基于计数单位，感悟数与运算的一致性

韩菲　孙玉婷　郎建胜

［摘 要］计数单位是建构“数”概念的基础，数的意义、组成、比较大小等知识在本质上都是计数单位的应用，小学数学主要学习的三种数——整数、小数和分数也因计数单位搭建起紧密的知识联系。计数单位也是学生理解运算算理的基础，四则运算可视为计数单位的累加、递减、分解和组合。以计数单位统领数的认识与运算过程，从计数单位角度认识整数、小数和分数的内在联系，这种数与运算的一致性教学能加强学生对数学本质的理解，建构起数学的完整脉络。

［关键词］计数单位；数与运算；一致性

［中图分类号］ G623.5［文献标识码］ A［文章编号］ 1007-9068（2023）11-0039-04

一、研究背景

1.數与运算的一致性是新课标的要求

《义务教育数学课程标准（2022年版》（以下简称“新课标”）对四大领域的课程内容进行了结构化整合，呈现整体性、一致性和阶段性的特点。其中在数与代数领域，新课标将内容整合为“数与运算”和“数量关系”两个主题。“数与运算”包括数的认识与数的运算两部分，新课标将二者作为一个整体体现出数的认识与数的运算之间的密切联系。新课标指出：“初步体会数是对数量的抽象，感悟数的概念本质上的一致性，形成数感和符号意识；感悟数的运算以及运算之间的关系，体会数的运算本质上的一致性，形成运算能力和推理意识。”因此，加强数的认识与数的运算的一致性，沟通“认数”与“算数”之间的联系是数与运算学习的重中之重。数学强调的联系不是浮于表面的知识点过渡与铺垫，而是挖掘知识之间的核心联系，否则，数学知识的学习就是零散的、相互割裂的，缺乏内在联系的。因此，将数的认识与数的运算整合为一个主题，从计数单位出发挖掘整数、小数和分数的本质意义，将有助于学生从整体上理解数与运算。

2.计数单位是数与运算一致性的核心

新课标提出要整合相同本质的内容，以加强知识间的联系；善用核心概念，在学生脑中构建学科知识体系。其中计数单位就是数与运算的核心概念之一，贯穿在整个小学阶段数与运算的学习中。在人教版四年级教材中，计数单位一词正式出现，实际上学生对这个词并不陌生，从一年级开始就在数的认识与运算学习过程中常常接触。学生对计数单位最基本的理解是个、十、百、千等逐渐扩大的数位，但对于“为什么产生计数单位”“整数、分数和小数的计数单位之间有什么联系”等问题存在不同认知，在教学中这些问题也常被忽略。

在数的认识方面，数的认识是小学数学的重要组成部分，其内容包括整数、小数和分数，主要学习数的意义、表示、读写、组成、比较大小、运算等。在数的意义和组成上，一个数由它的计数单位的个数组成，如456由4个百、5个十和6个一组成， 0.28由2个0.1和8个0.01组成，[34]由3个[14]组成。在读自然数时要读出数字符号和计数单位，在比较大小时是比较相同计数单位下的个数多少。可以说，计数单位决定了数的意义、读写、组成、比较大小、运算，它将众多知识点串联在一起，形成结构化的知识网络。其实学生在生活中就已经有了相应的经验，如分东西时会选择2个2个地分或5个5个地分，这是为了更方便计数与交流而创造出来的“单位”。学生在学习过程中会逐渐感悟到“单位”的用处不仅体现在数的认识中，感悟到计数单位的产生与现实生活的紧密联系，体会到数学中统一的基本思想。

在数的运算方面，数与运算的一致性是通过计数单位联系起来的。在产生数和数数过程中必然伴随数的增加或减少，这是加减运算的意义之一；若数以一定单位成倍地增加或减少，这是乘除运算的意义之一。在加减运算时将相同的计数单位相加减，在乘除运算时将计数单位个数累加和递减，在加减乘除笔算时还要注意数位对齐，等等，这些都离不开计数单位的运用。数的运算可以看作是计数单位之间的运算，基于十进制和位值制规则，以计数单位为整体进行运算，包括分数的通分也是为了转换为相同的计数单位再进行运算。无论是整数、分数还是小数，计数单位在运算过程中都发挥着巨大的作用，它是运算算理的基础与核心，也是搭建运算整体性的桥梁。

综上可知，计数单位在数的认识与运算中具有重要地位，要想深入地认识与理解计数单位，还要从计数系统的发展说起。

二、从计数系统的发展过程理解一致性

1.符号的诞生

数是对数量的抽象，数量的抽象源于对现实世界的经验。人们对数量多少的感知是天生的，起初古人还不会用数来表示物体的多少，于是用一一对应的方法进行比较，基于一一对应的感受与对物体的计量慢慢形成多与少的概念。对于同样的东西，理解多与少比较简单，加上就是多了，拿走就是少了，于是加减运算就在一一对应的数数基础上形成了。

随着表示数量的需求增加以及出于沟通的需要，人们渐渐开始用身边的常见集合来表示数，这样不需要将具体的事物呈现在对方眼前就可以交流数量的多少，如用一只手表示5个苹果，用石头、小木棍表示猎物数量。后来，人们创造了一些通用符号表示事物，为生产交换和沟通提供便利，如古埃及的象形文字、中国的甲骨文等。此阶段的计数实现了一定的抽象，人们会用符号表示1头牛或1粒米，但这里的“1”仍与具体事件有关。随着时间的推移，人们创造了专属的数字符号，这时符号的表达脱离了背景，仅表达数量多少而没有其他具体的含义。

2.从非进位到进位

进制计数是人为定义的一种可进位的计数方法，人们根据不同的文化背景与需求产生了不同的进制，如古巴比伦人采用六十进制，古埃及人采用十进制。目前普遍使用的是十进制，即相邻两个计数单位之间的进率是10。这与人类天然有10根手指有关，符合人类的思维习惯。在数字符号产生之前，远古时期的人们经常采用结绳计数法，一开始用1个结表示1，后来随着计量数量的增多，人们开始想到区分绳结的大小、位置、花式、颜色等来表示不同的数量单位，进而用不同的物体表示不同的量，而不只是将“1”简单地重复，这是最原始的进制计数。后来人们在龟甲、骨头、泥板上刻下记号以达到计数的目的，逐渐形成通用的数字符号。如图1中的古埃及象形数字，当计数到十、百、千、万……则改用一种新的符号表示，无须一直用“1”来重复计量与表示数，为记录较大的数量提供便利。

3.从非位值制到位值制

数量有无数个，难道要创造无数个符号来表示吗？聪明的人类想到了将符号重复使用，于是创造了位值原则。位值原则是指同一个数摆在不同的位置以表示不同的数值，如3在个位上表示3个一，在十位上表示3个十。在教学中数的表达实际上是多少个计数单位的表达，如50表示5个十，3/4表示3个1/4，0.8表示8个0.1。

将十进制与位值制相结合就是目前常用的十进制位值计数法。它以十进制和位值制为原则，哪一数位上的数满10便向前一数位进1，这里的“进1”是指一个计数单位。以此递推，同一个符号在不同位置上表示的数值不同，并且不同位置之间具有一定的数量关系，这样便可以用有限的符号代表所有的数值。至此，计数的发展实现了高层次抽象并具有了广泛应用性，极大地促进了数学的发展。

三、从数的产生与倍数关系理解一致性

1.从数的产生理解计数单位的一致性

学生的认知发展具有阶段性，对某个数学对象的深入认识往往需要分阶段学习，因此小学数学教材也采用螺旋式结构编排，但这容易导致学生对数学对象的认识较为分散，知识与知识之间没有形成结构化与系统化的体系，学生无法对数学形成全面完整的认识，无法深入理解知识之间的联系。因此在教学中，教师不仅要注意知识内部的纵向联系，还要注意各知识间的横向联系。例如，整数、分数和小数之间因计数单位而相互联系。又如，计数单位可以从两个方面来理解：“计数”指数事物的个数与顺序，可以一个一个地数，也可以十个十个地数，是对数数的抽象；“单位”是计量物体标准量的名称，如厘米、吨等。

对整数而言，“一”是最基本的计数单位，从1开始累加，数到10便产生了一个新的计数单位“十”，从10开始可以一为计数单位累加，11、12、13……直到20成为2个十，也可以十为计数单位累加，20、30、40……直到100又产生了一个新的计数单位“百”。基于此原理，自然数的计数单位逐渐扩大，形成了个、十、百、千、万等计数单位。

“1”还是自然数与分数（真分数）计数单位的联结点，具有丰富的内涵。“1”可以指一个物体，如1个月饼；也可以指一个计量单位，如1米；还可以指一些物体组成的整体，如1箱苹果。这样的“1”不再只有“具体数量1个”的含义，在关系表达中可表示为不限个数的1份，代表一个整体，常被称为单位“1”。当分物、测量和计算无法用整数表达结果时，便产生了分数。分数的产生是为了让数表达得更精确，将自然数的计数单位“一”均分后产生了更小的单位，这样的沟通使自然数的“一”与单位“1”具有了相似性和一致性。

为了满足现实世界中表达的需要以及数学本身发展的需要，小数便产生了，并且沿用了与整数一致的十进制。小学数学中学习的小数主要是有限小数，其也被称为十进分数的另一种表现形式。将分数单位中的1/10、1/100等作为小数的计数单位，实现整数与小数在表达与计数上的一致性。两者皆采用十进制，如果说整数的计数单位从小到大是逐渐扩大10倍，那么小数的计数单位就是从大到小逐渐缩小10倍。

2.从倍数关系理解计数单位的一致性

倍数关系是数量关系中最重要的一种，在认识数的过程中，除了理解数表示“数量”，还要加强理解表示“倍数关系”这一概念。无论是整数、分数还是小数，其计数单位都可以表示倍数关系，如1/3既可以表示一条线段长1/3米，也可以表示这条线段是另一条线段的1/3。“倍”也可以将乘法和除法联系起来，例如：2米长的线段的3倍就是以2米为计数单位度量3次，即2×3；6米长的线段是2米长的线段的几倍，就是以6米为计数单位，看其中包含了几个2米，即6÷2。这样，“倍数关系”很好地将数与运算的知识统一起来。小学教材中对于“倍”的编排分为两个阶段：三年级上册初步认识“倍”，借助直观具体的关系图理解谁是谁的几倍，以及解决简单的倍数关系问题；五年级下册从除法的定义出发，更深层次地理解倍数的概念。这些都离不开计数单位“份数意义”上的累加或分配。

為了使学生更好理解倍数关系，教师在教学时需要明确找出两个量在计数单位上的联系，也就是明确把谁看作比较时的标准量。例如，有2条长分别为1米和3米的线段，如果把1米长的线段看作单位“1”，则3米长的线段里有3个1，因此3米长的线段是1米长的线段的3倍；反之，如果把3米长的线段看作单位“1”，那么1米长的线段是3米长的线段的1/3。从“自然数可以表示倍数关系”迁移到“分数可以表示倍数关系”，是借助三年级“一个数是另一个数的几倍”理解“一个数是另一个数的几分之几”的含义。

四、基于计数单位的一致性，教学中需注意什么

教学注重一致性是新课标提出的新理念，然而教师在追求一致性的过程中也不能忽视学生学习阶段性的特点，应根据学生每个学段的认知特点和发展规律合理安排学习任务。若一味地追求一致性而忽视了学生的接受程度或对基础知识的深层理解，反而达不到良好的教学效果。因此，课堂教学中应避免出现以下情况。

1.内容复杂深奥，超出学生的理解范围

数学作为一门高度抽象的学科，具有严密、深奥的知识体系，知识与知识之间有着许多复杂的脉络，而小学生的思维特点还不足以深刻理解这些复杂的知识脉络。因此，教师不应在学生思维能力尚未达到成熟水平时额外补充一些复杂的知识，教学要在学生的最近发展区内巩固基础与拓展提升。如10的认识是认识数由量变到质变的重要内容，教师可以补充个位、十位数位的认识，十位上的1表示1个十，引导学生体会满10进1的过程，但是不需要在这里讲解位值原则以及十进制计数法，也不需要讲授二进制和五进制等，即教师应注意选择合适的时机、把握合适的尺度建立知识的一致性和内在联系，避免在学生思维尚未成熟、对知识一知半解的状态下讲解复杂深奥的内容。

2.急于求成，缺少经历触及知识本质的过程

把握数与运算的一致性是站在更高的层面上，用联系的视角对知识进行统整，这是理解数学知识一般化的过程，也是一个更抽象、更本质的过程。学生认识事物存在阶段性的特点，上述过程应是在了解学生认知特点的前提下，让学生逐步认识和经历的，因此，教学应当是循序渐进、逐步深入的。学生只有经历了触及知识本质的过程，才能逐步发展数学思维与素养，自觉搭建起认数与算数之间的桥梁。在探索一致性教学的过程中，如果教师试图通过一节课的时间讲清联系，或者没有选择好恰当的时机就触及知识的本质以及关于一致性的理解，这样的教学就犯了急于求成的错误。

沟通一致性能帮助学生更深层次地理解数学本质，有时也能更好地理解算理和算法。教师可以通过一些巧妙的教学方法，从计数单位的角度出发去设计教学。例如，为了在“分数的加减法”一课中渗透“相同计数单位上的数字相加减”这条加法的基本原理，教师出示如下题组：

400+300=

0.4+0.3=

23×4+23×3=

4/9+3/9=

教师首先引导学生观察这些算式的相同之处，即所有题目都是在计算“4+3=7”，接着提问：“这些算式又有什么不同之处？”有学生回答：“第一道算式是4个百加3个百，第二道算式是4个十分之一加3个十分之一……”最后，学生发现，它们都是计数单位不变，单位个数相加。

综上所述，学生通过深入理解计数单位进而对数与运算的一致性有所感悟，这是一个循序渐进的过程。在新课标的指导下，教师应在学生的理解范围内，引导学生以联系的视角看待数的认识与数的运算，这样才能真正促进学生对数学知识体系的理解以及学生数学思维的发展。

［ 参 考 文 献 ］

[1] 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2022.

[2] 史宁中.基本概念与运算法则：小学数学教学中的核心问题[M].北京：高等教育出版社，2013.

[3] 史宁中.数学思想概论：数量与数量关系的抽象（第1辑）[M].长春：东北师范大学出版社，2008.

[4] 朱国荣.从“不到1个”到“不到1倍”：“分数表示倍数关系的含义”一课教学思考与实践[J].小学教学（数学版），2021（Z1）：83-87.

（责编 李琪琦）