眼中有“形” 心中有“数”

摘 要：直观模型是能帮助学生将抽象的数学知识变得直观易懂的一种工具，其中，点子图就是一种很好的介于实物和数之间的工具，具有直观性、思辨性、创造性。文章纵向梳理了点子图在苏教版教材中的编排，结合教学实践探析了点子图的使用方法，重视培养学生的数感，以供参考。

关键词：直观模型；点子图；低年段数学；数感；思维；抽象

作者简介：沈婷（1989—），女，江苏省苏州市金筑实验小学校。

数学的抽象性与低年段学生的直观性是一对矛盾体，这就决定了小学低年段数学必须借助直观形象的素材让学生更好地理解数学知识［1］，其中，点子图就是一种很好的载体，它能够让学生直观地理解和掌握数学的相关知识，帮助学生建立直观模型，逐步培养学生的数感。

一、低年段学生认知发展与数感培养

低年段小学生正处于具体运算阶段，思维活跃，好奇心强，认知事物以具体的、形象的思维为主，无法长时间集中注意力，容易分心。同时，他们还不具备良好的抽象思维，看待问题以直观思维为主，而且在数学学习方面也不具备相关的经验。因此，他们在遇到抽象问题和逻辑性强的问题时会觉得难以理解，做题时错误百出，难以理解其中的内在含义。

低年段学生年龄小，可塑性强，正是培养数感的好时机。教师要抓住这一时机，结合直观模型点子图，增强课堂教学的直观性，循序渐进地培养学生的数感。数感是对数的一种感悟，它不像知识、技能的习得那样立竿见影，它的培养需要学生在学习中循序渐进，积累经验，经历一个逐步形成、发展的过程。直观模型点子图，能在数感培养中发挥巨大的作用，让学生经历不一样的数感培养过程。

二、直观模型点子图的内涵解读与教材分析

直观模型是一种能帮助学生将抽象的数学知识变得直观易懂的工具。对于低年段学生来说，点子图就是一种很好的工具。“点”，即最简单的几何图形，零维空间的基本存在形式，若干个点有序排列就构成了点子图。点子图是一种很好的教学工具，能为学生学好数学提供很大的想象空间。在数与形中，“点”的存在让两者完美结合，点子图是形象思维的一道风景，是儿童从形象感知进阶到抽象思维的一个台阶。

数学本身是抽象的，数学和直观模型相结合能化抽象为形象，将抽象的问题具体化。在教学时，教师要加强学生对知识的理解和掌握，不能局限于口头讲解，要多利用点子图这样直观的模型，将枯燥、抽象的知识转化为有趣、直观的内容，从而激发学生的学习兴趣，帮助学生更好地理解相关知识。

本文纵向梳理了苏教版义务教育教科书孙丽谷、王林主编的数学教材中直观模型点子图的设计：一上第一单元《数一数》，场景图中的物体（或人）与点子数是一致的；一上第五单元《认识10以内的数》，先用点子数表示物体个数，再抽象出对应的数字；一上第七单元《分与合》，借助点子图考查10以内数的分与合；一上第八单元《10以内的加法和减法》和一下第一单元《20以内的退位减法》，借助点子图阐释加法和减法的含义；二上第一单元《100以内的加法和减法（三）》，以点子图理清两个数相差多少的问题；二上第四单元《表内除法（一）》，借助点子图分一分，进一步明确平均分的概念；三上第五单元《解决问题的策略》，借助点子图画一画，理解题意。从上述教学内容的梳理，我们可以发现直观模型点子图的分布绝大部分在一年级上册，这符合低年段学生的认知特点。

三、借助点子图培养小学低年段学生数感的教学实践探析

本文纵向梳理了苏教版义务教育教科书孙丽谷、王林主编的数学教材中点子图的设计，研究了教材中哪些设计环节可以用直观模型点子图来辅助教学，培养学生的数感。以下笔者将结合教学实践探析直观模型点子图的使用。

（一）识“点”，化抽象为形象，感悟理解数和数量意义

点子图在我们学习数和理解数量意义时，起到了过渡作用，其可以建立数和数之间的联系，拓展数的概念，加强数量单位之间的联系［2］。

1.搭建现实与数的桥梁

从完整图示到图像表征，再到圆点表征，最后到数字符号的生成，点子图在现实和数中，起到了桥梁作用，能让数的抽象过程更加具体化，也更合乎一般的逻辑规律，让学生能更好地体会数字的大小，理解数的意义。学生的思维由直观逐渐过渡到抽象，从现实生活中出现的数，认识到了数的现实意义。

在苏教版教材中，点子图第一次出现是在一年级上册第一单元《数一数》中，通过联系场景图、小图、圆点，学生能够数出1—10各数。在《认识10以内的数》中，教材第12页以庆祝教师节的场景图呈现知识。例如：书上有2盆花，我们每个人有2只眼睛、2只耳朵、2只手。这些都可以半抽象成2个圆点，最后抽象出数字2。教材有序地呈现了逐步抽象的设计理念。

2.体现数与数的联系

把数字表示成点子图时有不同画法，学生可以从不同点子图中认识数和数之间的联系。

在《认识10以内的数》中，教材第23页“想想做做”第1题“看数涂色”，数字6、7、8画法不一样，但其中却有数的各种特征。每个数下面都有10个圆点，6可以横着涂2个3，或竖着涂3个2，渗透了数的分与合。当数被抽象成符号时，很多数的特征和数与数的联系也就被隐藏起来了，而点子图能很好地体现数与数之间的联系。

3.加强数量单位之间的联系

学生理解数的意义时，在认识到了几个点就表示几个物体后，还需要注意，给数量加上单位后，其表示的意义又是不同的。点子图能加深学生对数量单位之间关系的理解。数字被加上单位后，用点子图将数量具体展示出来，能让学生更好地理解数量单位，并加深印象。

在一年级下册《元、角、分》中，教材用纸币体现了1元和10个1角之间的联系，用硬币表示出1角和10个1分的联系。在教学中，教师可以用点子图抽象出1元和1角之间的联系。同样是一个点表示1，但是加上单位后，它们之間的关系却发生了变化。

（二）移“点”，化无章为有法，理解算法的意义

每个数字都可以表示为“点”，把一组组点摆在一起，通过不同的移动方式，可以让学生感悟加减乘除之间的数量关系。苏教版教材在加减法的运用中会借助点子图呈现知识，但在乘除法中几乎不涉及，其实点子图能很好地让学生去感悟、体验乘除这一过程。

1.合“点”——熟知加法的意义

在教学加法时，教师可引导学生先看主题图，然后是实物图，接着半抽象成点子图，最后抽象成数的加法。这一系列从直观到抽象的过程，可以帮助学生深入理解加法的意义。教材展示将两组点子图合并在一起，就是将这两个数相加，能帮助学生理解加法的意义。

2.去“点”——知晓减法的意义

从一组点子图中拿走、去掉一部分，就用减法，通常是画掉或用虚线框表示。在二年级上册中，通过画点子图、移动点子图，使得两边数量同样多，能让学生理解三种不同的方法。画点子图能清晰地看出芳芳比小军多的部分，那么将小军少的部分添上或者将芳芳多的部分去掉就能使得两人的彩珠数量同样多；拿出2个芳芳的彩珠给小军，通过移多补少的方法也能使得两人的彩珠数量同样多。这道题结构开放，解法灵活多样，而我们通过点子图能很好地提高学生的分析能力和解决问题的能力，提高学生思维的敏捷性和灵活性。

3.摆“点”——通解乘法的意义

对于乘法的启蒙，教师可逐步引导学生自主画点子图，如在理解“3×4”时，学生发现可以每堆摆3个，摆4堆，表示4个3相加；还可以每堆摆4个，摆3堆，表示3个4相加。学生边画边思考，体会乘法的意义。点子图能帮助学生建立直观形象的数学模型。

其实在探索竖式计算时，点子图也是一种很好的方法，其能使竖式计算中每一步的算理都清晰可见［3］，如图1所示。

竖式中先算3×2=6，在点子图中就是每列2个，共3列的这一部分，6写在个位上；竖式中再算3×10=30，在点子图中就是每列10个，共3列的这一部分，30写在第二层，注意数位对齐。这种方式能加深学生对竖式计算的理解，体现点子图和竖式之间的内在联系。在学生理解了竖式计算每一步的算理后，教师介绍一般乘法竖式计算的简写形式，最后结合点子图，引导学生再次理解6为什么写在个位上，表示什么意思；3为什么写在十位上，表示什么意思。

4.分“点”——领悟除法的意义

点子图能直观地展示分的过程。学生对于平均分成几份，每份有几个能直观地感受，做题时也能结合点子图来理解、领悟除法的意义。

除法教学以点子图为载体，能够帮助学生理解平均分的含义，理解除法的意义。一组点子图，每份分的同样多，就是平均分。如图2，学生在做题时画一画、分一分，对于除法意义的理解会更深刻。

（三）数“点”，化无序为有序，提升估算能力

点子图是一种很好的形象直观的学具，它比实物和小棒更加抽象，但又比计数器、数位表更加形象，能有效地提高学生的估算能力。

1.让学生“看见”数学

一些学生在估算大数时存在很多问题，估算得很离谱。为什么他们的数感会这么差呢？在估算中，学生为什么会出现那么大的偏差呢？究其原因，教师在利用小棒和迪纳斯木块教学时，会出现遮挡的部分，学生对这个数到底是多大仍然没有直观的概念。点子图正好能弥补这个缺陷，让学生真真正正“看见”数字到底有多大。这些点子图能让学生感知数的大小，也能让学生在估计其他数的大小时有一个标准的支撑，让学生在估算时有一个具体的参照物。遇到再大一些的数，学生会在标准中做比较，对数形成一定的感知，能实实在在“看见”数字的大小，估算能力也会得到提高。

2.让学生“触摸”数学

随着数的增大，必须建立计数单位，点子图还能在上面圈圈写写画画，真真切切地让学生“触摸”数学。学生从一个一个计数，到后来会分组分计算单位进行计算，这是数数能力的一种飞跃。在点子图上圈圈写写画画，选择合适的计算单位进行计算，学生在面对大数问题时，会有所把握，能為后续学习更大的数提供方法上的支撑。给三百六十八个小方格涂色，其实就是在考验学生对数的感知能力，能帮助学生掌握分组计算知识，使其灵活运用计数单位来掌握数学的意义。

（四）画“点”，化复杂为简单，积累数感经验

学生学习完基础知识后，需要综合运用所学的知识和方法解决简单的实际问题，获得不一样的数感经验，让思考方式可视化、有迹可循，也让思考角度多样化。

1.让思路更清晰

在低年段数学中经常会遇到排队题目，而点子图直观简洁，能够帮助学生掌握知识点，理解题目的关键点。例如，同学们排成人数相同的4队做早操，小明在其中的一队，从前数、从后数他都是第3个，那么做早操的一共有多少人？通过画点子图，我们就可以清楚地看出一队有5人，一共有4队，那么总人数就是有4个5相加，即20人。

2.让思维更发散

冷冰的数字，枯燥无味的计算，对有些学生来说毫无趣味可言，但将数字画成一张张点子图，组合成一幅幅有规律的图画，学生就能发现原来无趣的数字和枯燥的计算背后竟然蕴藏着如此神奇的规律。

在1—10中任意选取两个数字，将相应的点子图组合在一起，偶数2、4、6、8中任意两组点子图能组合成一个规则的长方形；奇数1、3、5、7、9中任意两组点子图也能组合成一个规则的长方形；而一奇一偶的两个数字组合成的点子图无法组合成规则的长方形，总是会多出一个，如图3所示。

结语

综上所述，教师借助直观模型点子图，能帮助低年段的学生建立数感，培养学生的逻辑思维能力，促进学生的思维发展，使其做到心中有“数”。借助点子图构建起“形”与“数”的联系，以形助数，以数助形，能让学生在“形”中发展良好的数感，提升数学核心素养。

［参考文献］

刘加霞，高丽杰.直观模型在数学学习中的价值分析：以“数的认识”中的“点子图”为例［J］.教育视界，2015（24）：4-9.

林传忠.教材中点子图的使用策略［J］.小学教学设计，2016（11）：63.

季红.从具体到抽象，让乘法竖式有模有样：苏教版教材三年级上册“两位数乘一位数笔算乘法”的教学与思考［J］.小学教学参考，2017（32）：35.