运用坐标法解答平面向量问题的几个步骤

殷丽娟

坐标法是解答向量问题的重要方法，常用于求向量的模、向量夹角的大小、向量的数量积及其最值等.当遇到一些与规则几何图形有关的平面向量问题时，可灵活运用坐标法求解.其步骤为：

第一步，结合题意和几何图形的特征建立平面直角坐标系.一般可以以矩形、直角梯形、直角三角形的某个直角顶点为原点，以等边三角形、等腰三角形的中线和底边为坐标轴，以几个向量的交点为原点，等等，来建立平面直角坐标系；

第二步，给各个点赋予坐标、各个向量赋予方向，并求出题目中相关向量的坐标；

第三步，靈活运用向量的坐标运算法则，如向量坐标的加法、减法、数乘运算法则，向量的模以及数量积公式来进行运算，求得问题的答案.

下面举例加以说明.

例1.

解：

根据正方形的特点：相邻的两条边互相垂直，以A 为坐标原点，AB、AD所在的直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，求得各个点的坐标，便可通过向量的坐标运算求得问题的答案.建立平面直角坐标系后，建立关系式，即可将向量问题转化为代数问题，利用函数、方程、不等式等知识解题，这样可以起到事半功倍的效果.

例2

解：

运用坐标法解题，可将问题转化为代数问题来求解，但需先根据题设条件建立平面直角坐标系.这就要求我们抓住几何图形的特征，根据角之间的关系，构造垂直关系，并据此构建坐标轴和坐标系.

例3

解：

我们根据梯形的特征，以 A 为坐标原点、AB 为 x 轴、垂直于AB的直线为y轴，建立平面直角坐标系.当问题中涉及矩形、直角梯形、直角三角形、等边三角形、等腰三角形等规则几何图形时，可选择相互垂直的边，或作出垂线，并将其视为坐标轴，建立平面直角坐标系，这样可以使更多的点落在坐标轴上，便于快速求得各个点的坐标

例4

解：

建立平面直角坐标系后，标出各个点的坐标，便可根据平面向量的数乘法则和数量积公式进行坐标运算，将问题转化为二次函数最值问题，利用二次函数的性质，即可使问题迎刃而解.

例5

解：

我们根据正六边形的特征建立平面直角坐标系，设出动点P的坐标，即可利用平面向量的数量积公式得出AP·AB 的表达式，再根据P点横坐标的取值范围求得问题的答案.

例6

解：

由于P点为动点，所以我们无法确定P点的位置. 本题若用基底法求解，其过程较为复杂，于是利用坐标法，建立平面直角坐标系，设出P点的坐标，将其视为定点进行运算，即可减少计算量，轻松得出答案.

例7

解：

本题中的已知条件较少，为了便于解题，建立平面直角坐标系，设出各个点的坐标，即可通过向量的坐标运算求得 |c - a - b| 的表达式.再通过三角换元，利用三角函数的有界性求得 |c| 的取值范围.

当题目中给出的条件较少，或涉及规则几何图形时，就要采用坐标法，通过建立平面直角坐标系，将几何条件、几何关系用坐标、方向向量表示出来，将问题转化为代数问题，利用函数、方程、不等式等的性质来解答问题，这样能避开复杂的逻辑推理，降低解题的难度，提高解题的速度和准确率.