一种新型9-3可重构并联机构的设计、拓扑特性与重构分析

徐帅, 尤晶晶,2, 沈惠平, 叶鹏达

(1. 南京林业大学 机械电子工程学院,南京 210037;2. 江苏省精密与微细制造技术重点实验室,南京 210016;3. 常州大学 机械与轨道交通学院,江苏常州 213016)

1965年,Stewart首次提出一种含6条相同支链的并联机构[1],目前,大多数6自由度并联机构都是基于Stewart并联机构衍生而来。相对于传统的串联机构,该并联机构具有稳定性高、载重量大、累积误差小等优点[2-3],已广泛应用在航天航空、飞行模拟等领域中[4]。从几何构型上划分,Stewart并联机构可以分为平台型和台体型两种,与前者相比,后者的动、静平台各球铰链的球心可在空间任意分布,不局限于同一平面上。因此,后者具有更广泛的应用前景,但其理论研究难度也更大[5]。另一方面,尽管并联机构的适应领域越来越大,而其对工作环境的适应能力却很小。因此,在现代化生产过程中一种既满足传统并联机构的特点又具有可变结构特性的可重构台体型并联机构引起了广泛关注[6]。

当前,可重构并联机构实现的方式主要有4种:转换驱动模式[7]、改变运动副轴线方向[8-9]、施加几何约束[10]以及锁合运动副[11]。学者们已经在此基础上重构出许多新型的机构。文献[12]以5R并联机构为研究对象,通过改变马达的位置、机构的位姿以及几何尺寸重构出不同的构型。文献[13]设计了一款具有2T1R的机架可重构并联机构2-PRRR+RRR机构,通过对称改变其中2条支链实现机构的重构。文献[14]将柔性驱动应用到了平面并联机构中,设计出一种混合驱动的可重构并联机构。文献[15]研制了一类源于3-CPU机构的可重构并联机器人,其设计的锁紧系统允许一个旋转副有选择地与另一个旋转副固定,从而使机构重构成具有不同机动性的并联机构。鉴于此,本文通过设计一种可转换主、从运动及锁合的变胞移动副,给出了一种可重构并联机构。

当任意选取与自由度相等个数的移动副为驱动副时,机构为非冗余驱动;当选取大于自由度个数的移动副为驱动副时,机构为冗余驱动。基于此,利用变胞移动副的主动副与从动副模式可将9-3型并联机构转换成非冗余机构:6-3A和6-3B型并联机构。接着,利用锁合模式可将6-3A型并联机构重构成低自由度机构。与此同时,基于方位特征(Position and orientation characteristic, POC)方程的并联机构拓扑结构设计理论与方法,创建了并联机构拓扑分析的模块化公式,对并联机构进行拓扑特性分析,这为可重构并联机构后续的理论和应用研究鉴定了基础。

1 机构的描述

一种新型9-3可重构并联机构的结构简图如图1所示,该机构由动平台1、静平台0以及9条具有完全相同结构的支链构成。其中,每条支链由2个一般球面副(S)和1个移动副(P)组成;每三条支链相交于一个公共点,形成一个三重复合球铰副(b),这样就构成了3个(Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ)完全相同的混合单开链支路(记为HSOC支路)。其中,HSOC支路是在传统“5S-3P”空间七杆回路的顶端球面上,再串联连接1个同心球副形成。初始状态下,所有支链的长度相等,动平台位于静平台的几何中心处。

图1 9-3 型可重构并联机构的机构简图

区别于标准的Stewart平台型并联机构,9-3型可重构并联机构的移动副为一种变胞移动副,具有3种不同的工作模式,模型简图如图2所示。

图2 变胞移动副3种工作模式

借助于变胞移动副,可将多支链冗余并联机构转换为可重构并联机构。利用变胞移动副的驱动副与从动副,可将9-3型并联机构转换成两种非冗余并联机构:6-3A和6-3B构型,如图3a)所示。

图3 两类构型的结构简图

基于6-3A构型利用变胞移动副的锁合副,可重构出12种低自由度并联机构,如图3b)所示。其中,图3a)中≮·≯符号里面的数字表示动平台上球铰副连接支链的个数;图3b)中<·>符号里面的数字表示动平台上球铰副连接锁合支链的个数。

2 拓扑指标模块化

基于方位特征方程的并联机构拓扑设计方法[16],可确定机构连续运动的拓扑特征,这些特征也是与运动(动力)学性能密切相关的非线性特征。如机构连续运动的独立位移方程数、自由度(DOF)及耦合度(k)等。并联机构拓扑结构设计的一般过程如图4所示。

图4 并联机构的设计流程图

对于多支链的复杂并联机构,在进行拓扑特性分析时,其指标值计算、分析过程冗长、复杂。鉴于此,本文采用了模块化的方法将具有相同结构的单开链回路,单独分析并设置为一个模块,求解时只需要调用即可,不需要反复列公式求解。

2.1 机构的POC集

POC集反映的是运动副、支链或机构在空间上的转动和移动的维数,它在运动过程中保持不变。即并联机构POC集为:

(1)

式中:bM为支链的POC集;MJi为第i个运动副的POC集;m为运动副的个数;PM为并联机构的POC集;v为独立回路数;Mj为第j条支链末端的POC集。

已知,移动副的POC集PM=[t1;r0]、转动副的POC集RM=[t1;r1]及球面副的POC集SM=[t3;r3],可建立回路、动平台的POC集。

1) 模块1-1

回路中含有1个复合球铰副与1个一般球面副时, POC集bM=[t3;r3]。

2) 模块1-2

回路中仅含有两个一般球面副时,POC集bM=[t2;r3]。

3) 模块1-3

回路中仅含有1个一般球面副与1个转动副时,POC集bM=[t1;r3]。

4) 模块1-4

动平台的POC集OM=PM∩SM…=[t3;r3]。

2.2 机构的DOF

具有v个独立回路的并联机构,可视为由动、定平台和两者之间的(v+1)条支链组成,其自由度为

(2)

式中:F为机构DOF;fi为第i个运动副的自由度;ξLj为第j个回路的独立位移方程数。

由式(2)可知,v的个数与求解机构DOF的复杂程度有关,机构DOF的求解流程图如图5所示。

图5 机构DOF的求解流程图

由图5可知,当机构有9条支链时,求出DOF需要重复上述流程8次。这样,导致计算过程重复、冗余且工作量大。基于此,利用机构拓扑等效原理[16]可将HSOC支路简化为SOC支路,从而减少支链的个数。例如,将三重复合球铰副构成的HSOC{-P(5S-3P)-P(5S-3P)-P(5S-3P)-S-}支路可简化为SOC{-P-P-P-S-}支路。同理,由二重复合球铰副构成的HSOC{-P(3S-2P)-P(3S-2P)-R-S-}可简化为SOC{-P-P-R-S-}。进一步地,基于等效后的结构简图建立自由度求解模块,过程如下:

1) 子模块2-1:SOC{-P-P-P-S-S-P-P-P-}

(3)

2) 子模块2-2:SOC{-R(S-S)-P-P-P-S-}

(4)

计入绕(S-S)轴线转动的R(S-S)

3) 子模块2-3:SOC{-P-P-S-S-P-P-}

(5)

4) 子模块2-4:SOC{-R(S-S)-P-P-S-}

(6)

2.3 机构的耦合度

独立回路数为v的并联机构,可分解为一组有序的v个单开链,其第i个SOCi的约束度计算公式为

(7)

式中:mi为第i个SOCi的运动副;Ii为第i个SOCi的驱动副。

1) 子模块3-1:SOC{-S-P-b-P-S-}

(8)

2) 子模块3-2:SOC{-R(S-S)-b-P-S-}

(9)

3) 子模块3-3:不含驱动副的回路SOC{-S-P-b-}

(10)

4) 子模块3-4:SOC{-b-b-}

(11)

5) 子模块3-5:SOC{-R-b-}

(12)

6) 子模块3-6:SOC{-R-b-b-R-}

(13)

7)子模块3-7:SOC{-R-b-P-S-}

(14)

8) 子模块3-8:

当机构的约束度已知,相应耦合度值计算式为

(15)

至此,完成了运算模块的构建。接下来,将对9-3型可重构并联机构及其相关的重构构型进行详细的拓扑特性分析。

3 并联机构的拓扑特性分析

3.1 9-3型可重构并联机构

机构的回路分别为SOC1{-S1-P1-b1-P2-S2-}、SOC2{-R(S1-S2)-b1-P3-S3-}、SOC3{-S4-P4-b2-P5-S5-}、SOC4{-R(S4-S5)-b2-P6-S3-}、SOC5{-S7-P7-b3-P8-S8-}、SOC6{-S9-P9-b3-}、SOC7{-b2-b3-}、SOC8{-R(b1-b2)-b3-}。

3.1.1 机构POC

通过模块1-1可得到回路1～6的POC集为[t3;r3];通过模块1-2可得到回路7的POC集为[t2;r3];通过模块1-3可得到回路8的POC集为[t1;r3];通过模块1-4可得到动平台的POC集为[t3;r3]。

3.1.2 机构DOF

将机构中含有混合单开链的支路HSOC{-P(5S-3P)-P(5S-3P)-P(5S-3P)-S-}等效为SOC{-P-P-P-S-},等效后的拓扑结构如图6所示。动平台上S1、S2及S3副的轴线在空间任意交错,静平台上P1、P6及P7副的轴线在空间上任意交错。

图6 9-3台体型可重构并联机构的等效拓扑结构图

1) 由第1、2支链组成的第1独立回路SOC1{-P1-P2-P3-S1-S2-P4-P5-P6-},调用子模块2-1可得到支路的自由度为5。

2) 确定第2个独立回路由第3支链SOC2{-P7-P8-P9-S3-R(-S1-S2-)-}组成,调用子模块2-2可得到机构的自由度为6。

3.1.3 机构耦合度

通过模块3-1～3-5可确定回路1～8的约束度Δ1～8=0;通过模块3-8可确定该机构的耦合度κ=0。

该机构的耦合度为零。这样,它的位置正解无需通过复杂的数学推导,可方便求解出。文献[17]对于该机构的位置正解,给出了详细的求解流程。

接下来利用变胞移动副的主动副与从动副模式,得到两种非冗余6-3型并联机构,分别为6-3A与6-3B型并联机构。同样基于POC集理论,对该机构进行拓扑特性分析。

3.2 6-3A≮3-2-1≯型并联机构

由于从动副支链对于机构整体的运动没有影响,因此可视为该支链不存在。将9-3机构中的P2、P8及P9这3个移动副设置为从动副,可得到如图7所示的6-3A≮3-2-1≯型并联机构简图。

图7 6-3A≮3-2-1≯型并联机构的拓扑结构图

3.2.1 机构POC

机构的回路分别为SOC1{-S1-P1-b1-P3-S3-}、SOC2{-S6-P6-b2-R{-S1-S2}-}、SOC3{-S4-P4-b2-P5-S5-}、SOC4{-S7-P7-b3-R{-b1-b2}-}及SOC5{-b2-b1-}。

通过模块1-1可得到回路1～4的POC集[t3;r3];通过模块1-2可得到回路5的POC集[t2;r3];通过模块1-4可得到动平台的POC集[t3;r3]。

3.2.2 机构DOF

该机构由1个HSOC{-P(5S-3P)-P(5S-3P)-P(5S-3P)-S-}及2个HSOC{-P(3S-2P)-P(3S-2P)-R-S-}支链组成,通过模块2-1及2-2可得到该机构的自由度为6。鉴于该机构支链个数与自由度相等,可确定该机构为一种非冗余驱动并联机构。

3.2.3 机构耦合度

通过模块3-1～3-5可确定回路1～5的约束度Δ1～5=0;通过模块3-8可确定该机构的耦合度值κ=0。

至此,可确定该并联机构满足位置正解易求出的特点。

3.3 6-3B≮2-2-2≯型并联机构

将9-3构型中的P2、P6及P8这3个移动副,设置为从动副,可得到如图8所示的6-3B≮2-2-2≯型并联机构简图。

图8 6-3B≮2-2-2≯型并联机构的拓扑结构图

3.3.1 机构POC

机构的回路分别为SOC1{-S1-P1-b1-P3-S3-}、SOC2{-R{-S1-S3}-b1-b2-R{-S4-S5}-}、SOC3{-S4-P4-b2-P5-S5-}、SOC4{-S9-P9-b3-R{-b1-b2}-} 以及SOC5{-S7-P7-b3-}。

通过模块1-1可得到回路1～5的POC集[t3;r3];通过模块1-4可得到动平台的POC集[t3;r3]。

3.3.2 机构DOF

该机构中含有3个HSOC{-P(3S-2P)-P(3S-2P)-R-S-}支链,通过模块2-1及2-2可确定该机构的自由度为6。

3.3.3 机构耦合度

通过子模块3-1～3-5可确定回路1、3与5的约束度为0;通过子模块3-6可确定回路2的约束度为-1;通过子模块3-7可确定回路4的约束度为1。通过模块3-8可确定该机构的耦合度κ=1。

对κ>0的机构,在求解位置正解时,通过虚设κ个SPS型支链,使之转化为κ=0的并联机构,再采用κ维搜索法求出实数解[18]。鉴于此,基于κ=0的6-3A构型,利用变胞移动副的锁合模式进行重构,并分析重构构型的拓扑特性。

3.4 可重构性分析

以<1-1-1>构型为例,将P1、P4、P7这3个移动副设置为锁合副,其结构简图如图9所示。

图9 <1-1-1>构型结构简图

3.4.1 机构POC

机构的回路分别为SOC1{-S1-b1-P3-S3-}、SOC2{-P6-S6-b2-R{-S4-S5}-}、SOC3{-S4-b2-P5-S5-}、SOC4{-S7-b3-R{-b1-b2 }-}及SOC5{-b1-b2-}。

通过模块1-1可得到回路1～5的POC集[t3;r3];通过模块1-2可得到回路6的POC集[t2;r3];通过模块1-4可得到动平台的POC集[t3;r3]。

3.4.2 机构DOF

该机构含有3个HSOC{-P(3S-2P)-R-S-}支链,通过模块2-3及2-4可确定该机构的自由度为3。

3.4.3 机构耦合度

通过子模块3-1～3-5可确定回路1～5的约束度为0;通过模块3-8可确定该机构的耦合度κ=0。

至此,通过重构确定了<1-1-1>构型的耦合度值等于零。为了对机构进行系统全面的分析,共重构出5类(12种构型),其重构构型的拓扑结构特征如表1所示。

表1 重构构型的拓扑结构特征

从表1中可知,通过将移动副锁合可消去沿支链方向的移动自由度;相应地,改变锁合移动副的个数,机构可被重构为具有不同自由度的构型。

4 结论

1) 基于9-3型可重构并联机构,利用变胞移动副的主动模式及从动模式,实现了冗余机构到非冗余机构的转换,得到了两种6-3型非冗余驱动机构,分别为6-3A型与6-3B型;利用变胞移动副的锁合模式,重构得到了5类,12种少自由度并联机构。

2) 基于方位特征集的理论与方法,对9-3型可重构并联机构、两种6-3型并联机构及其重构构型,进行了拓扑特性分析,得到了重要的拓扑指标值:POC集、自由度及耦合度,其中6-3A型并联机构耦合度为零,表明了该机构易求解出机构的位置正解。

3) 所设计的可重构并联机构具有构型可变的特点,可利用重构来实现一机多用的目的。接下来的工作,将对可重构并联机构进行运动学分析以及研究不同构型各自所适用的工作环境。