一道高考题的多种解法探析

彭罗

2022 年新高考Ⅰ卷，第 8 题是一道综合性问题，综合考查了函数、立体几何、不等式知识，对考生的计算、推理、判断等能力有较高的要求.该试题不落窠臼，其命题形式不同于以往的题目，让人耳目一新.下面从多个角度探究2022 年新高考Ⅰ卷第8题的解法，并对求解幾何体体积取值范围的思路进行总结归纳.

题目：（2022年新高考Ⅰ卷，第8题）已知正四棱锥的侧棱长为 l ，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为 36π ，且 3 ≤ l ≤ 3 3 ，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）.

角度一：利用函数的单调性

对于取值范围问题，我们常用函数的单调性来求解.首先根据题意以某个变量为自变量，列出关于变量的函数式，或将目标式看作函数式；然后根据简单基本函数的单调性，或导函数的性质确定函数的单调性，便可根据函数的单调性求目标式的取值范围.

解：

我们以四棱锥的侧棱长 l 为自变量，把四棱锥体积的表达式看作关于 l 的函数式，即可将四棱锥体积的取值范围问题转化为函数最值问题.通过讨论导函数的性质确定函数的单调性，即可根据函数的单调性求得四棱锥体积的取值范围.在解题时，同学们要关注自变量的取值范围，即函数的定义域，这是确保得出正确答案的前提条件.

角度二：利用基本不等式

基本不等式≥a >0， b >0是求取值范围的重要工具.若要求某个代数式的取值范围，则可将其变形、配凑为两式的和或积，并使其中之一为定值，这样便可运用基本不等式求得和的最小值，或积的最大值.最后还需检验等号成立的条件.

解：

我们需先根据题意和正四棱锥的结构特征，建立关于球 O 的半径 R、几何体底面边长 a、正四棱锥 P -ABCD 的高 h 的关系式，并求得正四棱锥体积的表达式 V = ?（12h -2h2）?h ；然后将其进行整理为 V = ?h ? h（12-2h）.将其看作三式h、h、12-2h 的积，运用基本不等式的变形式≥3 ，即可求得正四棱锥体积的取值范围.

角度三：利用三角函数的性质

在求几何体的体积的取值范围时，可引入角θ ， 将问题转化为三角函数最值问题来求解.由于正四棱锥较为特殊，其四个侧面与底面所成的角均相等，四条侧棱与底面所成的角均相等，所以在求正四棱锥的体积问题时，可引入一个角度θ ， 将正四棱锥的底面边长、高、侧棱长等用参数θ表示出来，将几何体的体积用三角函数表示出来，从而建立三角函数模型，利用三角函数的性质来求得四棱锥体积的取值范围.

解：

该解法是以球的半径与四棱锥的高之间的夹角为自变量，并用该变量表示出四棱锥的底面积、高、体积，将问题转化为三角函数最值问题，根据基本不等式和余弦函数的有界性求得四棱锥体积的取值范围.

将三种解法进行对比，可以发现，解答几何体体积的取值范围问题，需通过探索变量间的关系，构建相应的函数、不等式、三角函数模型，将问题转化为函数最值、不等式问题、三角函数最值问题来求解.这三种解法灵活，针对不同解法的特点，需进行相应的训练，以提升应用这些方法解题的熟练程度.

高考试题命题者每年都会推陈出新，但是万变不离其宗，永远都是围绕着教材知识进行命题.因此同学们需扎实掌握并学会灵活运用教材知识，把握数学的本质；通过挖掘教材中的例题和习题掌握一些解题的思路和方法，归纳总结一些解题的技巧，培养发现、分析、解决问题的能力，进而提高“四能”，培养数学学科的六大核心素养.

（作者单位：福建省泉州市泉港区第二中学）