垂直轴风力机三维尾流模型的研究

收稿日期：2022-06-12

基金项目：国家自然科学基金（51876054；52106239；11502070）；江苏风力发电工程技术中心开放基金（ZK22-03-01）

通信作者：赵振宙（1982—），男，博士、教授，主要从事风力机空气动力学、结构力学和尾流控制方面的研究。joephy@163.com

DOI：10.19912/j.0254-0096.tynxb.2022-0855 文章编号：0254-0096（2023）11-0196-07

摘 要：基于流量守恒，提出一种H型VAWT的三维解析尾流模型，该模型考虑了风切变效应，并采用多元高斯分布。首先，通过风洞试验及大涡模拟数据进行模型验证，结果表明在[x/Dgt;3]的远尾流区，横向剖面的相对误差小于2%，垂向剖面的相对误差小于3%。然后，从下游4个位置（[x/D=3]、6、9、12）、3种推力系数（[CT=0.6]、0.7、0.8）、4种风切变指数（[α=0]、0.1、0.15、0.2）、两种湍流强度（[I0=5%]、8.3%）下演示了一系列预测结果，结果显示该文模型能有效地描述尾流风速的空间分布。由于考虑了高度影响，该模型可用于风力机轮毂高度的优化及风电场的布局优化，有利于提高风电场的功率输出。

关键词：垂直轴风力机；解析模型；高斯分布；三维尾流模型

中图分类号：TK81""""""""""" """""""""""" """""文献标志码：A

0 引 言

根据风轮旋转轴的方向，风力机分为水平轴风力机（horizontal axis wind turbine，HAWT）和垂直轴风力机（vertical axis wind turbine，VAWT）［1-2］。为了研究VAWT的尾流空气动力学特性，研究人员开展了大量工作，包括风洞试验、风场实测和数值模拟。Battisti等［3］通过风洞试验测量VAWT的尾流速度分布，结果表明在不同的叶尖速比和推力系数下，尾流速度剖面形状相似。文献［4］实测了全尺寸直叶片VAWT的功率性能和尾迹特性，研究结果表明，随着风速增加，尾流速度恢复得更慢。Shamsoddin等［5］采用大涡模拟（large eddy simulation，LES）和致动线模型（actuator line model，ALM）相结合的方法研究VAWT的尾流流场。结果表明，LES-ALM方法能精确预测尾流中的平均值和高阶统计量。Abkar等［6］使用LES研究H型VAWT的尾流结构，发现尾流速度亏损具有自相似的特性。

研究VAWT的尾流效应最重要的目的之一是预测尾流损失。开发高效率的工程预测解析尾流模型非常有必要。文献［7］基于风洞试验数据提出一种一维尾流模型，用于预测下游任意截面的尾流边界和平均流向速度。实测［4］和LES数据［6］表明，尾流速度在径向呈高斯分布，上述模型假设尾流区内速度恒定，与实际尾流分布存在较大差异。Abkar［8］基于动量守恒和质量守恒，建立H型VAWT的二维尾流高斯模型，通过LES和实测数据验证了该模型的精度。二维模型在实际应用中具有局限性。文献［9］研究表明，在风电场中使用不同轮毂高度的风力机能提高功率输出和降低成本，二维模型忽略了高度因素，难以应用到此类问题。此外，随着大容量VAWT的开发，其直径和轮毂高度可达上百米，风轮旋转域内高度上的风速差较大。二维尾流模型假设风速在高度上均匀分布，预测输出功率时会产生较大误差，需进一步建立三维尾流模型。

本文考虑风切变的影响，建立一种H型VAWT的三维尾流模型。该模型基于流量守恒和多元高斯分布提出，以精准预测三维尾流速度分布。采用2个风洞试验和LES数据来验证该模型的精度，并验证该模型在不同工况、多个视图和不同位置处对尾流风速的预测精度。

1 模型建立

图1为二维尾流模型的示意图。二维尾流模型忽略了风切变的影响，假设入流风速均匀分布，尾流风速[U（x，z）]在垂向呈标准高斯分布。

图2为所建立的三维尾流模型的示意图。在该模型中，入流风速[U0（z）]随高度变化，尾流区风速分布更为复杂。尾流风速用[U（x，y，z）]表示，[x]为来流方向，[y]表示垂直来流的水平方向，[z]表示垂直方向，如图2所示。

切变入流风速[U0（z）]用指数率表示：

[U0（z）=uhzzhα]""" （1）

式中：[uh]——VAWT轮毂高度处的入流风速；[zh]——VAWT轮毂高度，即叶片展向中间截面离地面的高度；[α]——风切变指数。

前人研究［4，6］发现，H型VAWT远尾流区中的速度亏损服从正态分布的自相似特性。为此，假设下游[x]处风速亏损满足各项异性高斯分布，尾流速度[U（x，y，z）]表示为：

[U（x，y，z）=A（x）e-y22σ2y+（z-zh）22σ2z+B（x）+U0（z）]"""""" （2）

式中：[A（x）]、[B（x）]——决定高斯形状的关键参数；[σy]、[σz]——各维高斯标准偏差，定义为：

[σy=k*yx+εy，σz=k*zx+εz]""" （3）

式中：[k*y]、[k*z]——各维高斯标准偏差增长率；[εy]、[εz]——[x]=0时[σy]和[σz]的值。

然而，这种表示在大规模工程应用中会带来巨大的挑战，原因是[σy]和[σz]的概念对工程师来说过于抽象［10］。为了解决这个问题，将[σy]和[σz]替换为更易获得且物理上直观的尾流边界，其表示为：

[σy=ryC，σz=rzCry=12D+kwx，rz=12H+kwx]"" （4）

式中：[ry]、[rz]——[y]和[z]方向上的尾流边界半径；[C]——常数，根据实际情况确定；[D]、[H]——VAWT的风轮直径和叶片长度；[kw]——尾流边界膨胀率，采用式（5）计算：

[kw=k0IwakeI0]""" （5）

式中：[k0]——陆上风力机[k0]建议值为0.075，海上风力机[k0]建议值为0.05［11］；[I0]——入流湍流强度；[Iwake]——尾流区的湍流强度，由式（6）计算［12］：

[Iwake=0.4CT（x/D）0.5+I0.502]""" （6）

式中：[CT]——VAWT推力系数。

为了求解式（2）中A（x）和[B（x），]根据尾流风速的连续性，风速在尾流边界处恢复到来流风速：

[A（x）e-y22σ2y+（z-zh）22σ2z+B（x）+U0（z）=U0（z），" y2r2y+（z-zh）2r2z=1]"""" （7）

联立式（4）、式（7），可得到：

[B（x）=-A（x）e-C22] （8）

根据动量守恒定律，任意下游界面的尾流区内流量守恒，总流量[Q（x）]可表示为初始矩形区域[SA0]内的流量和超出矩形区域在尾流区域[SAw]内的流量之和：

[Q（x）=v1A0+SAw-SA0U0（z）ds]"" （9）

式中：[v1]——紧靠风轮处的下游风速，根据致动盘理论，[v1=uh1-CT]；[A0]——VAWT在顺风方向的投影面积，[A0=DH]；[Aw]——椭圆尾流区域的面积，[Aw=πryrz]。

[Q（x）]也可表示为实际风速[U（x，y，z）]在尾流区域[SAw]上的积分：

[Q（x）=SAwU（x，y，z）ds]" （10）

联立式（2）、式（3）、式（9）、式（10）求解得到[A（x）]：

[A（x）=Q（x）-SAwU0（z）dsπryrz-2C2e-C22+2C2-e-C22]"""" （11）

式中：[Q（x）]可联立式（1）、式（4）～式（6）、式（9）求得；[C]——一个经验参数，受叶片数目、叶片形状和入流风况等多种因素影响。HAWT尾流模型研究表明［13］：[C]需根据不同的条件设为不同的值。因此，在本研究中，根据实际情况将[C]设置为不同的值。

将式（1）、式（8）、式（11）代入式（2）即可得到VAWT三维尾流模型表达式。

2 模型验证

2.1 风洞试验验证

Battisti等［3］在意大利米兰理工大学的风洞实验室中进行了一系列风洞试验。试验风力机由3个直叶片组成，翼型为NACA0021。风轮直径为1.030 m，叶片长度为1.457 m。入流风速为13.14 m/s，对应的推力系数和湍流强度分别为0.46和1%，与此种工况相对应的[C]设为4.15。

图3给出了三维尾流模型及风洞数据在下游x/D=1.5处的横向速度分布。从图3可发现，由于马格努斯效应和动态失速共同作用，风洞数据的尾流中心线向左发生了偏移。三维尾流模型假设尾流速度剖面轴对称，因未考虑上述因素，高估了风轮中心线左侧的速度。但三维尾流模型整体上与试验数据吻合较好，能准确地预测尾流速度的最大亏损。

2.2 LES验证

Abkar等［6］采用LES和ALM相结合的方法，研究大气边界层内两种叶尖速比下（[λ=2.5]、3.8）单台三叶片H型VAWT的尾流特性，这两种叶尖速比对应的推力系数分别为0.34和0.64。该VAWT单机容量为200 kW，风轮直径为26 m，叶片长度为24 m，翼型为NACA0018，轮毂高度为40 m。入流风速为7.5 m/s，对应的湍流强度和风切变指数分别为9.1%和0.154。本文选取[λ=2.5]的数据验证三维模型的精度，[C]设为2.3。

图4为下游四位置处（[x/D=3]、6、9、12）三维尾流模型和LES结果的横向速度剖面。从图4可发现，下游[x/D=3]处，LES结果的尾流中心线发生偏移，三维尾流模型低估了风轮

中心左侧的速度，高估了风轮中心右侧的速度。在下游更远处，这种偏移逐渐消失，所提出的三维模型与LES结果具有较高的吻合度。

图5为下游四位置处三维模型与LES数据的相对误差。从图5可发现，在[x/D=3]处，相对误差波动较大，这是由于尾流中心线的偏移造成的。值得注意的是，此种情况下最大相对误差仍不超过6%。在更远距离处，三维模型展现出较高的预测精度，所有数据点的相对误差均小于2%。

transverse profile

图6比较了三维模型与LES结果在下游[x/D=3]、6、9、12这4个位置的垂向速度分布。可发现，本文三维尾流模型能较好地预测各下游位置处垂向速度分布。仅稍稍低估了[x/D=3]处轮毂附近、高估了[x/D=3]处[z/Dgt;2.4]处的速度。这是由于[x/D=3]处位于近尾流区，湍流机制复杂，本文采用的经验湍流强度公式难以精确描述。在[x/Dgt;3]处，三维模型的预测结果与LES结果保持高度一致。

图7为三维模型和LES结果在垂向的相对误差。从图7可发现，所有位置处的相对误差均位于（-4%，4%）的区间内，最大误差仅为3.4%，出现在[x/D=3]处。这表明本文所提出的三维模型在垂向上也具有较高的预测精度。

3 模型预测

基于上述提出的三维尾流解析模型，从空间角度研究VAWT的尾流特性。所预测的VAWT风轮直径为50 m，轮毂高度和叶片长度为100 m，入流风速为9.6 m/s，C设为2。

图8为[CT]=0.8、[α]=0.15、[I0]=8.3%时下游四位置处（[x/D=3]、6、9、12）[yoz]平面的速度云图。结果表明，由于本文模型采用了各项异性的高斯函数，尾流速度呈现为椭圆分布，这与实际更为相符。从图8还可发现，随着下游距离的增加，尾流影响范围增大，风速逐渐恢复，这可由流量守恒定律解释。同时也可发现，[x/D=3]处的风速仍可通过二维高斯尾流模型来估计。然而，更远下游距离处的风速分布变得复杂，二维模型无法预测，建立三维尾流模型是必要的。

图9为[α]=0.15、[I0]=8.3%时不同推力系数下（[CT]=0.6、0.7、0.8）风轮中心处[xoz]平面的速度云图。可发现，由于考虑了风切变的影响，尾流速度随高度变化。而大多数风电场布局研究采用一维或二维尾流模型，未考虑到高度因素，将会产生较大误差。从图9还可发现，随着推力系数的增加，速度损失越大，尾流恢复得更慢。

提取[CT]=0.8、[I0]=8.3%时不同风切变指数下（[α]=0、0.1、0.15、0.2）风轮中心处[xoz]平面的速度云图，如图10所示。当未考虑风切变时，[xoz]平面的尾流速度分布沿风轮平面轴对称；考虑风切变后，尾流速度分布变得不对称：随着风切变指数增加，轮毂高度以上的风速增加，轮毂高度以下的风速降低。

图11为[CT]=0.8、[α]=0.15时不同湍流强度下（[I0]=5%、8.3%）轮毂高度处[xoy]平面的速度云图。从图11可发现，随

着湍流强度的增加，风轮后低速区域的长度明显减少。这是由于更强的湍流导致尾流区内外流体的渗混增加，促进了尾流快速恢复。

4 结 论

基于流量守恒理论，本文提出一种H型VAWT的三维尾流模型，主要结论如下：

1）该模型采用了多元高斯分布，在每个维度使用不同的高斯标准偏差，以精确反映VAWT横向和垂向的尾流边界变化差异。

2）考虑了入流的风切变效应。由于考虑了风切变效应，垂向尾流速度剖面呈现出不对称分布。

3）本文模型能精准预测[x/Dgt;3]的远尾流区的速度分布，垂向和横向的最大误差分别为2.3%和1.8%。同时，能精确预测[x/D≤3]近尾流区的最大速度亏损。

4）演示了由本文模型预测的一系列[yoz、xoz、xoy]平面的速度云图。从[yoz]方向看，随着下游距离的增加，尾流影响区范围扩大，风速有所恢复，风速分布更加复杂；从[xoz]方向看，风速随高度的变化不可忽略；随着推力系数的增加，尾流恢复得更慢；风切变会降低轮毂高度以下的风速，增加轮毂高度以上的风速；从[xoy]方向看，更高的湍流强度导致尾流恢复得更快。

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STUDY OF THREE-DIMENSIONAL WAKE MODEL FOR

VERTICAL-AXIS WIND TURBINE

Ling Ziyan，Zhao Zhenzhou，Liu Yige，Liu Huiwen，Ma Yuanzhuo，Wang Dingding

（College of Energy and Electrical Engineering， Hohai University， Nanjing 211100， China）

Abstract：Considering flow conservation， a three-dimensional analytical wake model of H-type VAWT that incorporates wind shear effects and uses a multivariate Gaussian distribution is proposed. Wind tunnel tests and large eddy simulation data are firstly used to validate the model. The results show that the relative errors are less than 2% for the transverse profile and less than 3% for the perpendicular profile in the far wake region with [x/Dgt;3]. Next， a series of results are demonstrated from four downstream locations （[x/D=3]，6，9，12）， three thrust coefficients （[CT=0.6]，0.7，0.8）， four wind shear indices （[α=0]，0.1，0.15，0.2）， and two turbulence intensities （[I0=5%]，8.3%）， and the results show that the model in this paper can effectively describe the spatial distribution of the wake wind speed. By considering the height effect， the model can be used for the optimization of wind turbine hub heights and the layout optimization of wind farms， which is beneficial to increase wind farms’power output.

Keywords：vertical axis wind turbines； analytical models； Gaussian distribution； three-dimensional wake model