如何运用数学思想解答实数题

胡倩

实数，对于初学者来讲，有些概念比较抽象、难懂.因此，掌握实数内容中蕴含的数学思想是学好实数的关键.灵活运用这些数学思想可以帮助我们有效解答各类实数问题.

一、数形结合思想

数是形的抽象概括，形是数的直观表达.我们常用数形结合的方法来研究对象的数学特征.在《实数》这一章节中，数轴上的点不仅表示有理数，也表示无理数，任何一个实数都可以在数轴上找到一点来表示.这样就建立了数轴上点与实数之间的一一对应关系.

例1 实数 a、b、c 在数轴上的对应点如图所示，化简

分析：要达到化简的目的，必须弄清被开方数中 b - a 和 a - c 以及绝对值里面 b - c、a的符号，这就要借助图形——数轴来完成.

解：由图可知 a < b < 0 < c，且

评注：本例借助“以形（数轴）辅数（来确定式子的符号）”的方法解题，是数形结合思想在解题方法上的具体体现.

二、分类讨论思想

当被研究的问题包含多种可能情况，不能一概而论时，就必须按可能出现的所有情况来分类讨论，得出相应的结论.这种处理问题的思维方法称为分类讨论思想.实数可分为有理数和无理数两部分；若按性质分类，实数可分为正实数、零、负实数三部分.在化简、计算有关实数的问题时，应注意分类讨论思想的应用．

评注：对于 a 的分类，要不重复、不遗漏，正确分类是解题的关键.

三、转化思想

在解题时，我们常常要将复杂问题转化成简单问题，将不熟悉的问题转化为熟悉的问题，这种方法称为转化.在解答实数问题时，如求一个负数的立方根，可以转化为求一个正数的立方根的相反数；在近似计算中，如遇到无理数，可根据题目要求将其转化为有理数；如遇到分数、小数时可根据需要互化等.

四、整体思想

整体思想就是在解答数学问题时，从整体角度思考，将局部放在整体中去观察分析、探究问题的解决方法.运用整体思想解答实数问题，主要体现为不着眼于实数问题中的“某一项”，而是将问题看作一个整体，通过研究问题的整体形式、整体性质，达到顺利解题的目的.

分析：（1）先求出 x + y 与 xy 的值，然后把原式化为 （x + y）2 - 3xy 的形式，再代入求值即可；（2）先根据分式的加减法则把原式进行化简，再把 x + y 与 xy 的值代入进行计算即可.

评注：本题如果直接代入计算，则计算量较大，而且容易出错.通过观察已知条件和待求值的式子，发现它们都可以化简，这样采取变更问题的条件和结论的方法，运用整体代入的思想，比较容易求出问题的解.

五、估算思想

估算思想就是指在处理问题时，采用估算的方法去解答问题的思想.在遇到比较无理数的大小，或确定无理数位于哪两个相邻整数之间等问题时，常用到估算的思想方法.

例 5 （1）下列计算结果正确吗？你是怎样判断的？

0.43 ≈ 0.066； 900≈96； 2536 ≈60.4．

（2）你能估算900的大小吗？（结果精确到1）

分析：（1）根据平方根和立方根的定义分别计算值的平方或立方，与被开方数对比，相等的正确，反之则不正确；（2）先计算与 900最接近的数：9 3＝729，10 3＝1000，再依次计算9.1、9.2、…的平方数，一直到 9.7 3＝912.673，所以900 ≈9.6≈10．

评注：第一小题考查的是估算无理数的大小，熟知开方是乘方的逆运算是解答此题的关鍵；解答第二小题采用了逼近法，用有理数 9 和 10 的立方逼近无理数900，，从而求得无理数的近似值．