从点阵看算式

2023-06-04 17:47贾陆宇郜舒竹
教学月刊·小学数学 2023年5期
关键词:算式运算

贾陆宇 郜舒竹

【摘 要】点阵是人们理解“数与运算”的重要工具。作为一种直观模型,点阵能够将抽象算式形象化,其动态变换可以呈现不同算式间的等价关系。从点阵视角看算式,能够帮助学生建立算理与算法间的联系,提升对算式间关系的感悟,更好地把握数学运算的整体性与一致性。因此,教师在教学中应当重视点阵的应用,充分发挥其课程价值。

【关键词】点阵;算式;运算;运算感

点阵是表征数字符号的直观模型,常作为数形结合的载体,出现于教科书中数的认识、表内乘法、倍数与因数等内容中,用以帮助学生建立具体与抽象间的联系。长期以来,小学数学学科关于“数与运算”主题的课程设计与课堂教学,更重视计算的速度与准确性,相对忽视运用数形结合的方式“发现”算式间关系的过程。

学生对点阵的观察及其动态变换的操作,能够帮助他们进一步理解算理、明晰算法,提升对算式间等价关系的认知。在实际教学中,教师应重视对此类直观模型的运用,通过呈现直观图式辅助教学,将抽象的“关系”形象化。

一、历史溯源

点阵是人们认识并理解“数与运算”的重要工具。它的历史源远流长,可追溯至古希腊时期。当时,毕达哥拉斯(Pythagoras)将对世界的科学观察与数联系起来,发现数与已经存在或即将形成的事物间存在“结构上的相似性”。按照毕达哥拉斯、亚里士多德(毕达哥拉斯学派的追随者)的观点,结构上的相似性体现为“数”几乎是所有事物的组成元素,世间万物都可以用“数”来表达,如固定的琴弦长度比能产生和谐的音调、天体与地球的距离适宜使得宇宙间球体转动的声音变得和谐等。[1]

基于数与世间万物在结构上的相似性,毕达哥拉斯相信纷繁杂乱的世界蕴含着亘古不变的“数学规律”,即“数(Number)”,并认为数是永恒的,独立于感性世界而存在,人们理解世间万物的关键在于数,即万物皆数[2];相信一切形体均由数衍生而来,因而常常通过摆放沙滩上的卵石来表示数[3],适当摆放一定数量的卵石能够形成规则几何图形。由此,毕达哥拉斯学派按照几何图形的形状对“数”进行了分类,衍生出“形数(Figurate Numbers)”的概念,如三角形数、正方形数、五边形数等。[4]比如从视觉上来看,因为3块卵石能够以正三角形的形式进行排列,所以“3”就被认为是一个三角形数(如图1)。

“形数”的出现使得形与数之间的内在联系得以凸显。通过数与形的相互转化,抽象的事物能够直观化,复杂的事物能够简单化。因此,后人继承并发扬了毕氏学派“以形表数、以数解形、数形结合”的思想,用具有均匀间隔的“点(Dots)”代替卵石,通过构造点的规则几何排列来表示数,进而形成“点阵(Arrays)”的概念。

从“形数”到“点阵”的演进过程,充分体现出直观图式对理解抽象概念的重要性,也揭示了同一集合对象间或不同集合对象间的关联性。[5]同一集合内,对象间“存在联系”是因为它们具有“相似之处”。比如,若将“形数”视为集合,三角形数、正方形数、五边形数等对象均因“能够形成规则几何图形”而具有了共性。正是这样的共性为抽象算式之间的联系的形象化提供了可能。

二、算式的形象化

《义务教育数学课程标准(2022年版)》中指出,学生要在具体情境中了解四则运算的意义,感悟运算之间的关系。[6]若想感悟运算间的关系,就要找到算式与算式间的异同,其中最直观的方式就是“看到”变与不变,为此就需要“以形表数”,将算式中蕴含的思维过程可视化[7]。

点阵可以提供有关加减法、乘除法等运算的具体模型,具有将抽象算式、算法可视化的功能。[8]在点阵中,当一组对象可以按照某种标准模式排列而没有剩余对象时,便能够将某个数字或运算与一组对象关联起来。[9]比如,当以“点”为单位时,图2所示的点阵便与数“4”存在关系。

在此基础上,同一个点阵通过不同的划分方式,还能够与算式相联系,并使得算式間的等价关系可视化。如图3所示,对于同一点阵,两种不同的划分方式从左到右分别联系着算式“1+3=4”与“1+2+1=4”。

在点阵中,除了以点为单位,还能以点集为单位,将点阵与乘除法相联系。从以点为单位发展到排列和构造相等的数组,并以此作为集合计数的顺序,也更符合学生先学习加减法、后接触乘除法的思维过渡顺序。[10]

综上所述,点阵与运算紧密关联,运算赋予点阵以“数”的意义,点阵又将运算以“形”的形式进行展现。同时,点阵在直观与抽象之间搭建起一座桥梁,将数与算式变为“具体”的事物,使抽象的数学对象变得可视化,因“形”的关系变得直观。

三、算式间的关系

美国华盛顿州立大学的David Slavit认为,“运算”在数学课程体系中具有十分重要的意义,运算与运算间的关系应成为学生学习的重点内容,并据此提出“运算感(Operation Sense)”这一概念,用于描述学生在学习运算时能够获得的一些能力。同时,不同类别的两个运算间还可以用其他方式进行联系,如乘法为重复的加法,除法为重复的减法。[11]上述认知便属于“运算感”中“算式与其他算式之间关系的认识”这一能力层级。这里的“关系”实质是指算式间的等价关系,体现为不同的算式可以得到相同的结果、不同的算式可用于描述同样的数量关系两个方面。[12]

运算关系的感悟,需要通过探寻运算间的“共性”来实现。而“运算”较为抽象,不易发现共同之处,所以需要先对同种运算中算式间的关系进行归纳总结,再由运算内部关系推及运算间的共性。

(一) 同种运算间的算式关系

在加(减)法运算中,存在诸多“和”(“被减数”)相同的算式。从图3可知,和相同的算式可以用相同点数的点阵来表示,算式间存在着“关系”。但这样的结论并未触及问题的本质,为此需进一步思考:对于同种运算中具有相同结果的不同算式,是什么将“它们”关联起来的?

这里基于点阵的视角,通过“1+2+3=6”和“3+3=6”两个加法算式进行探究。若将点阵中每一行所代表的数看作加法算式中的一个“加数”,这两个算式就可以分别用图4、图5所示的点阵来表示。

图4与图5所示点阵中均包含“6”个点,这便是“共性”。此时,若按照图6所示变换方法对图4中的点阵进行动态变换,便可以得到一个每行均由三个点排列而成的点阵(如图5)。

可见,在加法算式中,“和”为同一个数的算式均可以用总点数相同的点阵来表示,而加数的个数及每个加数的大小取决于点的排列方式。此外,从点阵的“表象”来看,进行位置变换的点始终是“一个一个”进行运动的。

同理,减法算式与减法算式之间的关系也可以用点阵的动态变换来说明。为避免歧义,将点阵中最下面一行所具有的点数视为“差”,而其余一行或多行中,每行所具有的点数均视为“减数”,点阵总点数则视为“被减数”。

因此在减法运算中,“被减数”为同一个数的减法算式,可以通过对点阵的点“一个一个”地进行位置变换,改变算式中“差”的大小,或对减数的大小及个数进行调整,使得它们变为同一种形式。

观察点阵中的加法运算与减法运算可知,点“一个一个”地进行位置变换,既是加法运算中所有算式的共性,也是减法运算中所有算式的共性。位置变换方式(“一个”)则是运算算法中“单位”的几何体现。因此可以说,在加法运算与减法运算中,是“相同的单位”将算式与算式联系起来的。

在整数乘法运算(因数×因数=积)中,因数常表达着不同的内涵:第一个因数表达的是具体“对象(Object)”的属性,也就是多少个“1”;第二个因数则不同,表达的是包含这种具体对象的“集合(Set)”。如乘法算式“4×5=20”,它的第一个因数“4”表示4个1;第二个因数将“4個1”视为单位“1”,表示包含5个单位“1”的集合。[13]

基于上述认知,这里将点阵中一行所具有的点数视为“具体对象”,点阵的总行数视为“集合中包含具体对象的个数”,点阵所具有的总点数视为“积”。那么,乘法算式“4×5=20”就可以用图7所示点阵来表示。

若以“具体对象”为单位对点阵进行划分,可以得到多种拆分方式。图8可理解为“4×2”和“4×3”这两个小部分构成了“4×5”这一整体,即“4×5=4×2+4×3”。

以同样方式进行思考,图9可理解为“4×1”和“4×4”这两个小部分构成了“4×5”这一整体,即“4×5=4×1+4×4”。

从上述两种划分方式可以看出,算式与算式之间具有“关系”(4×1、4×2、4×3、4×4与4×5可以共存于一个算式之中)的原因是存在共性,即它们的具体对象均为4个1,且均将“4个1”视为新的单位。

在乘法运算中,一般是通过“具体对象×集合中具体对象的个数”得到“积”。作为乘法的逆运算,除法则是计算“积”(除法运算中的被除数)中包含了多少个具体对象(除法运算中的除数),即“集合中具体对象的个数”(除法运算中的商)是多少。若从点阵视角进行解读,点阵中每一行具有的点数应视为“除数”,点阵所具有的总行数为“商”,点阵所具有的总点数为“被除数”。由此可知,除法运算是基于单位对总点数相同的点阵进行分解的过程,除法算式间也因有相同的“单位”而存在“关系”。

要注意的是,在除法运算中,不能通过改变单位的大小来牵强地认定两个算式是相同的。举个例子,虽然算式“6÷3=2”和“12÷6=2”的计算结果相同,但两者并不能视为同一算式的不同形式。究其原因,“6÷3=2”中的单位为“3”(如图10),而“12÷6=2”中的单位为“6”(如图11)。

所谓计算结果“2”相同,实际上指的是“集合中包含具体对象的个数”相同,因此两个算式间的联系也只能定义为商相同的两个除法算式。

从点阵中可以看到,在乘法运算与除法运算中,算式间的联系在于它们均是基于“单位”所进行的组合与分解。

(二) 运算间的关系

通过对“不同的算式可以得到相同的结果”原因的分析,以及对算式间关系的探索,可知加减乘除四种运算都是基于“单位”展开的,这便是四种运算之间的共性。[14]提炼出运算间的“共性”后,便可以开始在点阵的直观图中探寻运算间的关系。

对于一个包含16个点的点阵,可以通过动态变换排列为多种形式,如图12、图13、图14。图12的点阵可以用来表示4+4+4+4=16、16-4-4-4=4、4×4=16、16÷4=4四个算式。

若将点阵动态变换为图13的排列方式,则可以表示8+8=16、16-8=8、8×2=16、16÷8=2四个算式。

再看图14,该点阵可以表示2+3+4+7=16、16-2-3-4=7这两个算式。如果将点阵再次进行动态变换,这个包含“16”个点的点阵还能用来表示更多的算式。

在上述三种排列方式中,通过对点阵进行不同解读,可以表达出十个不同的算式,涵盖加、减、乘、除四种运算。虽然运算方法不同,但它们都是基于“单位”进行的运算,也正由于这一共性的存在,才建立起了以单位为统领的四则运算的整体结构。[15]用点阵直观感知算式间的关系,看似孤立的四种运算在点阵的动态变换下,从表象中剥离出了其所具有的共同内在本质,并融合成了一个密不可分的整体。

综上所述,点阵是实现数形互化的有力工具,蕴含着丰富的课程价值:首先,点阵为抽象知识提供视觉图形,帮助学生在头脑中形成实体表象,实现由具体到抽象的思维过渡;第二,点阵提供可操作的活动空间,使得学生伴随多样的动态变换、圈画等具身活动,实现思维与操作的相互作用、协调,逐步内化并建构整体性认知结构;第三,点阵具有美育价值,充分展现出数与形的和谐美及不同知识间的统一美,进一步激发学生对数学知识的探索欲望。因此在数学教学中,教师应当对点阵的课程价值予以高度重视,使其成为学习活动设计的课程资源,充分发挥其课程价值。

参考文献:

[1]RIEDWEG C. Pythagoras:His Life,Teaching,and Influence[M]. Ithaca and London:Cornell University Press,2012:80-82.

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[3]王幼军,金之明.著名数学家和他的一个重大发现[M].济南:山东科学技术出版社,1998:8-12.

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[5]ALUJA J G. Elements for a Theory of Decision in Uncertainty[M]. Dordrecht:Kluwer Academic Publishers,1999:33-124.

[6]中華人民共和国教育部.义务教育数学课程标准(2022年版)[M].北京:北京师范大学出版社,2022:18.

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[11]SLAVIT D. The Role of Operation Sense in Transitions from Arithmetic to Algebraic Thought[J]. Educational Studies in Mathematics,1999,37(3):251-274.

[12]郜舒竹.从小数除法看“运算感”[J].教学月刊·小学版(数学),2019(1/2):4-7.

[13]郜舒竹.看“一”的眼光[J].教学月刊·小学版(数学),2020(11):4-8.

[14]巩子坤,张希,金晶,等.程序性知识课程设计的新视角:算理贯通,算法统整[J].课程·教材·教法,2021,41(6):89-95.

[15]武维民,米学峰.在深度理解中促进学生学习的融会贯通:以加法为核心构建加、减、乘、除运算的整体结构[J].小学数学教育,2021(9):71-72.

(首都师范大学初等教育学院)

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