跳出机械化技巧，深挖知识背后的思想

曹广福

摘 要：解答2023年新高考数学Ⅱ卷函数与导数压轴题，如果将导数作为一种机械化操作的工具，对函数多次求导，则不仅涉及分类讨论，而且导致比较烦琐的计算；如果理解极值概念的局部性本质，把握其蕴含的局部化思想，先求出参数可能的取值范围再证明，则思路自然，逻辑清晰，一气呵成。由此可见，数学教学要基于经验培养直觉，基于知识感悟思想，基于技巧提升思维，特别要引导学生深挖数学知识背后的思想本质，才能将核心素养的培养落到实处。

关键词：數学高考；函数与导数；知识本质；数学思想

素养立意之下，新高考数学试题的风格有了一些变化，对学生理解数学本质、把握数学知识背后数学思想的要求越来越高。对此，如果依然囿于机械化操作的方法，很可能陷于繁杂的技巧中，或许侥幸能够绕出答案来，但可能花费相当长的时间，导致很难在两小时内完成全部题目的解答。本文对2023年新高考数学Ⅱ卷函数与导数压轴题（第22题）的两种解法进行对比分析，说明深挖数学知识背后的思想本质的重要性。

一、 试题解法的对比分析

2023年新高考数学Ⅱ卷函数与导数压轴题如下：

（1） 证明：当02

（2） 已知函数fx=cosax-ln（1-x²），若x=0是f（x）的极大值点，求a的取值范围。

本题第1问属于常规问题，学生不难想到利用导数判断单调性。此处重点探讨第2问。

先来看一种基于机械化操作的解法：

令1-x²>0，解得-1

因为f（x）=cosax-ln（1-x²）=cos（-ax）-ln[1-（-x）²]=f（-x），所以函数f（x）在定义域内为偶函数。

这一解法将导数作为一种机械化操作的工具，对函数多次求导，不仅涉及分类讨论，而且导致比较烦琐的计算。

这类题需要运用导数是毋庸置疑的，问题是如何运用，运用到何种程度，是利用其蕴含的思想还是将其作为工具，这是决定解题“境界”的关键。

事实上，这道题没有很高的难度，也不需要太复杂的技巧，但是要求考生理解极值概念的本质，把握其背后的数学思想。

在给出基于极值概念背后数学思想的解法之前，我们先呈现基于几个关键问题的思路分析过程：

问题1 x=0是f（x）的极大值点意味着什么？

但是，一阶导数为0，只能说明可能是极值，不能说明是极大值还是极小值。或许有些教师讲授过二阶导数的符号与极大值、极小值的关系，但这似乎超出了中学数学课程的范围。既然课标与教材不要求掌握这一知识，解题时就应该尽量回避。

上述解法利用极大值的局部性本质求出a可能的取值范围，再根据a的范围判断导数的符号，进而证明极大值点，思路自然，逻辑清晰，一气呵成；充分展现了微积分的局部化思想（即对无穷小量或者说取极限过程的实质性理解，而非形式化操作），无需对参数分类讨论，也没有任何繁杂的计算。

二、 对数学教学的启示

判断一道好的数学题，有两个重要的标准：（1）不以繁杂的计算、特殊的技巧取胜；（2）具备一定的洞察力，掌握有关知识的思想本质，才能找到恰当的解决方案。按这两个标准判断，上述函数与导数题堪称高水准。

高考试题的内容需要覆盖整个基础教育阶段的重要知识点，自然需要一定的题量做保证。但试题的命制水平比题量更重要，高水平的试题可以有效测试出考生的知识、

能力与素养水平。大题量试卷中试题的解答如果纠缠在一些次要的细节与烦琐的技巧上，不注重思想方法与思维能力的检验，这样的试卷（试题）将会误导一线教学的走向。

新高考对一线教学提出了新的要求：数学直觉的培养、数学思想的熏陶、数学思维的提升，应该成为数学教学的主流。直觉即对问题本质的洞察力；它源于经验而高于经验，是经验的升华。思想蕴藏在知识内部，需要有效挖掘；思想以知识为载体而高于知识，因此教学要以知识为基础，但不能停留在知识的层面。思维是对问题的理性认知能力， 它是完成思维任务所必需的，且直接影响思维活动的效率；思维能力的提升需要一定的推理与运算技巧做基础，但思维重于技巧，技巧是为提升思维能力服务的。数学课堂如果离开了数学直觉的培养、数学思想的熏陶、数学思维的提升，特别是离开了对数学知识背后思想本质的挖掘，必然会陷入浅表化理解和机械化操作的窠臼，核心素养的培养也就成了一句空话。

进一步地，数学课堂如果没有把握相关概念与结论所反映的科学问题，教学必定是盲目的；如果没有对问题的思辨，思想性便荡然无存。从这个意义上说，问题是数学课堂的核心，思想是数学课堂的灵魂。没有问题，课堂便失去了动力；没有思想，课堂便失去了生机。