高中数学习题课教学的几点思考——以一道解三角形高考题的教学为例

江苏省溧水高级中学 (211200) 方金宝

高中阶段数学的学习离不开解题,习题课教学就是围绕解题展开.习题课教学主要有:深化基础知识、消除学习障碍、纠正存在问题、梳理知识结构、完善知识系统、提高数学能力、发展核心素养等功能.根据教学内容的特点与目标,习题课的类型分为以下几种:单元知识完结后的习题课、章节知识完结后的习题课、模块知识完结后的习题课、主干知识完结后的习题课、专题问题为主题的习题课.在新课程理念影响下,对高中数学习题课的教学本人做了些尝试和思考,本文是笔者关于解三角形的一道高考题的教学实录和思考,用以抛砖引玉.

一．教学实录

师:今天我们来继续解三角形问题的学习,下面我们来一同探究2021年的这道高考题.

题目△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b2=ac,D为边AC上一点①,AD=2DC②,且BD=b,求cos∠ABC.

生4:根据条件①、②知点D是三等分点,如图1,分别过点A、D作AF⊥BC、DE⊥BC,垂足分别为点F、E.设DE=t,BF=x,EC=y,在Rt△AFC中,(3t)2+(3y)2=b2;在Rt△BDE中,t2+(x+2y)2=b2;在Rt△ABF中, (3t)2+x2=c2,联立方程组,消去t、x、y,得b、c等量关系,又∵b2=ac,消去b,也能得到a、c等量关系.

图1

图2

师:由以上多种解答思路不难看出,本题入口宽、方法多,很好地考查了解三角形的有关知识及思想方法,是一道质量很高的选拔性试题.大家思考下这道题的各种解法背后都渗透着什么样的数学思想方法.

生7:都是先将几何条件转化为代数条件再运算.

师:有没有同学需要补充的?

生8:都是立足方程的思想来求解.

师:都说的很好,解三角形是高考的重点和热点问题,主要考查大家的基础知识及基本技能.这类问题通常蕴含着丰富的数学思想,想着力考查大家的数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算等核心素养.2021年新高考I卷第19题就是具备以上特点的一道好题.鉴于时间原因,课后大家把刚才六位同学讲的思路认真演算和整理出来,用心体会,举一反三,真正达到做一题会一类的水平.

二．教学反思

1.解三角形问题的必备意识和思想

求解三角形问题时要必备两个意识和五种数学思想,两个意识主要指边角互化意识和信息可视化意识.在解三角形问题所给条件中往往既有角又有边,这就需要我们利用正余弦定理把二者进行互化,达到边角统一的目的.我们皆知若题中给出代数关系式,则需要我们对其进行变形,考查的是数学运算;若给出几何关系,则需要我们将几何条件转换为代数式,考查的是推理论证.图是初等数学的生命线,能不能用图支撑思维活动是能否学好初等数学的关键.清晰、干净、准确的图形能帮助我们迅速找到题目所给的所有信息,可以大大提高解题效率.

五种数学思想主要指方程思想、不等式思想、函数思想、平面向量思想和解析几何思想.求解有关字母值的问题多用方程思想;而处理有关范围和最值的问题时常常会用到不等式和函数的思想;向量是数学中刻画既有大小又有方向的量的数学语言,因此处理有关长度和角度的问题时,也用向量来刻画;解析几何的研究对象是平面几何图形,思路是用代数的方法研究几何问题,三角形是最常见的平面图形之一,因此常常也用这个方法来研究.

2.关于高中数学习题课教学的几点思考

通过一段时间来的探究和学习,发现习题课的教学模式主要有精选例题,解法研究,拓展思考,反思总结等阶段.无论什么阶段的习题课教学,首先都是要选择合适的题.一般来说,选题主要遵循如下标准:针对性(层次、适量、丰富)、科学性(逻辑、正确)、创造性(灵活、探究).简而言之就是要选择有想法有思维的题,这样才能最大限度地引导学生在数学思维的海洋中翱翔.解题主要有三个过程:理解题意,分析题目,解答问题.当然最后不可缺少的一个环节就是反思,带领学生反思解题过程,反思条件结论,反思解题方法和策略.重视解题后的反思有益于学生对问题进行深入的探究,达到“做一题会一类”的效果.

《深化新时代教育评价改革总体方案》要求高考试题全面深化基础性考查,贯彻课程标准提出的发展学生核心素养的指导目标,明确学科核心素养的内涵、范畴和考查路径,加强数学思想方法的渗透,深入考查学生的基本知识和关键能力,优化试题设计,加大开放题的创新力度,发挥数学高考的选拔功能,助力提升学生的综合素质.深化基础性考查主要指向思维的灵活性,而思维的灵活性主要体现在对数学概念的深度理解上,体现在数学思想方法的深刻认识上.数学思想是分析、处理和解决数学问题的根本,是对数学规律的理性认识,也是数学知识到数学素养的桥梁.因此老师只有认真研究新课标、新教材,在平时的教学活动中引领学生领悟知识的本质,感悟数学的思想方法,积累基本的活动经验,提升学生的核心素养,才能科学面对新高考.