新教材“基本不等式”习题难度的比较研究*

仓万林 李 红

(江苏省江阴市要塞中学数学写作工作室 214432)

1 前言

教科书是教师进行教学活动和学生学习的基础资源,直接影响着教学的成效．近年来,在核心素养视域下,中外不同版本中小学数学教科书的比较研究已成为数学教育研究热点之一．

习题是数学教科书的重要组成部分,在学生对数学概念的理解、数学技能和数学思想方法的掌握等方面具有举足轻重的作用,也对数学课堂教学产生不可忽视的影响．习题配置在一定程度上反映了数学教科书的特征,如编写者的价值取向和编写风格等．因此,习题研究是教科书研究的一个重要方面．如王建磐、鲍建生对中国、美国、法国、俄罗斯、澳大利亚的六套高中数学教科书中习题综合难度进行了比较研究[1]．

依据《普通高中数学课程标准(2017年版)》,相关出版社相继出版了多个版本的数学教科书,呈现出一(课)标多(版)本的局面．本文选取了2019年最新版的人民教育出版社A版(以下简称人教A版)、人民教育出版社B版(以下简称人教B版)、北京师范大学出版社(以下简称北师大版)、上海教育出版社(以下简称沪教版)、江苏凤凰教育出版社(以下简称苏教版)、湖南教育出版社(以下简称湘教版)、湖北教育出版社(以下简称鄂教版)七版高中数学新教材必修第一册中“基本不等式”内容习题进行比较研究．相比于高校学者的宏观研究,这是一线高中数学教师有可能研究的问题．同时,本文也是《七种版本新教材“基本不等式”内容的比较研究》[2]一文的延续．

2 习题比较

数学教材是由正文、例题、习题三部分有机组成的[3]．本研究中的习题包含了例题,在实际教学过程中,教师会根据教学情况更换例题,也会出现将例题作为作业的情况．

习题在教科书中占比较大,其配置情况直接影响着学生的学习质量．在各种版本的教科书中,习题均由例题、随堂练习、小节习题、复习参考题四种形式构成．例题一般跟随在知识点之后,主要特点是“例”,即讲解完某一知识点便设置相应的例题来展示其具体应用,通常会有详细的解析和规范的解答过程．根据出现的位置不同,习题还有随堂练习、小节习题以及章末复习参考题等.随堂练习是对所学知识和例题的进一步深化;小节习题一般位于某一节之后,起到巩固和综合的作用;复习参考题位于章节最后,题量较大,主要考查学生对整章知识的掌握程度．小节习题和复习参考题一般根据知识点模块分为A组、B组、C组,难度逐级递增．

2.1 习题呈现方式

习题呈现方式体现了教科书编写特色．虽然本文只研究一小节内容的习题,但从整体上梳理习题的结构有助于我们更好地理解问题．多种版本教科书中例题的呈现方式差异不大,例题之外的习题有丰富而实用的个性化设置.在新版教科书中,例题之外的习题按难度进行分类设置已经基本形成共识,除鄂教版仅在复习参考题中进行分类外,其余六版教科书均从随堂练习就开始进行分组设计,其中人教B版中随堂练习以A、B组形式直接列出,另外五版教科书中的练习是以基本不等式证明和基本不等式实际应用分别设置,相当于进行了分组．在小节习题和复习参考题中,人教B版、北师大版、沪教版、鄂教版均用A、B、C组形式分组(沪教版中的“拓展与思考”、鄂教版中的“思考与实践”相当于C组题)．人教A版教材以“复习巩固、综合应用、拓广探索”、苏教版教材以“感受·理解、思考·应用、探究·拓展”形式对习题进行了分类;湘教版用“学而时习之、温故而知新、上下而求索”进行分类,从一个侧面体现了教科书对数学文化的重视．

2.2 习题数量

要想理解、掌握一个知识点,就需要适当的练习,但练习的次数要有度,过度的练习会给学生带来学习负担,这也是经常困扰教师教学的一个问题．七版数学教科书的各类习题数量如表1所示.

表1 七版数学教科书习题数量

由表1可知,习题数量最少的是北师大版,仅有19题,由于北师大版教科书将“基本不等式”小节放置在初高中衔接内容中,因此在题目数量上较少;最多的是人教B版,有37题．七版教科书中习题数量的中位数是25,方差为47.48．小节习题所占的比重最大．新教材的习题数量均略多于相应版本旧教材,更强调学生练习．

图1 数学课程综合难度模型

2.3 习题难度

2002年,鲍建生借鉴Nohara的数学题“综合难度”分析框架,建立了数学课程综合难度模型[4],如 图1．史宁中等从课程深度、课程广度和课程时间三个因素建立了课程难度模型[5].2013年,郭民、史宁中又修正了课程难度模型[6]．

本文根据鲍建生修正后的综合难度模型进行研究,见表2．这个模型操作简单,使用方便,相对较好地量化了数学题的综合难度．

表2 数学习题难度因素与水平

权重的加权平均值,dij表示第i个难度因素上第j个水平的权重(dij=j),nij表示属于第i个难度因素上第j个水平的题目个数,n表示题目总个数．

由于本文研究的习题数量不太多,笔者以人教A版教科书习题为例,给出习题难度分析结果(表3).

表3 人教A版教材习题难度一栏表

按同样方式,得到另外六版教科书习题的难度分析表,在此基础上,汇总七版教科书习题难度因素加权平均统计结果(表4).

表4 七版教科书习题难度因素加权平均统计

下面,先按照每个难度因素分别对七版教科书进行定量分析和定性描述,然后再从综合难度上进行比较．

2.3.1 在背景水平上的差异

从表4可以看出七版数学教科书在背景因素水平上差异较大:沪教版中属于“无背景”水平习题比例最高,为74.07%,人教B版的比例也在70%以上,与之形成鲜明对比的是,人教A版和湘教版比例均为44%,北师大版最低,仅为42.11%．这反映出教科书编写者对数学应用问题的观点有很大的差异,体现在实际教学中,一线教师对新教材中应用问题的态度有很大的分化．在“有背景”的问题中,在与生产生活相关的“个人生活”和“公共常识”方面,人教A版、湘教版、北师大版占比超过了50%．在“科学情境”上,七版教科书处于较低的水平,仅人教A版、人教B版、苏教版中各有1个问题．

当然,由于研究对象的特殊性,对七版高中数学教科书进行背景水平的测量具有一定的片面性．事实上,七版教科书中,许多有背景的问题并不在例题中,多数教材都偏向在引入部分和探究建模部分设置有情景的问题．

2.3.2 在数学认知水平上的差异

七版高中数学教科书习题在数学认知水平上的差异分析结果如图2所示．

图2 七版数学教科书习题在数学认知水平上的比较

从整体来看,七版教科书都是“理解”水平的习题最多,“识记”水平的次之,“探究”水平的习题最少,仅在苏教版中出现过1个“探究”水平的习题．“理解”水平的习题占比一般在80%左右,其中人教A版的比例最低,为64%,鄂教版的比例最高,为90%,其他几个版本差异不明显．在“应用”水平上,人教A版的比例最高,为16%,是其他版本的2～3倍．总的来说,七版教科书“探究”水平的习题较少,部分问题出现在“阅读与思考”或者“信息技术应用”等栏目中．这也说明了高中教科书更加重视让学习者理解领会知识,而不仅仅是简单的计算和概念识记．同时从图表中可以发现,人教A版“识记”水平的习题占比为20%,与其形成鲜明对比的是,鄂教版中仅有5%,这是鄂教版习题总量在七版教科书中数量最少的原因之一．

2.3.3 在运算水平上的差异

七版教科书中均没有出现“复杂符号运算”水平的习题,这与“基本不等式”内容在新教材中的位置前移有关,也从一个侧面解释了部分一线教师在教学时会受原教材和评价的影响,产生很多不适应．在“简单符号运算”上,占比最高的前两位是鄂教版(90%)和湘教版(88%),人教A版的最低(48%)．不同版本侧重点差异较大:人教A版、人教B版、沪教版教材在“无运算”“数值运算”与“简单符号运算”方面的比例相当;鄂教版和湘教版更重视“简单符号运算”,其次是“数值运算”．“无运算”习题比例非常低,仅在苏教版和湘教版中出现了少量无运算的习题．

2.3.4 在推理水平上的差异

由表4不难看出,七版教科书习题以“无推理”和“简单推理”水平为主,在这两个水平上基本保持一致,占比均在50%左右．在“复杂推理”层次上,人教A版和苏教版分别有一个习题．人教B版推理水平的习题占比为56.76%,明显高于其他几个版本,沪教版推理水平的习题占比较低,为37.04%.

2.3.5 在知识含量水平上的差异

统计表明,七版教科书在知识含量水平上趋向一致,都是随知识点数量的增加,习题所占比例逐渐减小,且大部分题目仅含1～2个知识点,均没有出现“三个知识点”水平的问题．七版教科书习题在“一个知识点”水平的占比在60%左右,苏教版占比最高,为65.71%,湘教版最低,为52%．在“两个知识点”水平的习题占比40%．这体现出新教材习题考查的知识点更加全面,有利于锻炼学生解题能力,提高数学核心素养．

2.3.6 综合难度的差异

表5给出了七版教科书习题在五个难度因素上的排序情况,现在利用综合难度模型计算其综合难度值．

通过对习题难度因素加权平均值的统计,得到下面的雷达图,见图3．

图3 七版数学教科书习题综合难度的比较

2.4 结论

研究表明,人教A版、人教B版的整体水平差异不大．沪教版的知识综合程度不高．七版高中数学教科书习题在综合难度上都没有保持5个难度因素之间的平衡,知识含量因素的加权均值相比其他4个因素要小很多,在“认知要求”和“运算”上要求都比较高．因此,教科书习题的选择和编写应注意与数学内容紧密结合,充分考虑其特殊性,适当兼顾各个难度因素之间的平衡．

表5 七种版本教材习题难度因素排序

3 研究启示和教学建议

3.1 研究启示

3.1.1 改善习题呈现方式

习题的设置在很大程度上会影响学生对数学知识的理解及其数学思维的形成过程[7]．各个版本的新教材中,例题的呈现方式可以适当丰富,与其余的习题在结构上形成有机衔接．虽然七版教科书中多数对例题之外的习题进行了分层处理,但没有根据不同的知识技能目标进行更加细致具体的分层处理．建议小节习题分为“巩固题”“应用题”“复习题”“开放题”等,章复习参考题以“技能”“性质”“应用”“拓展”4个方面分层次呈现,体现较完善的习题呈现方式,并分配相应数量的习题．

3.1.2 适当增加探索性和开放性习题

从研究的结果中不难发现,七版教科书中处于探究分析、复杂推理和复杂符号运算等高层次水平的习题占比较少.需要在注重双基、重视概念练习的前提下,重视较高数学认知水平的培养,降低与例题形式完全相同、直接模仿例题解答的练习题比例,提高较高认知水平的练习题比例．新课标提倡丰富多彩的学习方式,如探究学习、自主学习、合作学习等,建议教科书中适当设置“开放题”(探究题、动手实践题、合作交流题),方式上可采用现在越来越多教师和学生感兴趣的数学写作等形式．

3.2 教学建议

在实际教学中,教师应全方位参考多版本教科书,取长补短,选择合适的教学内容,并根据学情选择性地进行拓展延伸．

教学中体现数学文化融入课程的实践.习题作为数学教科书的重要组成部分,也要体现数学文化的价值．基本不等式内容中包含着丰富的数学文化内容,如人教A版和苏教版等教科书中广泛应用的“弦图”、基本不等式的无字证明等,在教学中应引起重视．

致谢:本文写作得到了众多专家的指导,如苏州大学数学科学学院严亚强教授、周超教授,华东师范大学出版社刘祖希老师,广西教育期刊社陆顺演老师,溧阳市教师发展中心教研员胡云飞老师,浙江杭州第九中学龚雷老师等,一并感谢．