探寻有效路径培养学生逆向思维

张鹏

摘要：在新课程改革持续推进的教育背景下，对高中数学教学提出更高的标准和要求，不仅要关注理论知识、运算方法和解题技巧，还需要注重学生思维能力的培养与发展.教师在教学中需探寻有效途径培养学生的逆向思维，将学生逆向思维的培养融入点滴教学之中，在促进学生思维品质提升的同时，使其深化理解与掌握数学知识及技能.

关键词：有效途径；课堂教学；逆向思维

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2023）15-0005-03

逆向思维又称之为求异思维，即为对司空见惯、似乎已成定论的事物或观点反过来思考的一种思维方式，使思维向对立面的方向发展，从问题的相反面深入探索，树立新思想和创立新形象.高中数学作为一门逻辑思维和抽象性十分强的科目，逆向思维成为高中生学习数学知识与解题的必备品质之一.在高中数学教学中，教师要将培养学生逆向思维的品质融于平时的数学教学中，不断关注学生的思维能力发展，通过探寻有效途径加大培养力度，从而既优化学生的思维品质，又促进学生数学能力的飞跃.

1 基于概念教学着手，培养学生逆向思维

在高中数学课程教学中，概念属于基础性知识，是学生学习其他知识和解题的前提.为有效培养学生的逆向思维，教师首先可基于概念教学着手，使其对概念进行反向推理，潜移默化地培养逆向思维.对此，高中数学教师在概念教学中，不能因循守旧地只带领学生进行正向推导，还要指导学生学会反向推理，使其数学思维不再固化，而是变得发散和开阔.

在进行“对数函数”教学时，教师先带领学生回顾指数函数的研究过程，再次谈论细胞分裂问题，学生知道某种细胞分裂时，得到细胞个数y是分裂次数x的函数，可用指数函数y＝2x表示.接着，教师设疑：现在大家一起从逆向视角研究相反的问题，假如要求这种细胞经过多少次分裂，大约可以得到1万个，10万个……细胞，那么分裂次数x就是要得到细胞个数y的函数，根据对数的概念，这个函数可以写成对数的形式.就是x＝log2y.提示学生逆向思考，用x表示自变量，y表示函数，使其顺利得出新的函数形式y＝log2x，并辅助学生总结出对数函数的概念，即为，一般地，当a＞0且a≠1时，函数y＝logax叫做对数函数.随后教师指导学生结合指数函数的定义域、值域逆向研究对数函数的定义域和值域.

概念是数学学科的基石，是学生深度理解数学问题的关键.在高中数学教学中，教师要通过灵活多样的教学方法，引导学生深化对数学概念的理解，從而为学生的思维发展奠定坚实的基础.在上述案例中，教师合理利用指数函数与对数函数这对互逆概念设计教学，帮助学生理解对数函数的概念，使其学会利用联系的观点分析问题，让学生认识到事物之间能够相互转化，为学生后续思维能力的进一步优化奠定了基础.

2 借助定义教学契机，培养学生逆向思维

定义即为对于一种事物的本质特征或一个概念的内涵和外延，进行确切而简要的说明，与概念相比，意思、出处和侧重点均有所不同.在高中数学教学中，教师可借助定义教学的契机展开逆向思维锻炼.某些与定义直接相关的问题，条件与结论是相互等价的，能够相互推导出来，让学生了解到定义不仅能正向使用，也可逆向使用，借此培养学生的逆向思维.

在开展“集合”教学时，教师先带领学生学习集合、子集、全集和补集等相关基础性知识，重点是定义的描述和元素，结合韦恩图指引学生学习交集的定义：一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合，叫做A与B的交集，记作A∩B，读作“A交B”，即A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}.使学结合这一说法给出并集的定义：一般地，由所有属于A或属于B的元素组成的集合，叫做集合A与B的并集，A与B的并集记作A∪B，读作“A并B”，即A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}.之后，教师组织学生进行逆命题和真命题的判断练习，如：当集合A是集合B的子集时，A∩B＝A，反过来讲，当A∩B＝A时，集合A就是集合B的子集.要求学生模仿这样的说法自主设计命题，由同伴判断.

数学定义皆为高度概括和抽象的语句对数学问题进行归纳.在教学中，教师要以此为契机，引导学生深度融入定义概念，深刻理解和认识定义，特别是借助问题的反复认知，使得学生把握定义的内在意义，培养学生思维的灵活性和深刻性.在这一课的教学中，教师在讲授基础性的定义知识过程中融入逆向思维的培养，并结合举例说明，让学生也列举一些相关例子，使其学会逆向思考和应用定义，锻炼了学生的逆向思维能力.

3 强化公式应用练习，培养学生逆向思维

从数学视角来看，公式是用数学符号表示几个量之间关系的式子，具有典型的普遍性特征，适用于同类关系的所有问题.在高中数学公式教学中应当突出双向性，教师既要指导学生通过常规思维正向使用公式求解问题，还需强化公式的逆向应用训练，使其慢慢形成逆向理解公式的思维，促使学生牢固掌握、深化记忆与灵活使用，最终产生融会贯通的效果，这样才能真正实现对学生思维的灵活性和敏锐性的培养，使学生具有发现的慧眼，捕获问题的本质.

以“三角函数”教学为例，该部分知识内容运用得较为广泛，通常是考试考查的一个重点.由于有多种三角函数公式的存在，包括正弦、余弦、正切、余切等，所以对学生灵活运用公式的水平要求较高，不过只要学生掌握公式的逆推能力，学习起来难度就不是特别大.在学习完理论知识后，教师可设计练习题，先引导学生直接应用公式变化来解题，之后，再鼓励学生从逆向视角出发，运用逆向思维进行求解.

逆向思维需要学生拥有对数学知识的深刻认识以及对数学关系的准确把握.公式是数学学科的典型特征，是数学关系的高度浓缩.在数学公式教学中，教师要着眼于公式的灵活应用，让学生学会举一反三，把握公式的本质.在上述案例中，教师高度重视公式的正向与逆向使用，让学生学会使用恰当的方法解答练习题，使其意识到逆向思维是处理问题的有效工具，通过加强练习培养学生的逆向思维.

4 教师发挥引导作用，培养学生逆向思维

教师是学生学习进程中的引路人.科学有效的引导能够给学生的学习带来事半功倍的效果，促进学生在轻松快乐中掌握知识，在不经意间掌握数学思维的方法.在新时期教育背景下的高中数学教学中，要想更好地培养学生的逆向思维，教师需要及时更新教育理念，坚持“以生为本”原则，增强对学生逆向思维的训练，使其数学思维变得更加深刻和敏锐.同时，高中数学教师还应发挥自身引导作用，引领学生适当采用分析法与反证法分析数学问题，培养学生的双向思考能力，使其学会应用这两种逆向思维方式.

例如，在实施“解析几何”教学时，教师引用例题：在平面直角坐标系xOy中，动点P到定点F（0，1）的距离和P到定直线x＝-4的距离之比为1∶2，求动点P的轨迹C的方程.如果轨迹C上的动点N到定点M（m，0）（0＜m＜2）的距离的最小值是1，求m的值.第一问较为简单，学生能够轻松推导出动点P的轨迹方程是x24＋y23＝1.处理第二问时，学生通常只考虑到0＜4m＜2这一种情况，容易把4m＞2的情况漏掉，此时，教师就需要引领学生结合结论把公式逆向推理，使其发现其中的问题.让学生分两种情况进行讨论：当0＜4m＜2时，由|MN|2＝1，通过计算能够得出m＝63，代入公式后发现x＞2，超出讨论区间，要把这个值舍去；当4m＞2时，当x＝2时，|MN|2取最小值1，可求得m＝1或m＝3（舍去）.综上，m=1.

学生思维本领的发展是一个潜移默化的渐进过程，学生思维能力的提升不是一蹴而就的.在此过程中，既需要学生在平时的学习中不断总结，不断升华，更离不开教师的悉心指导.为此，在平时的教学中，教师应针对学生的学习实际，有意识地培养学生的数学思维，尤其是借助一些典型的数学问题，挖掘学生的思维潜能，让学生有豁然开朗之感，促进学生思维的顿悟.在上述教学案例中，教师极力发挥出自身的引导作用，提示学生采用逆向推理，帮助学生走出思维的困境，產生“拨开云雾见日月”之感.

5积极开展解题训练，培养学生逆向思维

在高中数学教学中，解题训练是不可或缺的一个重要环节，既能检测学生对理论知识和解题方法的掌握情况，还可以锻炼学生的解题技巧，使其掌握更多窍门，从而正确、快速地处理数学试题.因此，高中数学教师需积极开展解题训练活动，指引学生采用逆向思维分析和解题，使其把复杂、特殊、抽象的问题变得简便、一般和具体.

在“数列”教学中，教师可设置这样一道数学试题：已知a1＝3，an＋1＝a2n，n∈N*，求an的值.本道题目主要考查学生对数列知识的掌握情况.教师可先要求学生认真阅读题目内容，找出已知信息和所求问题，使其尝试从逆向视角切入，结合函数相关知识求解.具体解题过程如下：结合题目中给出的已知条件an＋1＝a2n，能够将其转变成函数关系式，即为f（n＋1）＝f 2（n），得到这个式子以后，教师可以让学生联想到需要使用什么方式把函数式继续推导下去，使其运用函数概念、公式等知识，套入公式后得到f（n）＝f 2（n-1），然后继续推导得出f（2）＝f 2（1），经过一系列计算得到f（n）=［f（1）］2n-1=32n-1也就是说an=32n-1.

数学学习离不开解题，解题既是学生数学学习的重要内容，也是优化学生思维品质的重要引擎，解题能力与学生的思维品质的培养可谓相辅相成.学生的学习归根结底要落脚于学生的解题能力.为此，在平时的数学教学中，教师一方面要通过庖丁解牛式的细致讲解，帮助学生厘清数学知识的脉络，更重要的是指导学生学会解题，善于解题，不断提升学生的数学解题能力.在平时的教学中，教师要通过精心设计解题活动，通过展示、分享、分析、比较，不断凸显学生解题过程中的得与失、优与劣，并从思维的品质上给予评价.上述案例中，教师积极设计解题训练活动，为学生提供和制造更多运用逆向思维的机会，使其获得解决问题的新途径，能够快捷、高效地解答试题，改善学生的逆向思维水平，同时更提升了学生的数学解题能力.

总之，数学思维是学生数学学习的重要内容，是提升学生数学学习质效的关键内在因素.逆向思维更是学生思维品质中的关键组成.在高中数学教学实践中，教师应意识到培养逆向思维的重要性与价值，在日常教学中要善于把握契机，从概念、定义、公式和解题等多个环节切入，全方位培养学生的逆向思维能力，使其深化理解数学理论知识，让学生形成简便、有效的解题思路.

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［责任编辑：李璟］