大自然的实与虚

彭鹏 刘博闻 高策

从牛顿时代起，物理学家开始使用数学来描述世界。在经典物理学中，实数可以完整描述所有经典物理量，虚数仅仅是为了计算方便而引入的计算工具。在薛定谔、海森堡等量子力学先驱建立量子力学的过程中，虚数以第一原理的形式被引入理论。但它在量子力学中仍是抽象的概念，物理学家并没有赋予其任何实际的物理意义。因为，通过实数概率值的形式可以完成对量子力学实验的描述，并不需要虚数。然而，物理学的目标是通过理论来解释实验现象，而非描述实验现象。鉴于上述原因，物理学家对在量子力学中使用虚数是极其忐忑和纠结的。

为了消除顾虑，一些物理学家试图去除量子力学理论中的虚数，完全依靠实数来建立量子力学的理论体系。但是这样的实数量子理论能够完整地描述量子世界吗？如当年玻尔和爱因斯坦对量子力学是否具有完备性的争论一样，这个问题同样令人惴惴不安。

就像贝尔不等式检验实验反驳了隐变量理论那样[1]，2022年，中国科学技术大学的潘建伟团队和南方科技大学范靖云团队，分别独立通过一个类似贝尔不等式检验实验的实虚检验实验证明，虚数对标准量子力学理论来说是必不可少的，并且扮演着关键的核心角色。

虚数的建立和初步应用

虚数的来源是负数的平方根。意大利数学家卡尔达诺（G. Cardano）在其1545年出版的《伟大的艺术》中提到了一个问题，能否把10分成两部分，使它们的乘积为40？这个问题实际上就是求解一个一元二次方程，但是其判别式Δ<0，结果中会出现负数的平方根，即沒有实数解。若没有虚数，此方程无解。在求解一元二次方程时，负数开根号并不影响计算过程；但在解一元三次方程时则会出现问题，当Δ<0时，方程会有三个不等的实数根，按照求根公式求解，就会遇到负数开根号。1572年，意大利数学家邦贝利（R. Bombelli）在《代数学》中，第一次大胆利用虚数运算规则解出了方程的三个实数解。数学家由此认识到虚数的重要性。1637年，笛卡尔在《几何学》中，首次将负数的平方根称为imaginary number（虚数），意思是虚构的、不存在的数。莱布尼兹直接称虚数为“介于存在和不存在之间的两栖物”。正如解一元三次方程那样，使用虚数能非常方便地获得最终的实数解。因此，它最初只是作为工具引入数学计算，没有实际意义。

此后，高斯、柯西、欧拉、傅里叶等数学大家均对虚数进行了大量深入的研究。1748年，欧拉在《无穷小分析引论》中，提出了欧拉公式eix=cosx+isinx，将三角函数与带有虚数的指数函数关联起来，简化了三角函数的计算，并将三角函数的周期性引入指数函数。不过，他对虚数的态度仍不置可否，认为：“它们（虚数）既不是什么都不是，也不比什么都不是多些什么，更不比什么都不是少些什么。它们纯属虚幻。”1777年，欧拉最早引入虚单位i。1807年，傅里叶首次提出“任何周期信号都可用正弦函数级数表示”。1822年，数学应用于物理学的里程碑式著作《热的分析理论》出版，该书首次描述了傅里叶变换：通过对函数乘以一个带有虚数的指数，就可以实现函数在时域和频域之间的转换。有了虚数便有了复数的概念，1832年，高斯引入复数的概念并给出几何解释，将复数与复平面一一对应起来。实数是一维数，只有实数轴上移动的自由度。复数的形式为a+bi，其中a为复数的实部，b为复数的虚部，相当于增加了额外的一个自由度。实数域拓展到复数域，移动自由度由一条线变成了由实数轴和垂直于实数轴的虚数轴构成的二维复平面。

随着虚数不断得到应用，学术界逐渐接受了虚数的概念，同时也为它进入物理学领域打下基础。由于复数可以方便而简洁地描述物理量的周期、相位、振幅等信息，其在物理学以及工程领域得到了极其广泛的应用。比如，在处理交变电路时，可以将电压、电流、阻抗等物理量表示为复数形式，然后按照复数的运算规则进行运算，最后取实部或虚部就可得到最终的实数结果；傅里叶变换的一个重要应用就是信号处理，类似化学中分析物质成分一样，它有助于处理分解信号，从而确定信号的成分。费曼将欧拉公式称为“我们的珍宝”“数学中最非凡的公式”，肯定虚数对物理学发展的重要性。法国数学家阿达马（J. S. Hadamard）曾说：“在实数域，连接两个真理的最短路径是通过复数域。”

量子力学中的虚数

杨振宁曾提到，“20世纪理论物理学的三个主旋律是：量子化、对称性和相位因子”，可以说，这三个主旋律的基本架构都离不开虚数。

那么，虚数到底有怎样的物理意义？可以从复数在方程所蕴含的信息窥探一二。复数包含波函数的振幅和相位信息，二者是量子力学最为核心的关键因素。薛定谔虽然建立了波函数，但并没有参透其真正内涵。波函数所描述的波与常识中的波完全是两回事，前者并非真实三维空间的函数，而是希尔伯特空间的函数，希尔伯特空间最早由冯·诺依曼引入量子力学，是构造空间中的一个复值空间。玻恩将区别于经典物理学的非决定性引入量子力学，赋予波函数极其特别的概率解释。波函数的振幅信息决定了粒子某一时刻在某一位置出现的概率，而相位（差）信息则是量子相干性的来源。量子相干性是量子世界区别于经典世界的关键特征，它的存在会促使量子行为向经典行为转变。量子退相干行为是量子计算在实现过程中亟需突破的一个挑战，量子干涉测量则提供了一种更为精密的测量方式。

规范理论中的虚数

物理学中大多数方程都涉及某种对称性，而对称性是规范理论的核心。规范的本意是标尺或者标度，用以定义标准。生活中最常见的规范对称的例子是电压。对电路产生影响的是电压差的大小，而不是电压绝对的大小。电路整体电压同步增加，不会影响电压差的大小，因而不会对电路产生影响，这是一种规范不变性。虚数在规范变换中同样发挥了举足轻重的作用。

1905年，法国数学家庞加莱发现，洛伦兹变换可以看作是在由时间的虚坐标ict（c为光速）和欧几里得空间三个实坐标构成的四维时空中的坐标旋转变换。随后，德国数学家闵可夫斯基（H. Minkowski）基于庞加莱的工作，在构建的四维时空中对麦克斯韦方程组和爱因斯坦的狭义相对论进行了进一步研究，更为简洁地阐释了二者的洛伦兹不变性。洛伦兹不变性是狭义相对论的基本性质，反映了两个作相对匀速运动的惯性参考系之间坐标变换的不变性。ict赋予了时间轴以长度的量纲，时间尺度就等同于是一个虚的空间尺度，“在这种情况下，满足（狭义）相对论要求的自然定律取这样的数学形式，其中时间坐标的作用与三个空间坐标的作用完全一样。在形式上，这四个坐标就与欧几里得几何学中三个空间坐标完全相当”，将过去认为是相互独立的时间和空间用四维时空统一起来。进一步，1915年，爱因斯坦在普鲁士科学院的发言中，正式提出广义相对论，将引力描述为时空的几何属性——曲率；提出引力的场方程，将物质的能量、动量与时空曲率联系到一起，开创了物理的几何化。

1918年，德国数学家外尔（H. Weyl）受爱因斯坦广义相对论的影响，在《空间，时间，物质》一书中开始尝试统一四大力中的引力和电磁力，并最早引入规范的概念。为了将引力理论的几何化推广到电磁理论，外尔发展了一种新电磁学的几何解释理论。他的做法是引入一个标度因子λ（x）=eθ（x），这样的数学结构展现了一种新的对称性，即规范不变性。从数学的角度看，外尔的理论如此优雅和美丽，他在文章中明确表示：“我有足够的勇气相信，所有的物理现象都可能源于一个普遍的定律，即数学上最简单的定律。”同时，他在给爱因斯坦的信中声称：“我相信，在这些日子里，我成功地从同一个来源得到了电和引力。”

然而，外尔的理论失了物理的真。在广义相对论中，爱因斯坦始终用完全相同的时钟和尺子，即相同的标准，而外尔的做法却使得“标准”可以随意改变，这在物理学中是不被接受的。因此，当爱因斯坦看到外尔的理论时，立即提出反对意见：“这是一项一流的天才之举。然而，到目前为止，我还是无法消除我對标度的反对意见。”同时，他提出一个假想实验：两个时钟从同一地点出发，分别沿着两条不同路径移动，最后再回到出发点。如果外尔的理论正确，时钟在移动的过程中，标度会不断连续变化，不同的移动历史会造成两个时钟的快慢不一样，即时钟的快慢会依赖于移动的历史。爱因斯坦最后表示：“遗憾的是，这个理论的基本假设对我来说似乎是不可接受的。”尽管外尔的理论并不成功，但其规范不变性的思想在统一场论的发展中扮演了重要的角色，标志着现代规范理论的诞生。

虚数在量子力学理论中的应用，为解决标度变化问题提供了新思路。1922年，薛定谔猜想，在外尔的变换中可以引入虚数。1927年，苏联物理学家福克（V. Fock）和德国物理学家伦敦（F. London）分别独立从量子力学的角度对带电粒子与电磁场的相互作用进行研究，对外尔的理论加以改进，将实数形式标度因子嵌入虚单位-i，从而将尺度变换更改为相位变换。如此这般，就能打消爱因斯坦的质疑了，时钟路径的不同只会影响时钟相位的变化，却并不会影响时钟的快慢。正如伦敦在《外尔理论的量子力学解释》中所描述的那样，“这意味着任何空间间隔都必须被看作是一个复数量，而整体间隔测量的外尔变量的结果是在常数模相位的变化”。虽然很难理解虚数的物理意义，但对于虚数的使用，伦敦是坚定的：“一个更为严重的问题是如何理解路径连接的复数形式。我们不应该始终将自己限制在实数领域。而是应该注意到另一个事实，那就是波函数本质上就是复数的。”不过，他同时也感到不安：“正是这种波（复振幅）经历了外尔为他的规范尺度所假定的影响，作为当时物理学的一个多余元素，不得不赋予它一种形而上学的存在。”在当时看来，虚数始终是实验上一个不可测量量。

物理学家把具有相位的复振幅引入大自然的描述，这不仅成为量子力学的基本核心内容，同时还揭开了建立标准模型的序幕。狄拉克曾这样描述相位对于建立量子力学的重要性：“相位这个物理量巧妙地隐藏在大自然中，正由于它隐藏得如此巧妙，人们才没能更早建立量子力学。”更进一步阐述，所有的相互作用包括电磁力、强力、弱力、引力等都是某种形式的规范场，而规范场论中的对称性、规范变换等核心概念无不与相位相关；同时，规范场与数学概念纤维丛关系密切，而纤维同样是复相位。可以说，将相位放置到任何高的位置都不为过，正如杨振宁描述相位：“规范场就是把相位这个观念的重要性提到最高，等于是问这样的问题：为什么有电磁波？为什么有引力？为什么有强力？为什么有弱力？这些，都是因为相位的对称的观念而来的。”他认为，如果现在重新命名，规范不变性应该叫相位不变性，而规范场应该称为相位场。

寻找实数量子理论

虚数在数学中是必不可少的，并且为现代物理学的发展立下汗马功劳，但是它一直以来始终是一个在实验上形而上学的不可测量量。在量子力学中，虽然算符是虚数的形式，但可观察量的算符一定是厄米算符，因为厄米算符的本征值为实数，任何可观测量都是实数。这是量子力学建立的五个基本假设之一。由于虚数无法用实验进行测量，那么就产生一个疑问：是否可以用纯实数来建立量子力学？

不过，2009年转机出现。加拿大滑铁卢大学的莫斯卡（M. Mosca）团队在理论上证明，可以完全脱离虚数，仅使用具有实系数的状态和算符，通过实数形式的希尔伯特空间描述量子力学系统及其演化，包括连续时间演化和多粒子体系的演化，能重现标准贝尔定理所预测的统计实验结果。该理论提供了对虚数质疑的依据，但依然缺乏一个真正的实践检验。

实验验证

2021年，巴塞罗那科技学院的雷诺（M. Renou）等人为解决虚数和实数之争，提出了一个在当前技术条件下切实可行的实验方案[2]——实虚检验实验。该实验方案对贝尔不等式检验实验进行了扩展，将一个纠缠源和三处测量点改为两个纠缠源以及三处测量点。研究人员在理论层面分析发现，标准量子力学以及实数量子力学的实验结果不同。若实虚检验实验成功付诸实践，就可以驳斥实数量子力学。

贝尔不等式检验实验中，仅需要多组相互纠缠的粒子分别发射到相距足够远的两处进行统计测量，就可以获得实验结果。实虚检验实验则需要两个独立的纠缠源分别发送两组纠缠粒子对到三处测量点。纠缠源S1和S2分别制备纠缠粒子m、n和p、q，n、p发射到B测量点，m、q分别发送到A、C测量点，对B处的n、p两粒子进行一次特殊的测量，就可以实现本来毫无关联的m、q两粒子的纠缠，这个过程被称作纠缠交换[1]。将上述过程重复多次，并加权各处联合测量的概率分布，可获得关联参数。理论分析虚数量子力学关联参数上限值Γ为6≈8.49，而实数量子力学为7.66，經典物理学则为6.0。如果实验测量获得的关联参数值在7.66和8.49之间，就可以排除实数量子力学。

得益于量子调控技术的快速发展以及大量贝尔不等式检验实验的经验积累，潘建伟团队和范靖云团队分别利用超导量子比特和和光子的偏振态完成了实虚检验实验验证，获得的实验结果均大于实数量子力学的上限值而小于虚数量子力学的上限值，有力地驳斥了实数量子力学。这两个实验在某种程度上表明虚数在量子力学中发挥着非常基础性的作用，而这是实数无法替代的。不过就像贝尔不等式检验实验一样，上述实验也存在漏洞[1]，随后还会有更多更趋于完美的实验。

除了上述实验，还有一项实验也充分证明了虚数不虚。2011年，加拿大国家计量标准研究所的伦迪恩（J. S. Lundeen）团队第一次在实验上实现对波函数实分量和虚分量的直接测量[3]。这项实验并不是通过传统层析方法去间接获取波函数的信息，而是直接将波函数的实部和虚部数值呈现在测量装置上。基于不确定性原理，一旦精确测量粒子的位置信息，就无法再精确测量其动量信息，这种不确定性由带有虚数的对易关系来描述。一般认为，测量过程被看作是仪器与被测物理系统之间的耦合，会导致仪器指针的偏转，破坏物理系统的原始状态，从而影响其他状态的测量。随着技术的发展，被称作“弱测量”的实验技术诞生，它可以最大限度降低测量过程对于量子态的干扰，不会影响其他状态的测量：先对位置进行一次“弱测量”，随后再对动量进行一次标准的测量，进而直接测量了单个光子复波函数。随后，物理学家进一步直接测量了更加复杂多粒子体系乃至纠缠量子态的波函数。这样，量子态测量就有了简单而直接的定义：对一个变量进行弱测量，然后对不对易变量进行标准测量，最终得到两次测量的平均结果。目前，所有的实验均表明虚数量子力学始终是描绘自然界最为成功的理论。

相对论和量子力学是当代物理学大厦的基石，它们的核心内容如波函数、不确定原理、规范变换、场方程、量子纠缠、量子干涉乃至相对论性的波函数方程——狄拉克方程等，均离不开虚数的使用。从上文可知，尽管虚数在这些理论中起到最为基础的作用，却没有明确的定义，而是以一种抽象元素的形式被引入。因此，如何用虚数解释奇妙的量子世界，或者虚数蕴含怎样深刻的物理内涵，还需要进一步去探究。

[本文相关研究受国家自然科学基金青年科学基金项目（11904217）、国家社会科学基金重大项目（16ZDA113）、山西省科技战略研究专项（202204031401039）资助。]

[1]彭鹏， 刘博闻. 贝尔检验简史. 科学. 2023， 75（1）： 36-41.

[2]Renou M O， et al. Quantum theory based on real numbers can be experimentally falsified. Nature， 2021， 600（7890）： 625-629.

[3]Lundeen J S， Sutherland B， Patel A， et al. Direct measurement of the quantum wavefunction， Nature， 2011， 474（7350）： 188-191.

关键词：虚数 纠缠交换 贝尔实验 量子力学 实虚检验实验 ■