拱桥吊杆振动特性分析

汪洋 古锐

在外界荷载作用下，拱桥吊杆主要作横向和轴向的振动。通过对拱桥吊杆受力行为的深入分析，推导了拱桥吊杆横向、轴向的固有振动频率计算公式，并对2个方向的振动频率进行了分析比较，表明拱桥吊杆的振动以横向振动为主。并以一座既有中承式钢管混凝土拱桥为背景，使用ANSYS建立桥梁有限元模型，定量分析了吊杆的横向振动特性，表明吊杆的横向振动频率，随着吊杆长度的增加，刚度和边界条件对吊杆横向振动频率的影响减弱；由于吊杆的横向振动频率与吊杆长度成反比，短吊杆比长吊杆的振动频率要大得多，表明拱桥的短吊杆受力较为不利。

拱桥； 吊杆； 振动

U441+.3 A

［定稿日期］2022-01-24

［作者简介］汪洋（1977—），男，本科，高级工程师，从事道路与桥梁工程技术工作。

拱桥吊杆在风荷载以及车辆移动荷载作用下会发生振动，倾斜布置的吊杆还有可能发生雨振，这不仅放大了吊杆的内力而且还影响到吊杆的锚固可靠性。与斜拉桥拉索的的振动分析相类似，无论是车辆激振、风致振动还是雨振，拱桥吊杆受界外作用后的动力响应都与它的固有频率密切相关。因此，研究拱桥吊杆的固有振动是研究吊杆动力响应的前提［1］，拱桥吊杆可作横向以及轴向的振动，拱桥吊杆便具有2个方向的振动特性。

1 工程概况

某中承式大跨径钢管混凝土拱桥［2］，主跨计算跨径为150 m，计算矢跨比为1/4.5。全桥横向设置2道拱肋，拱肋截面由4根660 mm钢管构成。桥面系采用吊横梁、纵置小T梁，吊杆纵向间距5 m，行车道梁为标准跨径5 m和7.5 m的钢筋混凝土T梁，桥面宽度为24.5 m。墩台基础均为明挖基础，引桥桥墩为柱式墩。全桥共有 46根吊杆，采用镦头锚锚固于拱肋上缘和横梁下缘；每根吊杆采用138根S5 mm平行钢丝束，采用外套110 mm×5 mm薄壁钢管并内填C10混凝土砂浆防护，桥梁立面布置及吊杆截面如图1所示。

采用有限元软件ANSYS建立桥梁的空间模型，如图2所示，全桥共计5 397个节点，5 868个单元。模型中吊杆采用空间单向受拉三维杆单元 Link10单元模拟，其余构件如拱肋、拱肋之间的腹杆、吊杆横梁、立柱横梁、立柱、横撑和桥面系主梁等均采用Beam188单元模拟。

为了分析吊杆横向振动特性，设吊杆长度为l，所受拉力为T，单位长度吊杆的质量为m，不考虑吊杆的抗弯刚度，如图3所示，根据力的平衡可得吊杆的横向动力平衡方程见式（1）。

T（ηx+2ηx2dx）－Tηx-mdx2ηt2=0（1）

式（1）可以简化为式（2）。

T2ηx2－m2ηt2=0（2）

由于吊杆的横向振动方程和弦振方程相同［3］，因此本节不详细叙述其求解过程。据式（2），可得两端铰接吊杆的横向振动频率为式（3）。

ωn=nπlTm （n=1，2，3…）（3）

可见，吊杆的横向振动频率与吊杆的长度和轴力水平相关，长度越短，基频越高。当考虑吊杆的抗弯刚度［4］为EI时，式2则变为式（4）。

EI4ηx4+T2ηx2-m2ηt2=0（4）

当假定吊杆为两端铰接时，频率公式为式（5）。

ωn=nπlTm（1+n2π2l2EIT） （n=1，2，3…）（5）

假定吊杆两端是固结时，式（4）的解即为式（6），该式为一超越方程［5］，不能给出固有频率的显式解，但可以通过有限元方法求解。

αβ（1-cosαlcoshβl）+（β2-α2）sinαlsinhβl=0（6）

式中：

α2=（T2EI）2+mEIωn2－Tm（2EI）2

β2=（T2EI）2+mEIωn2+Tm（2EI）2

图4～图6为在不同计算方法和不同边界条件下，拱桥1号短吊杆、2号次短吊杆、12号跨中吊杆的横向振动频率值。

由以上计算知，有限元解与理论解差别微乎其微，通过有限元方法计算得出的吊杆横向振动频率是十分可靠的。在考虑吊杆的刚度后，吊杆振动基频增大14%以上，高阶振动频率甚至可增大200%以上；尤其是短吊杆，长度较短、刚度不可忽略，其截面受力特性近似于固结，相较于设计计算中无刚度铰接的处理，实际情况下的短吊杆基频增大有65%；而随着杆长的增长，刚度和边界条件对频率的影响减弱，可以观察到考虑不同条件下，跨中12号吊杆的前3阶频率基本无差别，而更高阶的频率差别也不大。

从图7可以清楚的看到，由于吊杆的横向振动频率与长度成反比，短吊杆比长吊杆的振动频率要大得多，1號短吊杆的基频是跨中12号吊杆的基频的7.9倍，2号次短吊杆基频也达到了3.6倍。因汽车冲击放大系数与基频成正比，在前述的吊杆拱桥中，在同样荷载作用下，短吊杆比长吊杆动荷载冲击影响要大得多，几乎都在2倍以上，这对短吊杆的受力是很不利的，另外，冲击影响大，导致构件应力幅增大，这对短吊杆的疲劳受力也是很不利的。

3 吊杆轴向固有振动频率

由于拱桥吊杆为轴向受力构件，因此其轴向振动分析便显得十分必要。吊杆在轴向上的受力行为可以简化为图8，设吊杆的轴向刚度为EA，均匀分布质量为m，根据达朗贝尔原理可建立轴向振动方程见式（7）。

T+m2ηt2－（T+Txdx）=0（7）

即得式（8）。

m2ηt2－Txdx=0（8）

引入轴力与位移的关系式见式（9）。

N=σA=εEA=ηxEA（9）

将式（9）代入式（8）可得式（10）。

m2ηt2-EA2ηx2=0（10）

对于式（10）的振动方程，可用分离变量法进行求解，并假定轴向振动为简谐振动，代入边界条件求解该微分方程，可以得到吊杆的轴向振动频率为式（11）。

ωn=nπ2lEAm （n=1，3，5…）（11）

一般拱桥的吊杆的长度为5～30 m，那么由式（11）可知拱桥吊杆轴向振动的基频一般在42～250 Hz之间，而拱桥吊杆的横向振动基频一般在3～30 Hz之间。可见，拱桥吊杆轴向振动基频要比横向振动基频大很多，约为11倍，因此拱桥吊杆的振动以横向振动为主。

4 结论

通过对拱桥吊杆受力行为的深入分析，推导了拱桥吊杆横向、轴向的固有振动频率计算公式，并对2个方向的振动频率进行了分析比较，表明拱桥吊杆的振动以横向振动为主。

并以某中承式大跨径钢管混凝土拱桥为工程背景，定量分析了吊杆的横向振动特性。吊杆的横向振动频率，随着吊杆长度的增长，刚度和边界条件对吊杆横向振动频率的影响减弱。由于吊杆的横向振动频率与长度成反比，短吊杆比长吊杆的振动频率要大得多，表明拱桥的短吊杆受力较为不利。

参考文献

［1］ R.克拉夫，J.彭津.结构动力学［M］. 王光远，译.北京：高等教育出版社，2006.

［2］ 古锐，陈惟珍，徐俊. 拱桥短吊杆在跳车激励下的动力特性分析［J］.城市道桥与防洪， 2020（9）： 59-60+72.

［3］ 顾安邦，徐君兰.中、下承式拱桥吊杆结构行为分析［J］ .重庆交通学院学报，2002，21（4）： 1-3.

［4］ 古锐，陈惟珍，徐俊. 拱桥短吊杆抗弯刚度的研究分析［J］.四川建筑， 2020（4）： 218-220.

［5］ 李国豪.桥梁结构稳定与振动［M］.北京：中国铁道出版社，1992.