怎样找出图形变化的规律

陈兴华

图形变化问题就是观察一组由简到繁的图形的变化过程，然后归纳猜想，找出一般规律，进而列出通用的代数式的一类问题.我们在解答这类问题时，需从第 1、2、3 个甚至更多个简单图形开始，分析其变化规律，然后借助代数式推算出后面更复杂图形的变化形式，从而得出结果.图形规律题通常分为“同增幅”与“变增幅”两大类，下面举例予以说明.

一、“同增幅”图形的变化规律

“同增幅”图形是指相邻两个图形增加的量是相同的，即增幅相等.我们可以借助“做标记”的方法找出相同增幅，从而将图形变化规律转化为数字变化规律，并将数量关系用代数式表示出来.

1.单一增加型

单一增加型是指图形的变化是以某一个小整体依次连续不断的增加组成的.解答的策略即先观察分析递增的组合图， 然后用作差法确定图形变化的增幅，进而探寻图形的变化规律.

例1 图1为一组有规律的图案，第1个图案由4个基础图形构成，第2个图案由7个基础图形构成，……，第 n（n 为正整数）个图案中由__________个基础图形构成.

分析：该图案每两个之间增加的图形是相同的，即其增加的“幅度”是相等的.可以通过“做标记”

（如图1-1所示）的方法将其增加部分表示出来.这样就可以清楚地看出增加的部分是相同的.然后利用归纳和推理找出其中的规律.图1-1

解：通过观察和归纳发现：

第1个图案：4个基本图形；

第2个图案：4个基本图形+3个基本图形（阴影标注），共4+3个基本图形；

第3个图案：4个基本图形+3个基本图形（阴影标注）+3个基本图形（空心标注），共4+3+3=4+2×3个基本图形；

……

由此可以推理出：

第 n 个图案：4 个基本图形+3 个基本图形+…+3 个基本图形，共 4+3+…+3=4+（n-1）×3=3n+1个基本图形；所以，第 n 个图案由（3n+1）个基本图形组成.

评注：单一增加型图形的变化规律比较明显，同学们只需要耐心地画出两个相连图案之间的增幅，通过观察、归纳和整理即可解题.

2.成倍增加型

这类图形不是以图形的整体增加组成，而是图形各部分依次成倍地增加，通常很难快速找出增量，需要仔细观察，慢慢分析才可以找到突破口.解答这类问题应分步思考：第一步，把每次增加的部分表示出来；第二步，各部分相加表示出整体；第三步，确定增幅，找出规律.

例 2 如图 2，每个图形都是由若干个棋子围成的正方形图案，图案的每条边（包括两个顶点）上都有 n（n≥2）个棋子，每个图案的棋子总数为S，按下图的分布规律推断，S与n之间的关系可以用式子_________去表示.

分析：此题的图案是正方形，仔细观察图形可以发现，第2个图案四条边各增加一个棋子，第3个图案每条边各增加2个棋子，增量构成了边长为“2”的正方形.各图案间的增幅构成规则的正方形，且相邻图形的增量是相等的，因此，此题可以转化为求正方形周长问题.

解：用空心圆标注图案“增幅”如图 2-1所示.

第1图案：4个棋子

第 2 图案：4 个棋子+4 棋子（空心），即共4+4个棋子；

第 3 图案：4 个棋子+4 棋子（空心）+4 棋子（空心），即共4+2×4棋子；

第 4 图案：4 个棋子+4 棋子（空心）+4 棋子（空心）+4棋子（空心），即共4+3×4个棋子；

……

由此可以推算出：

第 n 圖案：4 个棋子+4 棋子（空心）+…+4棋子（空心），即共4+（n-1）×4=4n个棋子；所以，S=4n.

评注：此类题的增幅虽然是“相同”的，但很容易让人产生增幅不等的错觉，同学们在研究分析图形变化规律时，要准确找出相邻图案间的“增幅”.

二、“变增幅”图形的变化规律

“变增幅”图形变化规律是指相邻两个图形增加的量是不同的.这类问题比较复杂，我们需要仔细观察图案，首先借助“做标记”的方法找到相邻图形之间的变化，并确定变化的增幅，然后找出增幅的数字变化规律，最后结合图形中的不变量与增幅的变化规律得出图形的变化规律.

例3 将一些半径雷同的小圆按如下图的规律摆放：第 1 个图形有 6 个小圆，第 2 个图形有10个小圆，第3个图形有16个小圆，第4个图形有 24 个小圆，……，依次规律，第 6 个图形有_________个小圆.第n个图形呢？

分析：此题图案比较复杂，但细细观察可以发现，每个图案的四个角的小圆数量相等，属于不变量.因此我们只需要找出中间小圆的变化规律即可解题.再次观察图案发现，中间的小球相邻的图案每增加一行，同时增加一列，构成一个矩形，如图3-1所示.

解：第 1 图案：4 个球+2 球（中间），即共4+2=4+1×2个球；

第 2 图案：4 个球+2×3 球（中间矩形），即共4+2×3个球；

第 3 图案：4 个球+3×4 球（中间矩形），即共4+3×4个球；

第 4 图案：4 个球+4×5 球（中间矩形），即共4+4×5个球；

……

由此可以推算出：

第 6 图案：4 个球+6×7 球（中间矩形），即共4+6×7=46个球

……

第n图案：4个球+n×（n+1）球（中间矩形）4+n×（n+1）= n2 +n+4个球.

评注：“变增幅”图形比较复杂，规律比较难寻，但只要我们仔细观察，找出“变”与“不变”的量，问题便可迎刃而解.

在解答图形规律题时，同学们要多罗列出前几个图形的变化情况，找出变化趋势，然后建立每一个图形都符合的数量关系，这样就抓住了解答这一类问题的核心.