数学解题思维受阻原因与应对措施的研究

徐小锋

[摘  要] 文章从学生解决一道例题时思维受阻的实际情况出发，认为高三阶段学生在解决综合型问题时常见的思维受阻情况有“基础知识不牢固，解题方向不清”“解题方法不完善，解题过程混乱”“解题思路无条理，解题过程烦琐”等，并从“转化已知条件”“变更问题形式”“调整解题思路”三方面提出应对措施.

[关键词] 思维受阻;解题;思路;思维

新课标强调高中数学教学应注重培养学生几何直观、分析概括、数学运算以及逻辑推理等能力，使学生能用所学知识解决实际问题. 这要求教师在综合复习教学中找出学生思维受阻的节点，帮助学生厘清头绪，避免解题过程中思维受阻.

问题扫描

人脑在获取知识的过程中能形成技能，在知识的实际应用中能激活思维，形成良好的思维方式与处理问题的能力. 因此，真正意义上的数学教学是学生获取知识、积累经验、形成基本技能与能力的过程. 但实际教学过程中，学生常因某一环节的疏忽，导致思维受阻，出现了各种问题. 教师以一道题为例，扫描学生思维受阻的情况，如下：

问题：若方程2x+x+2=0与logx+x+2=0的根分别为p，q，且函数f（x）=（x+p）（x+q）+2，求f（0），f（1），f（2）的大小关系.

本题难度系数并不大，但学生的解题情况不容乐观：班上48名学生参与解题，其中有29人出现了解题错误. 经过与学生沟通交流，发现他们出现解题错误的主要原因有以下几种：

第一种，没有完全理解求解方程根的方法.有些学生从函数g（x）=2x+x+2与函数h（x）=logx+x+2着手，通过求导、作图求函数的零点. 事实证明，从函数g（x），h（x）的零点出发，基于图象进行分析，并不能解决本题.

第二种，没有完全理解函数的性质. 有些学生在解题过程中，分别作出函数y=2x，y=-x-2与y=logx的图象后，却无法厘清函数y=2x，y=logx图象之间的关系，因而无法获得方程根的关系.

第三种，没有完全理解图象的对称性. 有些学生没有发现函数y=2x与y=logx的图象关于直线y=x对称的关系，也没有理解x=1是二次函数f（x）=（x+p）（x+q）+2的对称轴，从而导致解题思维受阻.

第四种，无法灵活应用二次函数图象以及指数函数、对数函数的性质等，也无法从函数值大小以及函数图象的角度对函数进行转化，对函数图象的对称性、单调性的理解不透彻.

综上所述，学生对于问题无法做到认真思考与分析，更没有形成纵横联系与互相转化的习惯，当遇到实际的综合型问题时，解题思维自然受阻.

思维受阻原因的分析

1. 基础知识不牢固，解题方向不清

高三复习过程中遇到的一些综合型问题往往由多个基础的数学概念组合而来，学生只有对各个概念的内涵及外延有清晰的认识，才能轻松找出解题方向，获得解题思路与方法. 但有些概念由于学习时间久远，学生难免出现遗忘或概念不清的情况，当遇到实际问题时，对已知条件转化途径会产生方向不清晰的状态. 主要表现在不知道如何建立条件与结论的联系，也不知道该将条件往哪个方面进行转化.

例1 已知△ABC中，·=9，·=-16，那么AB边的长是多少？

如果学生不了解向量积的表现形式具有互相转化的功能，那么本题求解将困难重重. 学生可从向量数量积的不同表示方法着手进行分析，解题思路如下.

方向1 从向量数量积的定义着手进行分析.

因为·=9，∠A为向量与的夹角，所以AB·AC·cosA=9. 结合余弦定理，可得=9. 同理，结合余弦定理，由·=-16可得=16. 上述两式相加即可获得AB边的长.

方向2 用基底向量，表示所研究的向量.

因为·=-16，所以·（-）=-16，即·-2=-16，由此可得AB边的长.

方向3 从向量数量积的几何意义着手进行分析.

∠A为向量与的夹角，根据·=9>0这个条件，可知∠A为锐角，同理可知∠B为锐角. 如图1所示，过点C作CD⊥AB，垂足为D，则AB·AD=9，BD·AB=16，由此可得AB边的长.

点拨 如果学生对向量的符号、图形与坐标缺乏认识与理解，那么无法从这三种语言出发进行向量问题的思考与解决. 基于向量的基本概念，最常见的问题设计与解决思路有：①选择合适的基底，从向量符号出发，研究相关的数量积、夹角、模型等;②构造向量图形，从向量的几何意义着手进行探究，以“形”助解;③建立坐标系，将向量问题用坐标语言表达出来，从实数运算的角度解决问题.

2. 解题方法不完善，解题过程混乱

众所周知，问题是数学思维形成的核心，是发展学生数学核心素养的基础. 问题的解决需要学习者在数学模式识别与学习的基础上，对一些数学元素的性质或关系做出合理解释，这也是基本解题方法形成的过程. 若学生在数学基本方法的积累或记忆上出现偏差、遗漏或不完善的现象，则会导致解题思维受阻.

例2 假设集合A={xx2+4x=0，x∈R}，集合B={x

x2+2（a+1）x+a2-1=0，x∈R}，且B⊆A，则实数a的取值范围是什么？

根据B⊆A这个条件，学生容易获知集合B中的所有元素均在集合A里，由A={-4，0}可得-4與0为方程x2+2（a+1）x+a2-1=0的根，那么a的值就是1，-1，7.

若学生无法厘清集合内容或集合间的关系，则在解题过程中会出现思维受阻的现象. 为了避免思维受阻这种现象的出现，需要教师带领学生从以下两个方面进行思考，以达到完善认知结构的教学目的.

解法1 先解方程x2+4x=0，可得x=0或-4，可知A={-4，0};再解方程x2+2（a+1）x+a2-1=0，从方程是否有解的角度进行思考与分析：

Δ=4（a+1）2-4（a2-1）=8a+8.

当Δ<0时，可知a<-1，此时方程无解，B= ，与本题条件相符.

当Δ=0时，可知a=-1，方程为x2=0，解得x=0，此时B={0}，B⊆A.

当Δ>0时，可知a>-1，方程存在两个根分别为x，x，因此B={x，x}. 根据B⊆A，可知{x，x}⊆{-4，0}，所以方程x2+2（a+1）x+a2-1=0的两根分别是-4和0. 列方程组-2（a+1）=-4，

a2-1=0，解得a=1.

综上分析，可确定a=1或a≤-1.

解法2 根据题设条件，可直接确定集合A中的元素，因为集合B中的方程x2+2（a+1）x+a2-1=0含有参数a，可知集合B中的元素比较繁杂.

从另外一个角度来分析，根据B⊆A以及子集的定义，可知B为 ，{0}，{-4}，{-4，0}，于是从这四种情况进行分析：

①当B= 时，方程x2+2（a+1）x+a2-1=0无解，因此Δ<0，可得a< -1;

②当B={-4}时，方程x2+2（a+1）x+a2-1=0存在两个相同的根，此时-2（a+1）=-8，a2-1=16，不存在解;

③在B={0}时，方程x2+2（a+1）x+a2-1=0存在两个相同的根，此时-2（a+1）=0，a2-1=0，可解得a=-1;

④在B={-4，0}时，方程x2+2（a+1）x+a2-1=0存在两个根，分别为-4与0，此时-2（a+1）=-4，a2-1=0，解得a=1.

综上分析，可确定a=1或a≤-1.

点拨 遇到集合问题时，首先要从集合的属性出发，弄清集合中究竟存在哪些元素;其次要搞清楚两个集合之间的关系. 本题需要确定集合A中的元素为集合B中方程的根，且集合A中方程的系数是明确的数，因此能够直接获得待求方程的根是多少.

于集合B而言，因为方程系数含有参数，所以需要从不同的角度来分析问题：①从集合B着手解方程，根据方程系数含有参数的条件，需要对判别式分类讨论;②从B⊆A以及子集的定义出发，确定集合A={0，-4}存在四个子集，也就是集合B分别为 ，{0}，{-4}，{-4，0}，再依次求出实数a的取值范围.

如果将一元二次方程转化成一元二次不等式，也可以从以上两个角度出发，将问题转化为一元二次函数最值问题或一元二次方程根分布问题而破解. 将问题条件进行科学、合理的转化，是一种重要的解题思路，在复习过程中要注重归纳与积累.

3. 解题思路无条理，解题过程烦琐

数学解题讲究七分构思与三分表达，构思指读题、审题、联想与归纳等，表达主要包含书写、运算、反思与回顾等. 数学学习涵盖了思考过程与问题结果的思考，需要注重规范表达与书写. 但有些学生在解题过程中，因缺乏良好的读题、审题以及规范表达的习惯，导致解题思路毫无条理可言，出现解题过程异常烦琐的现象.

例3 已知S是等差数列{a}的前n项和，假设S=q，S=p（p≠q，p，q∈N*），则S的值是多少？

因教育方式的区别，学生的思维习惯存在较大差异，一些学生不善于从问题中寻找有用的条件，也不习惯将问题的条件与待求结论建立联系，从而导致解题思路缺乏条理，解题过程过于烦琐. 本题可从以下三个方面着手进行分析.

解法1 从基本量着手.

将

pa

+d=q，

qa

+d=p进行等价转化，获得

a

+

d=，

a

+

d=，然后解出a与d的值，最后求出Sp+q.

解法2 从基本量着手.

列方程组

pa+

d=q，

qa

+d=p，两式相减，可消除p-q，获得a+d= -1，求得S=-（p+q）.

解法3 从其性质着手.

因为

=q，

=p，所以

a

+a=

，

a

+a

=，两式相减，获得公差d，根据式子a+a=a+a+q·d，可得S的值.

解法4 从图形着手.

已知点（n，S）位于S=A·n2+B·n上，根据S=q，S=p这个条件，可分别求得A，B，从而求得S的值.

点拨 关于数列运算的问题，可从以下三个方面着手进行思考：①根据数列概念、等差或等比数列的定义、数列的函数特性实施转化;②根据数列的基本量求其通项或前n项和，转化成关于方程的运算方式;③根据数列的性质进行运算.

本题紧扣等差数列前n项和S的形式分析以下三种情况：①从基本量出发，可表示为S=na+d;②从性质角度来看，可表示为S=;③从图形来看，可表示为S=A·n2+B·n

A=，B=a-

. 应用Sn这三种形式，均能直接解决本题.

培养学生思维的条理性离不开教师在教学中的有机渗透，因此教师应注重引導学生探索解题思路，思考这样做的依据是什么，解题途径有什么;当思维受阻时，该怎样迁移知识、简化难度等.

解决思维受阻的主要策略

1. 转化已知条件

概念、定理、公式等是实施数学思考的原点，学生只有理解概念的内涵与外延，对公式的来龙去脉以及结构特征了如指掌，才能在解题时以不变应万变. 如审题过程中，可根据题设条件思考如何将已知条件转化成更容易理解的形式，那么转化依据是什么呢？概念转化可从文字、符号与图形三类语言出发，公式的转化则需考虑计算的便捷性等.

例4 已知S是等差数列{a}的前n项和，且不等式a+≥ma对任意正整数n以及任意等差数列{a}均成立，求实数m的取值范围.

分析 把式子S=代入a+≥ma后，原不等式转化成了a+≥ma. 分离变量后，又将不等式转化成了

+

1+

≥m. 令t=，原问题就转化成了二次函数最值问题，此时可快速求出实数m的取值范围.

点拨 解决本题时，思维的障碍点在于题设条件中存在多个变量，学生对于处理变量间的关系感到棘手. 因此，教师可引导学生从等差数列前n项和的公式出发，把多元不等式转化成二元不等式，简化问题难度.

2. 变更问题形式

当遇到难以探寻解决方法的问题时，可从某些模型或结论着手，通过综合性分析与设計，变更问题形式，为求解提供便捷.

例5 已知实数x，y满足2x2+xy-y2=1，求的最大值.

已知式子2x2+xy-y2=1和待求式子均为关于x，y的二次式，但其形式偏复杂，而且两个式子的关系也不太明显. 因此，从基本不等式概念出发，将已知式子和待求式子分别变形，转化成和与积的关系，具体可从以下两个方面着手进行分析.

分析1 先把已知式子分解成（2x-y）（x+y）=1，然后换元，设2x-y=a，x+y=b，可得x，y，再转化a·b=1，最后求式子的最大值.

分析2 由于待求式子的分子是一次式，于是可通过换元，设x-2y=t，则x=t+2y，将待求式子和已知式子都转化成t，y的关系式后求解.

3. 调整解题思路

数学教学想要促进学生思维的发展，就要不断地提出问题，引导学生分析并解决问题. 在教学中，教师可设计一些科学合理的“问题串”，让学生的思维顺着问题拾级而上. 若遇到思维受阻，可根据函数图象，式、量的几何意义，以及方程曲线等及时调整解题思路.

例6 倘若函数f（x）=xex-asinxcosx（a∈R，e是自然对数的底数）. 如果对于任意x∈0

，，f（x）≥0均成立，则实数a的取值范围是什么？

分析 若直接求导f（x），并不能确定导函数f′（x）的零点，也无法获得函数f（x）的最小值，无法求出实数a的取值范围.

当x∈

0，

时，将f（x）≥0转化成≥a，对求导，但无法求出其对应导函数的零点，因此无法明确的最小值.

此时需要换个角度进行思考，当x∈0

，，a≤0时，xex≥0恒成立，-asinxcosx≥0也恒成立，因此仅需考虑a>0的情况. 分别获取xex，asinxcosx于x=0处的导数值，可猜想a≤1. 对函数f（x）求导，可得f′（x）=ex-acos2x+xex于0

，上单调递增，从而获得a≤1.

总之，想要提高学生的解题能力，就须在教学过程中有意识地培养学生思维的条理性，引导学生夯实知识基础的同时，注重解题思路与方法的积累. 只有弄清知识的来龙去脉，学生才能在丰富多变的综合题中以不变应万变，形成良好的解题能力与数学核心素养.