基于变换理论的消波结构设计

◎ 任超 黄毓，2

1.大连海洋大学海洋与土木工程学院；2.设施渔业教育部重点实验室

1.引言

海洋一直都是人类经济活动的重要场所，包括深水网箱养殖、海洋波浪能发电、海洋钻井平台等。这些设施都可能受到恶劣海洋环境的影响，削弱水波能量和控制水波传播等成为保障海洋设施的关键。传统防波堤已经被证明可以用来消散和衰减波浪，其中潜堤对海水循环和生态环境影响小，海岸景观逐渐受到重视，现有的单列式潜堤和系列潜堤大都结构形式简单，对于系列潜堤的研究主要集中于为针对简单结构构型的反射系数及波浪传播变形的数值仿真和实验研究[1,2]。Hsu[3]等通过理论研究、实验研究和数值分析研究了波浪传播通过周期性三角形、矩形和余弦型潜堤的布拉格反射现象，得到相同数目的潜堤矩形反射系数最优，三角形最差。蔡力宏等[4]对波浪通过系列斜坡底床潜堤的布拉格反射现象进行了研究。Wen等[5]研究了系列潜堤的堤数、堤高、间距等结构参数对布拉格反射带宽与最大反射系数的影响，并得到潜堤反射系数的经验公式。将周期性的布拉格反射现象与由布拉格散射机理形成的带隙联系起来，对于海岸防护的设计和应用具有重大意义。

带隙的概念来自于电磁波和声波，当电磁波和声波传播通过人工设计的周期性结构时对应带隙频段的光波或声波可以有效衰减。类比电磁波、声波和水波控制方程的相似性，Zhang[6]将周期性结构设计应用于水波调控中，设计了侧壁周期性起伏结构，对在0.74-0.84Hz频段范围内的波浪产生了布拉格散射，有效抑制了水波的传播。Hsu[7]给出2k/kb=1处产生初级共振，其中k和kb分别为自由表面波数和底部结构物波数。近年来，超材料发展迅速，打破了原有周期性带隙结构物设计的限制，提出了新的调控波传播的机制。超材料是由亚波长结构组成的人造材料，基于超材料的概念许多新颖的现象和器件被提出，例如负折射率、隐身衣等，其中隐身衣是基于变换光学提出来的重要成果，它能够使光线绕过任意形状或大小的障碍物进行传播，而且不产生散射，实现隐身效果。光学超材料通过设计结构不同位置特定的参数改变折射率，实现特定的折射率参数往往所需设计的结构复杂，难以直接应用于水波。2015年浙江大学Wang[8]等人基于浅水方程与二维光子晶体中TE模主方程的相似性，类比得到了线性水波的折射率与水深的1/2次方程反比的结论，即可通过底部结构渐变的水深来实现特定的折射率。平面梯度超材料[9]的提出，为设计简单的结构提供了可能，2019年Zou[10]将梯度折射率材料（Gradient Index Metamaterials，简写GIM）集成到波导系统中，根据变换理论有效地定制波导的传播特征，从理论上设计并实验证明了一种使用GIM的水波波导斗篷，且所需GIM仅通过控制不同位置的水深便可以获得。

本文旨在利用梯度折射率材料对水波的折射和反射作用，通过数值仿真设计新型潜堤结构的宽度、航道宽度、潜堤平台长度等参数，在保有良好的水流交换能力和结构稳定性的同时达到优良的消波效果。

2.数值波浪水槽和GIM模型的建立

本文假设所研究的液体为无粘、无旋、不可压缩，只受重力作用，波幅远小于波长的线性液体表面波，可用缓坡方程[11]来描述波浪的折射-绕射联合变形，控制方程可表示为如下形式：

其中，c为相速度；cg为群速度；k为波矢。

针对变化底面深度液体表面波中的布拉格散射问题，Ye于2003[12]年给出了一个处理方程，在近似程度上与MSE一样都是一阶近似，方程为：

其中u为液体的有效深度，ω为液体表面波的角频率，η为液体表面的竖直位移，h为液体的实际深度。当kh＜＜1时，式（2）可化为：

式（3）即为浅水方程，适用于液体深度较浅或者频率较低的微振幅波。浅水方程对应的色散关系为：

模型左端为流入边界，右端为流出边界，流入和流出边界条件为：

入射平面波位移u0，K 为波矢量，X为位置矢量，n为指向外边界法向矢量，波矢量k≡∣K∣。对于图1的GIM模型[10]，水槽通道宽为M，在模型中R1区域位水槽内部深度无变化区域，水深为h；R2区域有两平行结构，宽度为t，长度为α1，对称放置在边界上，对称间距为w，以潜堤开始处为坐标原点，其高度随x轴呈曲线变化，由0逐渐变为b1，使得水波传播通过具有梯度变化的剖面，该区域水深最大值h变为h-b1，水深的变化产生了变化的水波折射率[13-15]。

图1 波浪水槽GIM结构

则对应图1中R1，R2，区域水波色散关系为：

对应R1区域任意点处的折射率为常量1。R2区域水深h2沿x方向变化，则R2区域任意点处的折射率为：

其中，n2为R2区域的折射率，h1为初始深水，假设水深最小处折射率为N1。从式（9）中可看出，R2区域的折射率n2为随x方向变化的函数，则R2区域的折射率函数n2(x)可以表示为，

其中，α、b为待定系数。利用边界条件水深最大时，折射率为n2(x2)=1；当R2区域水深最小时，折射率为n2(x1)=N1，求得：

则R2区域水深h2为：

3.规则波在GIM上的传播数值模拟与分析

本文采用COMSOL Multiphysics PDE 接口通过求解方程来模拟水波通过GIM的传播对波浪透射比的影响。

3.1 数值分析模型验证

为了验证本文数值模型设置的准确性，对比宽带波导模型，GIM模型长度α1=1.78m，高度b1=0.133m，拉伸长度t=0.15m，距离w=0.9m，模拟了工作频率为f=0.7Hz时的稳态水波场，并与文献结果进行了对比，见图2，本文计算得到的水波场与文献中得到的结果一致，验证了本文采用COMSOL软件进行波浪对GIM结构水波传播进行数值仿真的正确性。

图2 波导数值模拟与文献[10]对比

3.2 不同结构透射率比较

为了比较GIM模型与R2区域梯度无变化的结构对于消波能力的影响，本文对两种结构进行建模仿真和分析，结构见图3（a）。无梯度变化的模型，长度为α1，高度由0逐渐变为b1，但高度变化幅度为定值，即各点斜率相同。

图3 （a）无梯度变化的结构和（b）GIM结构几何模型

水波由左侧入射，入射频率为0.7Hz，模型两端设置为吸波边界条件，数值模拟结果如图4所示。

图4 （a）无梯度变化结构和（b）GIM结构对水波调控

由图4对比发现，水波通过无梯度变化结构与经过GIM结构相比，水波经过GIM结构即被反射，并在GIM坡前形成了较强的汇聚，因而取得了良好的消波效果。为了进一步比较消波效果，将入射波幅度记为Ai，透射的波幅记为A0，入射波振幅Ai为定值，A0数值采用水波经过结构物后的稳定段λ2波幅取平均值求得。所有对透射率的计算为水波经过结构物后的稳定期间取值。无梯度变化结构数值模拟计算透射比T==0.627。

采用相同的边界条件，GIM的计算透射率T=0.076。通过比较模拟结果可以发现，通过引入了梯度变化结构，消波效果是无梯度变化结构T=0.627的8.25倍，因此GIM结构作为水下潜堤结构在削弱波浪能量方面具有更优的表现。

4.GIM结构透射率的影响分析

4.1 水深对于GIM结构透射率的分析和选优

将入射波的入射频率均设置为f=0.70Hz，通过改变模型初始水深，计算模型的透射率如表1所示，优化结构，找到最优的模型初始水深的数值。

表1 水深对于GIM结构透射率的影响

根据数据分析，初始水深为0.16m时，透射率最低，消波效果最优，图5是不同水深的水波模态。从图中可以得到水深是影响水波透射率的重要因素，当水深在0.158-0.163m时均有消波效果，当水深为0.160m时水波透射率最低，达到最优消波效果。

图5 不同水深的水波模态

4.2 频率对于GIM结构透射率的分析和选优

进一步探讨不同频率对模型消波能力的影响，设置初始水深为定值，改变频率f，计算模型的透射率如表2所示，优化结构，找到最优的模型初始水深的数值。

表2 水深对于GIM结构透射率的影响

根据数据分析，入射频率为f=0.70Hz时，透射比最低，消波效果最优，图6 是不同频率的水波模态。从图中可以得到频率也是影响水波透射率的重要因素，当频率在0.66Hz-0.72Hz时均有消波效果，当入射频率为0.70Hz时水波透射率最低，达到最优消波效果。

图6 不同频率的水波模态

5.GIM结构几何参数对透射率的影响分析

5.1 GIM模型宽度t和航道宽度M的分析和选优

将入射波的入射频率均设置为f=0.70Hz，通过改变GIM模型宽度t与航道宽度M，计算模型的透射率，优化结构，找到最优的模型宽度与航道宽度的数值及比例。

航道宽度M为1.2时，改变GIM模型宽度t，得到透射率如表3所示。

表3 GIM模型宽度t的影响态

GIM模型宽度t为0.15时，改变航道宽度M，得到透射比如表4所示。

表4 GIM模型航道宽度M的影响

分别绘制了f=0.68、0.7、0.72Hz三个频率下，不同GIM模型宽度t、不同GIM模型航道宽度M对透射率的影响，如图7、图8所示。

图7 f=0.68、0.7、0.72Hz三个频率下，不同GIM模型宽度t对透射率的影响

图8 f=0.68、0.7、0.72Hz三个频率下，GIM模型航道宽度M对透射率的影响

根据数据分析，入射频率为0.68 Hz 时，GIM 模型宽度t 为0.158m，航道宽度M为1.2m时透射比最低，消波效果最优；入射频率为0.70Hz时，GIM模型宽度t为0.15m，航道宽度M为1.2m 时透射比最低，消波效果最优；入射频率为0.72Hz时，GIM模型宽度t为0.17m，航道宽度M为1.0465m时透射比最低，消波效果最优。

5.2 GIM结构平台长度分析和选优

为优化结构消波能力，在GIM模型后后端，加装一平台模型，如图9所示平台的长度为，为尽可能缩短整个模型长度，的取值范围在0.1倍GIM模型长度至0.3倍GIM模型长度之间。

图9 带有平台的GIM模型

将入射波的入射频率分别设置为f=0.68、0.7、0.72Hz，通过改变GIM模型平台延伸长度，计算模型的透射率，优化结构，找到最优的模型平台延伸长度的数值。

入射频率f=0.68、0.7、0.72Hz时，改变GIM模型平台延伸长度，得到透射比如图10所示。

图10 f=0.68、0.7、0.72Hz三个频率下，GIM模型平台延伸长度对透射率的影响

根据数据分析，入射频率为0.68Hz时，GIM模型平台延伸长度为0.25 倍时，时透射比最低，消波效果最优；入射频率为0.70Hz时，GIM模型平台延伸长度为0.22倍时，时透射比最低，消波效果最优；入射频率为0.72Hz时，GIM模型平台延伸长度为0.25倍时，透射比最低，消波效果最优。

6.结论

本文设计并通过数值模拟验证了一种具有梯度变化的GIM模型，得到了不同频率下该模型对波浪的消波作用，并对GIM宽度，航道宽度和平台长度等参数进行了分析和选优，设计得到了具有最有参数的GIM消波潜堤结构，该结构构型简单，与梯形潜堤结构相比具有更好的消波作用，且可以应用于海岸防护和水产养殖。