巧用导数的几何意义解答曲线向题

导数的几何意义即：函数y=f（x）在点 x?处的导数f'（x）就是曲线 y=f（x）在点P（xoy?）处的切线的斜率，即k=f'（xo）.导数的几何意义在解高中数学题中应用广泛，常用于求曲线上某点的切线的方程、斜率，研究曲线的变化情况，判断函数的单调性.下面主要谈一谈如何巧妙运用导数的几何意义解两类题.

一、求曲线上某点处的切线方程

由导数的几何意义可知曲线y=f（x）在点P（xo-y?）处切线的斜率为h=f'（x?）， 则在该点处的切线方程为 y-f（xo）=f（xo）（x-xo）. 利用导数的几何意义求曲线上某点处的切线方程的步骤为：（1）求出函数 f（x）的导数f'（x）;（2） 将切点的横坐标代入 f'（x）， 得到切线的斜率f'（xo）;（3）化简切线的方程y-yo=f'（xo）（x-xo）.

例1.若函数 f（x）=x?+（a-1）x?+ax 为奇函数，则曲线 y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为  .

解

例2.已知 ，求曲线 y=f（x）过点 P（2，4）的切线的方程.

解：

解此题时要特别注意审题，明确"过点"与"过切点"的区别.若题目中未明确说明曲线过切点，则需分该点是切点和不是切点两种情况进行讨论.

若切線的方程中含有参数，或切点用参数表示，则需根据导数的几何意义求得切线的方程，再根据切点既在切线上又在曲线上，建立方程组，即可通过解方程求得参数的值.

二、求两条曲线的公切线方程

两条曲线的公切线是指其中一条曲线在某点处的切线与另一曲线相切，通常需根据导数的几何意义建立关于斜率的关系式.若公切线l 与其中一条曲线 y=f（x） 的切点为P（x?f（x）），   与另一条曲线y=g（x）的切点为Q（x?，g（x?），  根据直线的斜率公式和导数的几何意义可得 ，通过解方程求得x 、x?， 即可根据直线的两点式方程、点斜式方程求得公切线l 的方程.

例3.

解：

解答本题，需根据导数的几何意义明确y=√x 和 在点（xo√?） 处的导函数即为该点处公切线 l 的斜率，据此建立关于xo 的方程，通过解方程求得 x?的值，即可根据直线的点斜式方程求得公切线的方程.

运用导数的几何意义解题，关键要明确函数在某点处的导数就是曲线在该点处的切线的斜率，这样就将函数的解析式与曲线、直线、直线的方程关联起来，通过数形互化，快速求得问题的答案.

（作者单位：胡奇云，西华师范大学数学与信息学院；周堃，成都师范学院德阳高级中学）