数学活动中“深度理解”的教学初探

华中师范大学宝安附属学校 万小龙

学习数学不可或缺的方式是思考。数学学习的本质便是学习者凭借旧知和经验对新知产生个人的感悟，个人的感悟是学生亲身参与、自觉体验的过程，是学生积累数学方法的过程，是学生慢慢学会用数学思想方法理解数学概念和命题的过程。下面，笔者以北师大版数学的教学案例为例，谈一谈在数学活动中帮助学生深度理解的一些做法。

一、亲身体验，深度理解之“叶”

对知识的深度理解需要学生在经历数学活动过程中获得的对于数学的体验和认知，既包括学生的动手操作、认真阅读和仔细观察，又包含渗透于活动行为中的数学思考。《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出，教学在注重数学“基础知识”和“基本技能”的同时，还要增加积累“基本活动经验”和发展数学“基本思想”。可见，数学活动强调亲身体验的重要性。特级教师张天孝也认为，亲身体验是数学教育目标现代演变的一个主要标志。

“古人计数”是北师大版数学一年级上册第七单元第一课时的内容。在教学中，很多教师处理这个环节就是让学生对着电脑屏幕数一数，用小棒摆一摆，在计算器上拨一拨，甚至有些教师担心学生玩学具而减少学生用学具的次数，直接告诉学生数学结果，让学生读一读、记一记，以此追求教学的“高效”。古人漫长岁月形成的智慧，在课堂中如果被压缩成几分钟的内容在头脑中一闪而过，学生就无法体会到古人的智慧成果。对此，笔者是这样处理的：

羊圈里关了11只羊，牧羊人坐在羊圈旁，身边有9颗小石子和1颗大石子。古时候，人们用石子记录事物的数量，每出去一只羊，就在地上摆1颗小石子。当出来了10只羊时，牧羊人惊讶了，没有可用的小石子了，怎么办呢？同学们能帮牧羊人想想办法吗？

“可以用大石子来代替” “可以用小棒来代替” “可以去找小石子”……学生在问题的引导下，忙着帮牧羊人想办法。笔者趁机追问一个学生：“你为什么不用小棒代替，也不用大石子，而要去找小石子呢？”学生回答说：“当每1只羊用小石子表示时，就不能用其他东西表示了。”其他学生也纷纷赞同。可问题是没有那么多小石子，牧羊人需照看羊，又不能离开，怎么办？学生又一次陷入思考中……这时，有个学生举手说：“用大石子表示10。”笔者把大石子摆在第10个，问：“是这样吗？”有个学生急匆匆地说：“不对，这样大石子还是表示1只羊。”“那怎么办呢？”笔者把问题又一次抛给学生，并进一步提示学生，“刚才这个同学说大石子是表示第10个还是10个？”学生在教师的提示下回答：“10个”“不是第10个” “需把前面9个小石子拿走，就用1个大石子来表示10个”……这时，大部分学生对于教学难点 “10个一就是1个十”有了初步的认识。笔者站在学生的角度创设情境，让学生的潜能得到了充分的激发和释放。

由上述分析可以看出，深度理解的根本意图是强调教育的“过程性目标”而不仅仅是“结果性目标”。教学难点是“悟出来、想出来的，而不是教会的”。正如杜威在《民主主义与教育》中指出，教育是一种生长，生长的具体过程和内在机制可以概括地表述为“经验的改组或改造”，这个过程不是一个通过灌输实现的被动过程，而是在个人积极主动地参与共同生活的过程中能动地实现的。

二、自觉感悟，深度理解之“茎”

学生的思维是一个由具体形象思维到抽象思维发展过渡的过程。学生在数学活动中未必能理解所学的数学知识，深度理解更是无从谈起，那么怎样解决这一现实存在的问题呢？

如在“古人计数”一课的学习中，学生用小石头表示羊的数量，接着用小棒表示小羊的数量。学生用1根小棒表示1只羊，一边数一边摆1根小棒，在学生一共数了11根小棒时，笔者相机提问：“古人用1块大石头和1块小石头表示11块小石头，你们还能用什么办法表示11根小棒？”

生1：可以用1根大棒和1根小棒表示。

师：还有什么办法？

生2：可以把10根小棒捆在一起，这样可以用1捆和1根表示11根小棒。

师： 1根和1捆都用“1”表示，它们的区别在哪里？这样表示的好处是什么？

生1： 1根1根地数，数10根就是1捆。

生2： 1根和1捆都用了“1”，但单位不同。1捆里面有10根小棒。

接着笔者出示计数器，引导学生在个位上计数。

笔者在个位上拨1颗珠子，学生计数1；拨2颗珠子，学生计数2……当拨了10颗珠子时，笔者问学生：“接下来怎么处理？”

生：我会把个位上的10颗珠子去掉，在十位上拨1颗珠子。

师：在同学的演示过程中你发现了什么？

生1：我发现去掉了个位上的10颗珠子，在十位拨了1颗珠子。

生2：十位上的1颗珠子表示1个十，等于个位上去掉的10个一。

……

深度理解需要教师提供可探索的材料，让学生在操作与思考中不断探索、积淀新的知识，自动更新对新知识、新技能的新认知，从而在做中自觉理解，在观察中发现，在发现中提升。这一过程就是学生自觉感悟的过程。

三、感悟思想方法，深度理解之“根”

深度理解不是记住知识符号，不是对知识的简单占有，也不是对知识的表层学习，而是理解并促进学生对知识的逻辑要素和意义系统的转化。

笔者仍以“古人计数”的教学为例，出示看图写数让学生进行练习（见图1）。

图1

在学生写完数后，笔者随机提问：“你是怎样想的？”在相互交流中师生达成共识：大石头表示10块小石头，与2块小石头合并就是12块小石头；1串珠子中有10颗珠子，与4颗珠子合并就是14颗珠子；一排有10个小正方体，与另一排5个小正方体合并就是15个小正方体；1捆有10根小棒，与3根小棒合并就是13根小棒；十位上的1颗珠子表示10颗珠子，与个位上的6颗珠子合并就是16颗珠子。

有些教师在这个环节让学生写完数就结束教学了，但笔者认为，让学生说自己的想法是必不可少的。在语言表达过程中，可以帮助学生巩固所学知识。

笔者接着提出问题：“这5道看图计数题中，你能说出它们之间相同的地方和不同的地方吗？”在师生交流中，学生纷纷明白：相同的地方都是把“10个一看作1个十”，不同的地方是大石头和小石头不能像小棒、珠子和小方块那样直接看出来，但用小棒、珠子和小方块来计数又太笨重了。计数器有标明“十位”和“个位”，可以很清楚看出“1个十就是10个一”的关系，并且表示起来更为简洁。

看似朴素的语言，却触摸到了数学知识的本质。数学学习需要进行模仿、记忆和训练，但不是死记硬背、机械操练，而是在学生理解和思考的基础上积累学习经验、感悟思想。

四、精神唤醒，深度理解之“魂”

要使学科经验、学科思想、学科能力等关键目标深度达成，需要教师用问题来激活学生思维，从而启迪学生智慧。如笔者在教学北师大版数学五年级下册“长方体的表面积”一课时，围绕题目（见图2）让学生展开思考交流，达到了较好的效果。

图2

求下列长方体的面积。

上课伊始，笔者先让学生独立完成。大部分学生完成后，笔者点名生1在黑板上板书此题。

长方体纸盒的表面积：1 0×8×2+1 0×2×2+2×8×2=232cm2

①2 9×8=2 3 2 c m2；②3 0×1 8=5 4 0 c m2；③85×3=255cm2。

接着，生1饶有兴致地陈述他的观点:“选择①，因为长方体的表面积是232cm2，①号包装纸的面积也是232 cm2，所以选择①号包装纸。”同学们纷纷表示赞同。教师接着提问：“还有不同的想法吗？”此时有部分学生点头表示不同意生1的想法。

笔者很自信地拿出早已准备好的长方体牙膏盒给学生演示。提出问题：“用白板纸做牙膏盒，是不是刚好买这么大面积的白板纸呢？”学生在笔者的提示下，逐步明白：包装纸的面积应该比长方体纸盒的表面积要大一些。

“究竟选几号包装纸呢？”生2提出选③号包装纸，理由是③号的面积比长方体纸盒的表面积大，而②号包装纸太大了，有些浪费。一些学生也随声附和。笔者放手让学生讨论，过了一会儿，大部分学生默认应该使用③号包装纸，同时把目光投向笔者，希望得到老师的肯定。笔者提示：“对照课本中的图，还有没有不同的想法？相信你们还有不同的发现。”

这时，善于思考的生3高高地举起手：“我不赞同选择③号，因为在实际裁剪时，长方体的纸盒的上下面是10×8，而包装纸是85×3，根本无法裁剪。”

“一语道破天机”，学生恍然大悟。这时，笔者再次提问：“学数学究竟为了什么？”

“老师，我们不能被计算的结果所欺骗，要学会根据题意具体分析。”

“老师，我们应结合生活经验来学习数学。”

“老师，我们需认真思考出题人的意图。”

……

通过以上教学，学生学会了用数学的眼光来看待问题，更培养了学生的数学意识。教学中教师要注重学生思维的发展，用启迪式的教学唤醒学生的思维、发展学生的思维。