自我监控视角下分式运算错误分析及对策

郭倩 韦宏 黎秋苗

摘 要：初中生在分式学习中，经常出现运算错误。其在自我监控视角下产生错误的原因主要是：计划监测学习过程不到位，割裂知识之间的联系；符号意识薄弱，算理不清晰；检验学习过程不严格，缺乏检验整理步骤；调节学习活动未落实，书写不规范。对此，文章提出减少分式运算错误的对策：探寻知识关联度，积极反馈学习过程；增强符号意识，提高抽象逻辑思维表征能力；提升反思能力，检验学习过程；纠正不良习惯，调整学习活动。

关键词：自我监控；分式；运算错误

作者简介：郭  倩（1999—），女，南宁师范大学数学与统计学院。

韦  宏（1968—），男，南宁师范大学数学与统计学院。

黎秋苗（1999—），女，南宁师范大学数学与统计学院。

社会的发展要求人树立终身学习的意识，其关键在于学会学习，而具备自我监控意识和能力是学生学会学习的重要标志。章建跃教授指出，以数学学科为背景的自我监控指的是“学生为高效学习，将数学学习活动作为意识对象，积极主动地进行计划、检验、调节和管理的过程”［1］。这个过程主要分为三个方面：一是学生在数学学习活动前的计划和安排；二是在数学学习活动中进行有意识的检查、检验和反馈；三是在以上基础上有意识地调节、修正和管理数学学习活动［2］。错题在数学学习活动中不可避免，它既是学生薄弱知识的反映，也是学习资源的重要组成部分。本文在自我监控视角下对初中数学分式运算常见错误原因进行分析，并积极探寻相应的对策。

一、自我监控视角下分式运算错误原因分析

（一）计划监测学习过程不到位，割裂知识之间的联系

数学教材内容具有连贯性，内容编排呈螺旋式递进，各知识点环环相扣。例如，分式和分数密切相关，初中《分式》和小学《分数》内容具有一致性，分数（式）的分子和分母同时乘（或除以）一个不等于0的数（整式），分数（式）的值不变。分数和分式的基本性质及其四则运算法则等都有共通之处。此外，分式是对整式的进一步学习。在整式学习过程中，学生已经学过公因数（式）和因式分解等基础知识，因式分解常用方法包括提取公因式法、分组分解法、公式法［平方差公式a2-b2=（a+b）（a-b），完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2）］、十字相乘法、待定系数法等。分式的定义、法则、基本性质等内容也为学生后续学习解分式方程打下基础。学生如果未根据学习内容提前做好学习计划，未采用恰当的学习策略监测学习过程，未及时查漏补缺，割裂知识点之间的联系，就容易导致知识连贯性不足，应对较为复杂的分式运算可能会无从下手，产生畏难情绪。部分学生在做分式运算时出现如下错误：

例1：+-

错解：原式=

+-

=？

（过程太复杂学生难以进行下去）

错因分析：此题要求化简计算多个异分母分式相加减，部分学生通分时取（m+n）（m-n）（m2-n2）为公分母，造成计算量增大，未能分辨出m2-n2可以根据平方差公式分解为（m+n）（m-n）。以上反映出学生基础知识不牢固，不理解最简公分母表示“各分母中所有因式的最高次幂的乘积”的内涵。此题最简公分母应为（m+n）（m-n）。

（二）符号意识薄弱，算理不清晰

《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出，数学课程要培养学生的核心素養，即使学生会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界［3］。其中，抽象能力是数学眼光的表现之一，也是初中阶段核心素养的表现之一。符号意识主要是指能够感知数学的符号功能，它是形成数学抽象能力的经验基础，是对“数感”的逻辑延伸，对符号的理解和使用是数学表达和数学思考的重要形式。初中阶段学生正处于由算术思维向代数思维过渡的关键期，而符号是区分算术与代数的主要特征，教学中“用字母代替数”是渗透符号意识的重要载体。学生在学习《整式》时，已经接触过大量的用字母代替数的例子，学生已具备一定的符号意识，但个体思维发展快慢因人而异，部分学生在分式运算中符号意识薄弱，算理不清晰，具体表现如下：

例2：m+1-

错解：原式=（m+1）（m-1）-=m2-1-2=m2-3

正解：原式=-=

错因分析：分式的化简计算是恒等变形，类比分数计算，异分母分式相加减应通分化为同分母分式相加减，利用分式的基本性质，将“m+1”看成分子分母同时扩大相同的倍数，分式的值保持不变。此处学生的解法与解分式方程利用等式的性质进行“去分母”——方程两边同时乘最简公分母，将分式方程转化为整式方程的步骤相混淆。

例3：

错解1：原式==-2m

错解2：原式===

=-1

正解：原式===

错因分析：其一，算理不清晰，“约分”的本质是利用分式的基本性质约去分子分母的公因式，而不是约掉相同的项。其二，识别出分子部分的多项式可以利用完全平方公式化简，并且得出（m-1）2=（1-m）2，却误将1-m2等同于（1-m）2。

类似的，为消去分母违反分式的基本性质，无法识别可以利用平方差公式或完全平方公式对多项式进行因式分解；无法提取公因式；符号处理不当等都是学生符号意识薄弱，算理不清晰，自我监控不足的具体表现。例如，2和-2互为相反数，根据互为相反数的两个数相加得0，可得2+（-2）=0；同理，代数式m-n和n-m互为相反数，根据互为相反数的两个数（式子）相加得0，可得（m-n）+（n-m）=0，移项得m-n=-（n-m）；m，n和-m，-n互为相反数，则有-m-n=-（m+n）。部分学生无法识别互为相反数的代数式，对于分数到分式发展的演变过程不够明确，理解不到位，从算术运算到代数运算出现思维断层。

（三）检验学习过程不严格，缺乏检验整理步骤

例4：×

错解：原式=×

=×=

正解：原式=×

=×

=

错因分析：未能准确识别公式，在进行“约分”的操作之后，未归结到“分子乘分子，分母乘分母”的步骤上，漏掉了分母还剩一个（2m+1）。部分学生的注意力仅停留在“约分”上，草率写出结果，欠缺检验与整理。类似的，学生在解分式方程运算时，常出现以下错误：去分母时漏乘不含分母的项；去分母时分式中的多项式未添括号；忘记验根，忽视分式分母不为0的隐含条件，方程两边同时除含有未知数的整式造成失根等［4］。这些都是学生检验学习过程不严格、缺乏检验整理步骤、自我监控能力不足的表现。

（四）调节学习活动未落实，书写不规范

经过访谈调研，笔者发现造成例4错解的原因之一是学生书写不规范，如做分式乘除法运算时，约分的结果未写到对应式子的上方或下方，而将约分后的结果写到左右两侧，整理运算结果时漏看某一个分子或者分母，最终导致运算出错。学生在分式运算中，书写不规范，字迹潦草，卷面不整洁，未能完整地呈现运算思路，对于易错题不及时总结归纳，反复出现同类型运算错误等，都是未调节学习活动的具体表现。

二、自我监控视角下减少分式运算错误的策略

结合出现分式运算错误的原因，笔者有针对性地从教师和学生角度提出对策：探寻知识关联度，积极反馈学习过程；增强符号意识，提高抽象逻辑思维表征能力；提升反思能力，检验学习过程；纠正不良习惯，矫正调节学习活动。以期减少分式运算错误，提高学习效率，发展学生的数学核心素养。

（一）探寻知识关联度，积极反馈学习过程

教师在教学中应关注学生自我监控的思维过程。其一，横向类比，探寻新旧知识的关联度，整数到分数是数的扩充，整式到分式是式的扩充，有理数和有理式均体现着数式通性［5］。注重分数到分式的过渡教学，从概念到运算，将分数与分式内容进行类比学习，探究异同，不断扩充、完善知识体系，形成丰富的知识图式，加深学生对分式的理解。对于数和式运算结果的主要区别，小学阶段对于数的四则运算是得到一个具体的值，而代数化简是恒等变形，化简计算中“=”表示的两层含义：一是表示运算的结果；二是表示相等的量。部分学生认为代数运算的结果不含有运算符号才是最简形式。这也是学生在化简过程中出现“2a+2b-a-b=a+b=ab”此类错误运算结果的主要原因。其二，纵向归纳，对比前后知识的联系。例如，分式是整式的进一步学习，在整式学习过程中，学生已学习过公因数（式）和因式分解等基础知识，因式分解常用方法包括提取公因式法、分组分解法、公式法（平方差公式、完全平方公式等）、十字相乘法、待定系数法等。在分式的化简运算中同样需要用到此类知识。其三，合理安排教学材料次序。研究表明，学生分式加减法和乘除法运算学习中的负迁移是导致运算错误的原因之一［6］。学习材料的先后顺序对学生学习的迁移有不同的影响，即在分式运算板块，先讲分式的乘除，或将顺序颠倒，导致学生出现错误的概率也不相同。教师应合理安排教学顺序，及时帮助学生纠正思维误区；学生则应及时辨析、总结易错点。

（二）增强符号意识，提高抽象逻辑思维表征能力

符号意识是数学最本质的特征，用字母代替数使得数的表达得到拓展，符号的引入极大地简化了数学研究，促进了代数的发展。数学符号不仅包括1、2、3……a、b、x、y等，还包括运算符号。在分式运算教学中，增强学生的符号意识，训练学生的抽象逻辑思维，让学生明确算理算法，具体可采用以下措施：第一，引入数学符号的发展史，教师讲解分数发展到分式的演进脉络，让学生自主查阅资料，追溯知识来源，激发学生的求知欲。教师要找准学生思维的生长点，让其经历由图形到具体数字再到抽象字母表示的过程，感受符号形成的意义及数学符号的抽象美、简洁美，体会数学文化的魅力。第二，学生要有针对性地做分式运算的专题训练，在练习中体会数式通性，理解符号内涵，加强对符号本质特征的理解，深刻理解公式结构的不变性和字母的可变性，而非机械记忆公式。第三，教师设计开放的探究活动，利用分式解决实际生活中的问题，让学生在分析问题的过程中，体会用数学符号进行数学表达的优越性，提高抽象逻辑思维能力，进一步发展符号意识。对学生符号意识的培养是一项长期工程，教师在深入分析学情，把握学生心理特征的基础上，让符号意识贯穿学生数学学习的全过程，有助于发展学生的抽象能力，提升其核心素养。

（三）提升反思能力，检验学习过程

一方面，学生要加强自我监控，提升反思能力。在分式运算过程中需要有反思、回顾的过程性步骤，梳理解题思路，查漏补缺，作答之后可以花几秒钟浏览答案，关注验算细节，可以采用特殊值检验、答案逆推等方法检验求解结果，加强自我监控意识，保证做题的准确率。同时，学生要在课堂上标注重难点，针对易错的“陷阱题”，建立错题集，定期反思整理。

另一方面，教师要进行反思性教学，面对学生在分式运算中所犯的错误，既不能一味责怪学生，不允许学生犯错，给学生造成数学焦虑和心理压力；也不能简单归因于学生粗心，要认真对待学生的错误，深入挖掘学生错误背后的深层次原因，寻找理论支撑，并对症下药，积极寻求解决方案。

（四）纠正不良习惯，调整学习活动

在分式运算中，为避免出现类似例4的错解，学生应将分式约分之后的结果分别写到对应位置的上方和下方，将约分后的分子和分母分别相乘，整理結果一目了然，可以极大减少因书写不规范导致的运算错误。在数学学习的过程中，学生还要及时纠正书写不规范的不良习惯，在自我监控中及时调整学习活动。首先，教师要关注学生的表现，做好示范，在讲解例题过程中，规范板书例题的解答过程，合理安排板书布局，必要的作答步骤不能省略。其次，设置数学学习成果展板，展示正确率高、书写规范工整的作业，并给予适当奖励。最后，学生要严格要求自己，良好的书写习惯离不开日常的扎实训练，关注细节、发现问题才能解决问题。总之，良好的数学书写习惯要靠教师的以身作则和悉心引导，学生也要用实际行动规范书写，体会数学的严谨，提高数学审美，纠正不良习惯，在自我监控中及时调整学习活动。

结语

综上所述，在自我监控视角下深入探析学生在分式运算中常见错误的深层原因，有助于教师把握学情，分析学生心理特征，有目标、有计划地对学生进行阶段性训练，螺旋推进，层层深入；有助于学生有意识地调整数学学习活动，结合有效的学习策略，提高数学学习效率，提升数学核心素养。

［参考文献］

章建跃.中学生数学学科自我监控能力［M］.上海：华东师范大学出版社，2003.

董奇，周勇.论学生学习的自我监控［J］. 北京师范大学学报（社会科学版），1994（1）：8-14.

中华人民共和国教育部.全日制义务教育数学课程标准（2022年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2022.

刘建东.解分式方程的典型错误剖析［J］.理科考试研究，2013，20（10）：32-34.

傅兰英.基于认知结构的教学设计：以“平方差公式”的教学设计为例［J］.中国数学教育，2021（17）：35-39.

沈仁广.中学生分式加减与乘除运算错误研究［J］.数学教育学报，2012，21（6）：61-65.