POM 圆盘轴对称弯曲振动研究

康晓妍，赵晓楠，徐 剑，周 越，贺西平**

(1.陕西师范大学 物理学与信息技术学院 陕西省超声重点实验室，陕西 西安 710119；2.中国船舶集团有限公司第七〇一研究所，湖北 武汉 430064；3.中国船舶集团有限公司 第七二二研究所，湖北 武汉 430205)

美国国防部高级研究计划局于2017 年提出了一种新型的低频电磁发信技术，即所谓的机械天线概念，利用类似于驻极体材料往复的机械运动，直接激励出低频电磁波.中国研究人员在甚低频(3～30 kHz)通信中，提出了利用超声换能器作为机械运动驱动源，驱动与之相连的驻极体产生机械运动，驻极体对外辐射电磁波[1].一般来说，换能器的振动特性与组成部件的材料有关，组件材料不同，换能器前端面的振幅分布、工作带宽、辐射阻抗等均有可能不同[2-3].通常，与有源材料相连接的前后盖板、用于变幅或传振的杆件均被设计为金属材料，如钢、不锈钢、铝合金、钛合金等[4-7].很少见到用非金属材料作为换能器组件，这主要由于非金属材料的机械损耗较高.然而，驻极体的基座材料不能使用金属材料，因其易被极化而产生反向电偶极矩，会影响振动式机械天线的效率[8-9]，需选择高强度的非金属材料如高聚物作为换能器的振动组件[10-13].近年来，Wu 等[14]将聚苯硫醚作为一振动组件用于超声马达上，可获得较大的振动位移.

因此，在众多非金属材料中，应尽量考虑选择机械损耗相对较小的材料.从易得并综合考虑力学参数，本课题组选择POM 材料作为大幅圆面基座材料，即纵振动压电换能器驱动POM 圆盘，组成POM 圆盘-换能器超声振动系统，期望能产生较大的振动位移.圆盘的振动模式很多，为了高效应用且振动相位规则，选择激励圆盘的轴对称弯曲振动模式.本文对该振动系统的振动特性进行了研究.通过解析法设计了POM 圆盘，利用有限元软件，对POM 圆盘-换能器振动系统进行了建模、计算.在系统谐振频率处，用有限元计算和实验测试了圆盘的振动位移与系统的电声效率.为了充分研究POM 圆盘的振动特性，本文又设计了一与POM 圆盘半径、厚度相同的钢圆盘，将两者进行了比较.

1 解析法设计、计算POM 圆盘

圆盘的半径和厚度分别为a和h(h＜＜a，属于薄圆盘)，实际中希望振动圆盘面积稍大一些.根据线性弹性理论及薄板的小挠度弯曲振动理论，忽略板中的剪切和扭转惯量，圆形薄板小振幅轴对称弯曲振动的位移为[15-16]

振动速度为

式中：J0(knρ)为 0 阶贝塞尔函数，I0(knρ)为0 阶修正贝塞尔函数.

式中：ρν、ω、E、σ和D分别为薄圆盘的密度、角频率、弹性模量、泊松比和弯曲刚度常数，A、B为待定常数，由圆盘的边界条件确定.

边界自由时，圆盘边界处弯矩及其剪力为0，则

由（4）、（5）2 式可得频率方程为

当泊松比 σ给定时，可以求得频率方程的根，即一系列kna值.n为正整数，对应不同节线数和相应的圆盘轴对称弯曲振动模式.圆盘轴对称弯曲振动的谐振频率为

POM 材料的弹性模量为3.20 GPa，密度为1 410 kg/m3，泊松比为0.35[17].本文选择设计一9节线轴对称弯曲振动POM 圆盘，半径a=100 mm，厚度h=3 mm.根据式(7)，可计算得POM 圆盘9 节线轴对称弯曲振动的谐振频率为17.70 kHz.根据式(1)得圆盘沿径向方向的归一化振动位移分布，如图1 所示.

图1 POM 圆盘位移分布Fig.1 Displacement distribution of the POM plate

2 有限元方法设计及计算

用有限元软件COMSOL 建立POM 圆盘的模型.计算得到POM 圆盘9 节线轴对称弯曲振动的谐振频率为16.38 kHz，其振型如图2 所示，其沿径向方向的归一化振动位移分布与解析计算结果一致.

图2 POM 圆盘振型Fig.2 Vibration mode of the POM plate

频率计算值为18.27 kHz 的压电换能器(测试值为19.88 kHz)驱动圆盘中心，为了有较大驱动振幅，换能器前端连接一阶梯型变幅杆，变幅杆的输出端直径为30 mm.POM 圆盘-换能器振动系统的结构如图3 所示.

图3 POM 圆盘-换能器振动系统结构Fig.3 Structure of the POM plate-transducer vibration system

建立POM 圆盘-换能器振动系统模型，换能器与设计的9 节线轴对称弯曲振动圆盘耦合后，POM 圆盘变为8 节线轴对称弯曲振动，系统谐振频率为18.15 kHz，其振型如图4(a)所示.圆盘沿径向方向的归一化振动位移分布如图4(b)所示.由于圆盘与变幅杆输出端具有一定的接触面积，圆盘在输出端面积范围内与变幅杆的振动位移相等.

图4 POM 圆盘-换能器振动系统振型及POM 圆盘位移分布Fig.4 Vibration mode of the POM plate-transducer vibration system and displacement distribution of the POM plate

为了比较不同材料圆盘的振动特性，另设计一与POM 圆盘半径、厚度相同的钢圆盘.解析法计算得钢圆盘4 节线轴对称弯曲振动的谐振频率为11.80 kHz；经有限元方法计算，钢圆盘4 节线轴对称弯曲振动的谐振频率为11.61 kHz，钢圆盘-换能器振动系统的谐振频率为17.18 kHz，圆盘同样也是4 条节线.

为了研究振动系统的电声效率，分别计算了POM 圆盘-换能器振动系统和钢圆盘-换能器振动系统在空气中和水中的导纳圆，如图5(a)、5(b)所示.

图5 导纳圆计算结果Fig.5 Calculation results of admittance circle

3 实验测试

加工了POM 圆盘，将其中心用螺栓连接在换能器变幅杆前端，如图6 所示.

图6 POM 圆盘-换能器振动系统Fig.6 The POM plate-transducer vibration system

用PSV-400 扫描式激光测振仪(德国Polytec公司产)测试了POM 圆盘轴对称弯曲振动的振型，以及系统对应的谐振频率.测得系统谐振频率为17.52 kHz，POM 圆盘8 节线轴对称弯曲振动，其振型如图7 所示.

图7 POM 圆盘谐振频率及振型测试Fig.7 Measurement of resonant frequency and vibration mode of the POM plate

另加工了钢圆盘，激光测振仪测得钢圆盘-换能器振动系统的谐振频率为18.19 kHz，圆盘有5条节线，比计算的节线数多了1 条.

为了测试振动系统的工作状态，在系统谐振频率处，给换能器施加一定的电激励，测试了圆盘振动位移与换能器两端电压、有功功率的关系.测试装置如图8 所示.SDG 1032X 超声波发生器(深圳鼎阳公司产)发出电激励信号，经过UTC 200 功率放大器(杭州应用声学研究所产)放大，施加在换能器两端.LV-S01 激光发射源(上海舜宇恒平公司产)正对圆盘表面测试点，反射的信号又被同型号激光测振仪接收，经过软件分析，即可测得该点振动位移.

图8 圆盘振动位移测试装置Fig.8 Vibration displacement testing device of the plates

分别在POM 圆盘和钢圆盘沿径向方向的第1个振动峰值点处选择测试点M和N，测试了两盘的振动位移与换能器两端电压、有功功率的关系，M点位置如图7 所示.M点的振动位移与换能器两端电压、有功功率的计算及测试关系分别如图9(a)、9(b)所示.N点的振动位移与换能器两端电压、有功功率的计算及测试关系分别如图10(a)、10(b)所示.

图9 M 点振动位移与电压及有功功率的关系Fig.9 Relationship between vibration displacement and voltage of the point M as well as that between vibration displacement and active power of the point M

图10 N 点振动位移与电压及有功功率的关系Fig.10 Relationship between vibration displacement and voltage of the point N as well as that between vibration displacement and active power of the point N

用PV70A 阻抗分析仪(北京邦联时代电子科技有限公司产)分别测试了POM 圆盘-换能器振动系统和钢圆盘-换能器振动系统在空气中和水中的导纳圆，如图11(a)、11(b)所示.

图11 导纳圆测试结果Fig.11 Test results of admittance circle

4 讨论与分析

将上文对POM 圆盘-换能器振动系统的计算和测试结果归纳在表1 中，为了便于比较，表2 中也列出了钢圆盘-换能器振动系统的计算和测试结果.由两表可知，POM 圆盘-换能器振动系统在空气中和水中的谐振频率计算值分别为18.15 kHz和17.57 kHz，测试值分别为17.52 kHz 和17.35 kHz；钢圆盘-换能器振动系统在空气中和水中的谐振频率计算值分别为17.18 kHz 和16.39 kHz，测试值分别为18.19 kHz 和17.32 kHz.与测试值相比，计算得到的POM 圆盘-换能器振动系统在空气中和水中的谐振频率相对误差分别为3.60%和1.27%，钢圆盘-换能器振动系统分别为5.55%和5.37%，主要由于计算使用的材料参数与实际材料参数可能存在差异.

表1 POM 圆盘-换能器振动系统的计算值与测试值Tab.1 Calculated and tested values of the POM platetransducer vibration system

表2 钢圆盘-换能器振动系统的计算值与测试值Tab.2 Calculated and tested values of the steel platetransducer vibration system

在导纳圆的半功率频率点处，可得出振动系统的半功率带宽.由两表可知，POM 圆盘-换能器振动系统在空气中和水中的半功率带宽计算值分别为130 Hz 和780 Hz，测试值分别为89 Hz 和305 Hz；钢圆盘-换能器振动系统在空气中和水中的半功率带宽计算值分别为22 Hz 和1 100 Hz，测试值分别为27 Hz 和690 Hz.POM 圆盘-换能器振动系统在空气中的半功率带宽更宽.钢圆盘-换能器振动系统的电声效率更高，这是由于POM 圆盘存在粘弹性效应，机械损耗较大.

由图9 知，随着电压或有功功率的增大，POM圆盘的振动位移均逐渐增大，换能器两端电压为109.65 V 时，实测振动位移达5.10 μm；由图10 知，随着电压或有功功率的增大，钢圆盘的振动位移均逐渐增大，换能器两端电压为86.02 V 时，实测振动位移达3.03 μm.两盘振动位移的计算值与测试值趋势基本相符，测试值略低于计算值，主要由于计算中没有考虑组件接触面的机械损耗，另外测试过程中还存在换能器与电源之间的不完美匹配.由图9（a）及图10（a）知，加在换能器两端电压相同时，POM 圆盘的振动位移大于钢圆盘的振动位移.POM 圆盘-换能器振动系统更易施加较高的电压或有功功率，原因是POM 圆盘-换能器振动系统与功率放大器的阻抗匹配更好.

5 结论

文章研究了材料为POM 的薄圆盘声波辐射体，压电换能器在其中心处产生振动激励.解析法设计了POM 圆盘，有限元方法对POM 圆盘-换能器振动系统进行了建模、计算.在系统谐振频率处，有限元计算和实验测试了圆盘的振动位移与系统的电声效率.又设计了一与POM 圆盘半径、厚度相同的钢圆盘，将两者进行了比较.得出以下结论：

（1）激励电压相同时，POM 圆盘的振动位移大于钢圆盘；

（2）POM 圆盘的节线数量多于钢圆盘，POM圆盘-换能器振动系统更易施加较高的电压或有功功率；

（3）POM 圆盘-换能器振动系统在空气中的半功率带宽更宽，而钢圆盘-换能器振动系统的电声效率更高.