探寻正确路径 提升核心素养——以《数学广角——找次品》教学为例

□ 杜 缨

美国经济学家、历史学家道格拉斯·诺斯在《经济史中的结构与变迁》一书中提出了“路径依赖”原理，在经济领域成功地解释了全球或一个国家经济制度的变迁过程。“路径依赖”类似于物理学中的惯性，即事物一旦进入某一路径，就可能对这种路径产生依赖。“路径依赖”原理不仅可以应用在经济学领域，也可以应用在数学教学中，其实质是一个不断进行强化的过程。为此，笔者试图依据“路径依赖”原理，以《数学广角——找次品》一课的教学为例进行课堂教学探索。

一、试析“路径依赖”原理在教学中的适用性

（一）对照“路径依赖”原理，梳理本位知识

“路径依赖”原理强调，一旦进入了某种选择，就可能会对这种选择产生依赖。因此，教师在第一次教学时就必须让学生进入正确的路径。这就要求教师全面把握本位知识，准确理解教材内容，帮助学生建立起结构化的数学知识体系。

“找次品”问题是一类经典数学问题。它可以细分为许多类型，有的类型解决起来相当复杂。教材选择了比较简单的一类作为例题，例如：有n个从外表看完全相同的零件，其中1 个是次品，次品比合格品重（或轻）一些。假如用天平称（不用砝码），最少称几次就能保证找出这个次品？

对于这一问题，一般解决方法是“把这n个零件尽可能平均分成三份”。这是由天平的特点决定的。因为天平有两个托盘，所以次品所在的位置无外乎三个地方，即两个托盘上或天平外，只要用天平称1 次就能确定次品在三个位置中的哪一个。而要使称量的次数最少，就应在每次称量后，把次品确定在更小的范围内。要做到这一点，就应尽量使三份零件的个数同样多。这样，不管次品在三个位置中的哪一个位置，问题都能转化为“从总数的三分之一（左右）里找次品”。下面对三种情况进行具体分析。

（1）当物品数量是3 的倍数时，可以分成（m，m，m），天平两边分别放m个，称1次。无论是否平衡，都排除2m个，所以称1次可以排除2m个物品。

（2）当物品数量比3倍多1时，可以分成（m，m，m+1），天平两边分别放m个，称1次。如果平衡，排除2m个；如果不平衡，排除2m+1 个。所以称1 次至少排除2m个物品。

（3）当物品数量比3倍多2个时，可以分成（m，m+1，m+1），天平两边分别放m+1个，称1次。如果平衡，排除2m+2个；如果不平衡，排除2m+1个。所以称1次至少排除2m+1个物品。

（二）结合“路径依赖”原理，分析学习起点

依据“路径依赖”原理，学习起点是教学的关键。教师只有在真正掌握学情的基础上进行教学设计，才能为学生有效地建构起正确的学习路径。为此，笔者对70名学生进行了前测，以了解学生的学习起点，具体内容如下。

1.调查学生的逻辑思维能力

【测试题目1】小红、小白和小黑三只兔子赛跑。小红说：“我跑得不是最快的，但比小黑快。”请你说说，谁跑得最快？谁跑得最慢？请写出你的想法。

70 名学生中，只有3 名学生回答错误，说明大多数学生已经具备了初步的逻辑思维能力。

2.调查与本课内容相关的推理能力

【测试题目2】有3瓶从外表看完全一样的口香糖，其中有一瓶口香糖是少1片的（称为次品）。如果有一架天平，你能用最少的次数将次品找出来吗？请写出或者画出你的想法。

70 名学生中，认为要称3 次的有4 人，约占5.71%；认为要称2 次的有17 人，约占24.29%；认为要称1 次的有26 人，约占37.14%；认为称其他次数（含没有结论）的有23 人，约占32.86%。从调查的情况看，学生出现了四种不同的结果，其中认为称1 次就能完成的学生，约占总人数的三分之一（这些学生能清晰地将自己称的过程表征出来）。约62.86%的学生不能自然想到“在天平上称1 次就能确定次品在三个位置中的哪一个地方”，这种现象说明了进行教学引导的必要性。因此，教师在教学中要关注学生的学习起点，由简单到复杂，由特殊到一般，让学生在比较、猜想、验证的活动中逐步感悟、总结和提炼。

3.分析学生思维过程中的表征方式

分析测试题目2的学生作品发现，学生已经具备了将自己的思维过程表达出来的能力，并呈现出多种表征方式，主要有三种：画图、文字说明、画图+文字说明。其中，文字说明的方式最能清楚地表达出思维过程，使用的人最多，认为“称1次就找到次品”的学生中有18人运用的是文字说明方法，这说明学生具备了用语言表达思维活动的能力，为开展课堂教学做好了铺垫。

（三）依据“路径依赖”原理，确立教学目标

确定学习路径和进行强化是“路径依赖”的两大核心。对于找次品问题的教学，如果教师只是简单地告知学生结论和方法，而没有让学生经历寻找正确路径的过程，学生将会缺失数学素养，不利于其长足发展。基于以上思考，笔者将本课的教学目标定位为以下三点：

1.知识目标。通过观察猜测、实物操作、推理思考等活动，掌握找次品的最优方法，并归纳出解决这类问题的最优分组策略。

2.能力目标。经历由多样化到优化的思维过程，理解最少次数是如何得出的，在归纳解决问题方法的过程中，积累探寻经验，培养表征思维过程和解决问题的能力。

3.情感、态度、价值观目标。感受数学在生活中的广泛应用，能用学到的数学思想和方法解决生活中的实际问题。

此外，确立本课的教学重点：找到优化的方法，体会“三分法”的优势。

二、教学实践过程

（一）首探路径，初步感知“三分法”

教师引导学生将物品平均分成三份，然后借用天平进行称量，从而把问题转化为“从总数的三分之一（左右）里找次品”。这是最有效的解决问题的方式，也是首选路径。同时渗透化繁为简的思想，让学生从简单的问题开始研究，找到规律后再来解决复杂的问题。

教师出示题目：有240瓶口香糖，其中有1瓶少2 片（轻一些），看作次品。假如用天平称，至少称几次能保证找出次品？

生：数量太大，一下子无法解决。

师：那就从最少的数量开始研究，找到规律后再解决这个问题，那么从几瓶开始研究比较好呢？

生：2 瓶可以直接称出来，不需要研究。我们就从3瓶开始。

师：你准备怎么称？

生：当有3 瓶口香糖时，天平两端各放1 瓶，如果不平衡，那么轻的是次品；如果平衡，那么天平外的是次品。所以只要称1次。

师：有时是称出次品，有时是推算出次品，都只称1次就够了，这是为什么？

生：把3 瓶口香糖分别放在天平两端和天平外，次品就在这三个位置中的其中一个位置。如果在天平上，直接就能称出来；在天平外，就能靠推算得出。

师：也就是说，只要把物品分成三堆，称1次就能确定次品的位置。

（二）再探路径，数形结合建立模型

学生经历了在3个瓶子中找次品后，教师继续引导学生在5～8 个瓶子中找次品，体会“三分”法的优势：分成三份的目的是缩小次品所在范围，排除更多数量，使物品不上秤也能作出判断。基本明确了“三分法”路径后，再让学生在合作过程中积累找寻策略的经验。最后引导学生在9 个瓶子中找次品，要求学生在找的时候尝试用语言或实物表达思维过程，并会用流程图或文字表达称次品的过程。

师：刚才大家分析得非常清楚。那你们能把在3 瓶口香糖中找次品的过程用图表示出来吗？请大家在练习纸上试一试。

教师呈现学生作品如下。

师：把3瓶分成3个一份，至少称1次就能找出次品。那么，如果5瓶、6瓶、7瓶、8瓶口香糖里有1瓶是次品，至少分别称几次，就一定能找出次品呢？

教师组织小组活动，学生分小组完成。出示小组活动要求：①请小组长分配任务，完成相应的内容，并填写表格；②完成表格后，观察表格，有什么发现？

教师呈现第二小组作品（如表1），进行教学反馈。

表1

师：有5 瓶口香糖时，如果天平平衡，外面的1瓶就是次品。这样不是称1次就找到次品了么，为什么还要再称1次？

生：至少几次，就是说这个次数是保证能找到次品的次数，所以我们要考虑最糟糕的情况。如果最糟糕的情况下都能找到，那么其他情况下也保证能找到了。

师：为什么都用到了“三分法”？

生：天平只有两个托盘，那么天平两端和天平外一共是三位置，把物品分别放在这三个位置，次品就在其中一个位置，只要称1次就能发现次品在哪里。

生：分成三堆，就能把次品所在位置缩小到数量更少的物品堆里。

师：为什么“三分法”中还要尽可能平均分呢？

生：因为尽可能平均分就能让三堆物品的数量尽可能一样多，这样能保证称1次就把次品所在位置缩小到总数的三分之一的物品堆里。

师：仔细观察找次品的最后一步，你有什么发现？

生：最后都是在2个或者3个里找出次品。

师：为什么会这样？

生：在2 个或3 个物品中找次品是最基本的方法，且只要称1次就可以找出次品。

师：如果9 瓶中有1 瓶次品，可以怎么分组呢？为什么？怎样把称的过程表达清楚？

（教学过程略）

师：要用最少次数找出次品，就要将物品分成三堆，而且要尽量平均分，最后还要考虑最不利原则。

（三）明确路径，强化练习加强依赖

有针对性的练习，是对正确路径进行强化的有效形式。按照“三分法”，对第一次分组专项练习很重要。只有在练习中不断地自我强化，学生才能形成依赖。通过这样的反复强化，学生才能在获得正确“路径”的基础上，真正将数学知识内化为数学能力，提升核心素养。

师：如果分别有12瓶、13瓶、29瓶口香糖，其中有1瓶是次品，第一次如何用“三分法”分组？

生：尽可能平均分成3 份，12 分成（4，4，4）,13分成（4，4，5），29分成（9，10，10）。

师：同桌之间随机报一个数，说说你是怎么分的。

（同桌之间一人报数，一人说分法）

师：如果总瓶数分别是3的倍数、3的倍数多1、3的倍数多2，第一次分组时你会怎么分呢？

生：总瓶数是3 的倍数时刚好平均分成（ɑ，ɑ，ɑ）；总瓶数是 3 的倍数多1 时可以分成（ɑ，ɑ，ɑ+1）；总瓶数是3 的倍数多2 时可以分成（ɑ，ɑ+1，ɑ+1）。

师：明确了第一次的分法，后面你会继续分吗？现在再来试试最开始的问题，240 瓶口香糖中有1瓶是次品，最少称几次保证找到次品呢？

综上所述，笔者以《数学广角——找次品》一课内容为例，运用“路径依赖”原理，梳理本位知识，分析学生起点，重新确立教学目标，并将“探寻正确路径”作为教学活动的重心。这样的探索能使教学效果最大化，从而提高学生的核心素养。