。

在平整或沙波发育不明显河床上，床面阻力可以划分为沙粒阻力与输沙阻力，沙粒阻力为床面上的泥沙颗粒对水流产生的表面阻力；输沙阻力为水流为维持推移质运动所消耗能量对应的阻力，即：

式中：f0为沙粒阻力系数；fs为输沙阻力系数。

1.1 沙粒阻力系数

由式（1）和式（2）可得床面沙粒阻力系数与床面沙粒阻力对应的床面粗糙高度的关系为：

式中：R'为床面沙粒阻力对应的水力半径，m；Ks0为床面沙粒阻力对应的床面粗糙高度，m。

何文社［7］认为非均匀沙床面粗化稳定后，其粗糙高度可由起动粒径dc计算：

式中：m为粗糙高度系数，当床面粗化稳定时，；γs为泥沙颗粒的容重，N∕m3；γ为水的容重，N∕m3；ρ为水的密度，kg∕m3；u'*为床面沙粒阻力对应的摩阻流速，；g为重力加速度，取9.8 m∕s2；J为床面坡度；θc为临界Shields数。

黄才安［6］利用泥沙起动的Shields 曲线与明渠阻力特性之间的相似性，得到了均匀沙床面沙粒阻力系数计算公式，为：

联立式（4）和式（7）可得均匀沙床面沙粒阻力对应的粗糙高度为：

式中：当过水断面宽深比较大时，可取R'=h'。

由式（5）与式（8）可见，床面粗糙高度可由床面上泥沙的起动粒径dc表示，起动粒径反映了水流作用在床面上的剪切力。两式不同之处仅为系数的差异，究其原因是两式适用的床面条件不同，公式（5）适用于粗化完成后的非均匀沙床面，公式（8）适用于均匀沙床面。

在非均匀沙床面粗化完成前，床面粗化层伴随着泥沙输移而逐渐发展变化；在完成粗化后，床面粗细泥沙颗粒通过有规律的排列形成尺寸较大的局部稳定结构或颗粒簇［14］，增大了床面的粗糙度。而在均匀沙床面上，床面泥沙均匀，不能形成粗化结构。因此可见，在非均匀沙床面粗化过程中，床面泥沙粗化层结构伴随着泥沙输移逐渐形成，相应床面的粗糙高度是变化的，因此假定床面粗化过程中的床面粗糙高度可表示为：

式中：c为床面粗化程度系数；c与m的区别是，c为变量而非常数；其他符号意义同前。

为了确定床面粗糙高度系数c，作者对床面粗化过程进行分析认为，天然河流的床面往往是由非均匀沙组成，非均匀沙床面的输沙过程也是床面的粗化过程，不同的水流条件塑造的床面粗化层也各不相同，其具体过程可简述为，在水流条件变化之前，河道流量较小，床面表层已完成粗化，床面泥沙基本上处于个别起动状态或静止状态，河流输沙率接近于0；当河道流量增大，床面切应力也随之增大，床面原有的粗化层被破坏，床面上可动泥沙逐渐增多，当粗化层被完全破坏时，床面泥沙近似松散排列，输沙率达到最大，可以认为此时的河流输沙率处于平衡状态，其单宽推移质输沙率为g'b0；随着时间的推移，床面逐渐粗化，床面上聚集体结构增多，并对细颗粒泥沙产生隐蔽作用［15］，床面上可动泥沙减少，床面单宽推移质输沙率g'b随之减少；当床面条件与来流量完全匹配时，床面粗化完成，床面上基本没有泥沙起动输移，输沙率接近于0。由此可见，床面粗化程度与输沙率高度匹配，因此可由输沙率相对变化过程来反映床面粗化程度，则床面粗化程度系数c可表示为：

式中：g'b0为以水下重量计的单宽推移质平衡输沙率，N∕（m·s）；g'b为以水下重量计的单宽推移质输沙率，N∕（m·s）。

g'b0可采用Meyer-Peter和Muller公式［1］计算

式中：θ为Shields 数；d50为床沙的中值粒径，m；其他符号意义同前。

有关泥沙起动条件θc的取值。何文社［16］取颗粒完全暴露时的θc为0.02，适合于床面上没有泥沙起动的临界情况。孟震［17］在研究推移质输沙率时建议，泥沙颗粒处于运动状态，泥沙起动条件θc应取对应泥沙“个别动”起动条件的值，即θc=0.031。此外，其他一些学者采用的“个别”起动条件θc基本都在0.03 左右，如乐培九［18］取0.03、周双［19］取0.032 等。因此，本文选取泥沙“个别”起动条件θc= 0.031。

联立式（4）、式（9）及式（10）可得床面沙粒阻力系数f0为：

1.2 输沙阻力系数

推移质泥沙在运动过程中会受到水流的剪切作用，使水流的部分能量转化为推移质颗粒的动能，推移质输沙率越大，消耗的水流能量越多。推移质受到的水流作用力与推移质泥沙颗粒在水流中的运动特征有关，而根据推移质运动形式的不同，推移质可以分为滚动推移质和跃移推移质［1］，其运动轨迹如图1所示。

图1 滚动和跃移推移质运动过程Fig.1 The movement of rolling and saltating bedload

由图1可见，滚动泥沙颗粒始终在床面附近运动，轨迹几乎为一条与床面平行的直线；跃移颗粒的运动轨迹为曲线，在垂直于水流方向，颗粒的运动范围相对较大，跃高可达（4～5）d［20］。推移质颗粒在滚动和跃移运动时都会受到水下有效重力、水流拖曳力及上举力：

泥沙颗粒水下有效重力G0：

水流拖曳力FD：

上举力FL：

式中：CD为拖曳力系数；CL为上举力系数；d为泥沙颗粒粒径，m；u为水流作用流速，m∕s；us为推移质运动速度，m∕s。

根据周双［19］的研究，水流作用在滚动推移质颗粒的作用流速可取为5.58u*，滚动推移质的运动速度为：

跃移推移质颗粒的运动轨迹为曲线，在垂直于水流方向，水流作用在颗粒上的流速与颗粒运动高度有关，因此，颗粒所受的上举力和拖曳力不断变化，bagnold［12］由跃移颗粒运动过程中的动量守恒得到跃移颗粒在沿水流运动方向受到的平均作用力为：

式中：α为摩擦角；对于天然泥沙，tanα可取为0.63［11］；其他符号意义同前。

然后基于水流功率理论推导得到单位时间水流搬运跃移推移质泥沙所需做的功为：

而滚动推移质颗粒在运动过程中还受到床面的滚动摩擦力：

式中：η为滚动摩擦系数，对于天然泥沙，通常取为0.63。

假定在水流运动方向，滚动推移质颗粒做匀速运动，则其在水流方向的受力平衡条件为：

综上可知，由于滚动推移质和跃移推移质的运动轨迹不同，导致其受到的水流拖曳力和上举力不同，在沿水流运动方向，滚动和跃移推移质颗粒受到的水流作用力分别为¯Fx和FD，因此，水流搬运滚动推移质和跃移推移质消耗的能量也应有所差异。

惠遇甲［20］利用高速摄影，通过水槽泥沙运动试验，得到了推移质中滚动和跃移颗粒所占百分比与水流强度θ的关系式：

式中：P1、P2分别为滚动和跃移颗粒百分数；其他符号意义同前。

一些学者将跃移作为推移质运动的基本形式［1］，但由式（21）可见，在水流强度较低时，水流强度不足以使颗粒起跃，推移质以滚动为主；随着水流强度的增大，滚动颗粒逐渐减少；当θ=0.6 时，推移质中滚动颗粒所占百分比为25%，滚动推移质对总的推移质能量消耗的影响不可忽略。因此，在计算水流搬运推移质所做的功时，需要分别考虑水流搬运滚动推移质和跃移推移质所做的功，则单位时间水流搬运推移质消耗的总能量可表示为：

式中：Es2为水流搬运滚动推移质所消耗的能量。

在水流泥沙运动方向，水流通过水流拖曳力对滚动泥沙做功，则单位时间单位面积床面上水流搬运滚动推移质泥沙所做的功可表示为：

式中：N为单位床面面积上滚动推移质颗粒数量；FDi、usi分别为第i颗滚动泥沙受到的水流拖曳力和颗粒的运动速度；其他符号意义同前。

将式（14）及式（16）代入式（24）可得：

因式中：

则式（25）可简化为：

式中：滚动推移质在运动过程中受到床面的遮蔽作用较小，其拖曳力系数CD可取为1.306［21］；其他符号意义同前。

将式（15）、式（16）及式（20）代入式（24）可得单位时间单位面积床面上水流搬运滚动推移质泥沙所做的功也可表示为：

对比式（18）和式（28）可知，搬运滚动推移质消耗的能量还与水流上举力有关，水流搬运滚动推移质和跃移推移质消耗的能量有所差异，因此，式（18）并不适用于计算搬运滚动推移质消耗的能量，水流搬运滚动推移质消耗的能量可由式（27）或式（28）计算。

将式（18）和式（27）代入式（23）可得水流搬运推移质消耗的能量为：

黄才安［13］根据能量平衡原理得到输沙阻力系数为：

将式（29）代入式（30）可得输沙阻力系数为：

将式（12）和式（31）代入式（3）可得床面总阻力系数为：

采用陆永军［22-26］等人共136组非均匀沙推移质输移试验资料对式（32）做拟合处理，得到f(g'b∕g'b0) = 2.04g'b∕g'b0+ 0.42，其相关系数为0.83，则床面总阻力系数为：

2 公式验证

采用William［27］整理的Casey、Chyn S D、Ho P 等人的286 组非均匀沙试验资料分别按式（33）、黄才安公式［13］及何文社公式［7］计算床面阻力系数，并将计算结果代入阻力变换公式［式（1）］计算断面平均流速，结果如图2所示。可以看出，相比黄才安公式和何文社公式，本文公式与实测资料符合的更好。

图2 计算结果验证与对比Fig.2 Verification and comparison of calculation results

为分析上述公式的计算精度，采用均方根相对误差（RMSRE）来评价公式的计算精度：

式中：RMSRE为实测值与计算值的均方根相对误差；n为流速的样本个数；Xi为流速的计算值；Yi为流速的实测值；RMSRE的值越小，说明计算公式的精度越高。

经过计算，本文公式的RMSRE为0.094，黄才安公式的RMSRE为0.151，何文社公式的RMSRE为0.124，本文公式的计算精度明显更高。

3 结 论

研究综合考虑床面泥沙、水流条件和输沙情况，将水流阻力划分为沙粒阻力和输沙阻力，基于床面粗化过程中床面表层结构变化对水流阻力的影响，分析了推移质运动特征，得到了床面粗化程度与相对输沙率的关系，完善了推移质输移所消耗能量的计算公式，建立了平整输沙床面的水流阻力计算公式。经实测资料验证，并与其他学者的阻力计算公式分析对比表明，本文公式具有较高的精度，适用于有泥沙输移的平整或沙波发育不明显的天然沙非均匀床面。