求解三角形最值问题的两种路径

张恒

三角形最值问题主要有：（1）求三角形面积的最值；（2）求三角形周长的最值；（3）求三角形某个角的最值；（4）求三角形某条边长的最值.这类问题具有较强的综合性，通常要灵活运用勾股定理、正余弦定理、三角形的性质、不等式的性质，以及三角函数的定义、性质、图象等来解题.下面主要谈一谈求解三角形最值问题的两种路径.

一、利用三角函数的性质

在求解三角形最值问题时，我们可以根据勾股定理、正余弦定理，将三角形的边、角、周长、面积用三角函数表示出来，这样就可以将问题转化为三角函数最值问题，利用三角函数的单调性、有界性、周期性快速求得最值.

例1.已知ΔABC 的内角 A，B， C 所对的边分别为 a， b， c ，若 c=1，cosB sin C +a - sin BcosA + B=0．

（1）求角 C 的大小；（2）求ΔABC 面积的最大值．

解：（1） C = ；（过程略）

（2）由（1）可知 c =1， C = ，

∴2R = = = = ，得 sin C = ，∴ S ΔABC = ab sin C = ab

=?2R sin A?2R sinB = sin A sinB

=  sin A sinπ+ A=1 sin A cos A +1 sin2 A

= sin 2A - cos 2A + = sinè（?）2A - ?（?）+ ，∵ C = ，∴ A + B = ，∴0< A <，∴- <2A - <，

由正弦函数的单调性和图象可知- < sinè（?）2A - ?（?）≤1，

∴0

∴ΔABC 面积的最大值为+ ．

我们先根据正弦定理求得sinC的值，即可根据三角形的面积公式求得ΔABC 面积的表达式；然后通过三角恒等变换将目标式变形为只含有一个角 A 和正弦函数的式子，即可根据正弦函数的单调性、图象，以及角A 的取值范围求得三角形面积的最值.在求得目标式后，往往要利用三角函数的基本公式对目标式进行三角恒等变换，使其化为最简形式：只含有一个角和一种三角函数名称的式子，这样便于直接运用三角函数的性质、图象求最值.

例2.已知ΔABC 的内角 A，B， C 的对边分别为a， b， c ，且 a sin = b sin A ．

（1）求 B ；（2）若△ABC 为锐角三角形，c =1，求△ABC 面积的取值范围．

我们运用正弦定理和三角形的面积公式，就可以快速求得ΔABC 面积的表达式.该式中含有，需根据正切函数的有界性和单调性，以及角 C 的取值范围求得最值.这就要求我们熟记正弦、余弦、正切函数的单调性，以及一些特殊角的三角函数值.

例3.已知在△ABC 中，sin2 A - sin2 B - sin2 C = sin B sin C.

在利用三角函数的性质求得目标式的最值时，往往要仔细研究目标式中角的取值范围.可根据已知条件、隐含条件，以及有关三角形的定理，如三角形内角和为 180o ，尽可能地缩小角的范围，这样才能得到正确的答案.

二、利用基本不等式

若 a、b > 0 ，则 a + b ≥ 2 ab ，当且仅当 a=b 时等号成立，该式称为基本不等式.基本不等式是解答最值问题的重要工具.在解答三角形最值问题时，往往可以将目标式进行适当的变形，使得该式为两式的和或积，并使其中之一為定值，便可运用基本不等式求得目标式的最大值或最小值.

我们根据余弦定理可得 1 = a2 + b 2 - 2 ab ，该式中含有两式的和 a2 + b 2 与两式的积 ab ，根据基本不等式的变形式 a2 + b 2 ≥ 2ab ，即可求得 ab 以及 ΔABC 面积的最值.

在运用基本不等式求最值时，要仔细观察代数式的结构特征，尤其要关注两式的和、积，对其进行合理的拆分、变形，可通过添项、凑分子、凑系数、常数代换等方式，配凑出两式的和或积.

先根据余弦定理将已知的边角关系化为边的关系，求得三角形的周长的表达式；然后根据关系式 9 = b 2 + c 2 + bc的特征，运用基本不等式求得 b + c 的取值范围，进而求得三角形周长的最值.

总之，解答三角形最值问题，既可以从角的关系入手，灵活运用三角函数的基本公式、定义、性质、图象求解；也可以从边的关系入手，根据代数式的特征，配凑出两式的和或积，运用基本不等式求得最值. 相比较而言，运用基本不等式求三角形最值问题较为便捷.