基于信息技术对小学数学模型意识培养的路径探寻

戴厚祥 朱涛

［摘  要］ 模型意识是小学数学中一种核心的基本意识，它渗透于小学数学学习的各个方面，如运算模型、方程模型、几何图像模型等。对小学生而言，他们几乎每天都在进行和模型学习有关的活动。《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“新课标（2022年版）”）将“模型思想”更名为“模型意识”，同时明确指出：“数学建模是数学与现实联系的基本途径。”［１］良好的模型意识，有助于学生用数学的眼光认识现实世界。但在实际教学中，学生模型意识的培养被情境、工具等所局限而无法得到有效实现。文章基于信息化大背景，融合信息技術手段，以“技术”助力数学模型建构的过程，为培养学生模型意识提供新路径。

［关键词］ 信息技术；模型意识；建模学习；新路径

一、概念解读：数学模型、模型意识与数学建模的内涵

（一）数学模型

关于模型，《辞海（第七版）》是这样描述的：与“原型”相对，即研究对象的替代品。百度词条注释为：依照实物的形状和结构按比例制成的物品。简单来说，模型可以大体分为两类：第一类是实物模型，常见的如汽车、地球仪、钟表的模型等；第二类是虚拟模型，也就是为了解释现象、描述规律或阐明理论等进行的示意性描述，如数学模型、天文学模型、经济学模型等。

关于数学模型，存在狭义和广义的理解。

狭义上看，数学模型就是反映事物特征或事物之间数量关系的数学结构。比如，张奠宙认为：数学结构是反映特定的问题或事物的数量关系的结构［２］。徐利治认为：数学模型是指参照事物的特征或数量关系，运用数学语言概括化地表达出来的一种数学结构［３］。

广义上看，数学中的各种概念、公式和理论都可以称为数学模型。张钦在《基于建模思想的小学数学教学设计研究》中指出：“从广义上讲，小学数学课程中所学习的数学概念、命题、图表等都可以指数学模型。”［４］

综上所述，数学模型可以认为是为了解决某一问题、达到某一目的，借助数学语言对事物本身的特征或对象的内在关系进行表达所形成的一种数学结构。

数学模型在生活中有着广泛的应用。比如：在认识圆柱和圆锥时，学生借助手边的圆柱模型进行观察，这是实体数学模型的应用；数学课上，教师用计算机上可以自由拖拽的虚拟的圆柱体给学生讲课，这是虚拟数学模型的应用；古人甚至用数学模型解决诸如“田忌赛马”这样复杂的现实问题。可见，模型存在于数学的不同种类的问题之中，有的问题与生活紧密相关，有的问题较为抽象，需要教师注意“直观”与“抽象”的关系。数学模型的建构与使用不仅可以简化这些复杂的问题，还能准确刻画某一抽象事物或复杂事件的过程，进而彰显内在的演化规律，提升学生的实际应用意识，培养学生的创新意识，帮助学生搭建数学与现实世界沟通的桥梁。

（二）模型意识

模型意识是新课标（2022年版）的“十一个核心概念”之一，从原本的“模型思想”更名为“模型意识”，并在初中阶段发展为“模型观念”。无论是“意识”还是“思想”，它们都强调“会用数学的语言表达现实世界”。因此，有部分学者这样定义：“数学模型思想是指用数学的语言描述现实世界所依赖的思想。”这是十年前对于“模型思想”的解释。不难看出，这种描述的侧重点在于“数学语言”。同时，新课标（2022年版）中在模型意识和模型观念中同样都涉及了数学语言。小学阶段常见的数学语言包含文字语言、符号语言、图像语言，它具有简洁、通用的特点，也正因如此，它为人们提供了与现实世界交流与表达的一种独有的方式。综上，笔者认为小学阶段的模型意识就是学生经历用数学语言表达数学问题或现实问题的过程，有意识地运用数学语言表达或描述问题，感悟这种交流方式的意义与价值，逐步养成这种习惯的一种宝贵的数学意识，它也是初中方程、函数等抽象化的数学语言表达的重要基础。

（三）数学建模

数学建模不是纯粹的解题，它指的是“通过建立模型的方法来求得问题解决的数学活动过程”，一个严格的数学建模应至少包含这样几个基本步骤（如图1）：

结合实际，有时数学建模无须经历所有的环节。值得关注的是，上述过程中最重要的步骤是从数学问题抽象成数学模型这一步，一旦模型建立错误，后面将前功尽弃。因而，学生需要借助过往的经验，在教师的引导下尝试运用已掌握的数学语言去表达、描述、解释等。根据实际教学，教师也可以把上述流程图简化为四个步骤（见表1）。

就小学阶段而言，低年级学生的数学建模往往比较形象、具体，容易理解；中、高年级的数学建模相对比较抽象，难以理解，需要借助信息技术帮助建模。

二、现象扫描：数学建模教学中的思维误区

现实教学中，模型意识本身的抽象性、建模过程的复杂与困难，导致教师难以掌握数学建模教学的要点。教师即使认识到了模型意识的重要性，也不知道该如何渗透，即便知道了建模的一般化步骤，也不知道如何规范地开展教学，更不知道如何进行准确评估。学生在这样的课堂中，“看似学过了”“掌握了”，却没有建立真正的模型意识。从笔者听课的记录和查阅知网等80余篇文章来看，当前小学数学建模教学存在一些共性问题。

（一）建模情境选择偏离

建模的起点是情境，因此情境的选择决定了建模的结果。在建模的数学课堂中，教师都会尝试嵌入一个情境，而这样的情境则会面临一些质疑：它是否是真实的？它能贴合学生的已知经验吗？它能否激发学生建模的意识？……这些问题其实都在考验情境该如何更好地与课堂融合，以实现模型意识的优化。比如笔者在一篇“乘法分配律”的实录中看到，教师为了让学生理解（50+35）×4和50×4+35×4这两个算式之间的关联，创设了如下情境：“上衣50元，裤子35元，李老师买了4件上衣和4条裤子，一共要付多少元？”显然，学生在日常生活中自己购买衣服的经验很少，甚至几乎没有，因此他们很难把已有经验和问题情境密切联系起来。此外，这种脱离学生生活实际的情境对学生来说也毫无吸引力，既无趣又枯燥。

建模的需求性问题关乎建模思想培养的动力问题，学生只有对情境感兴趣才愿意自主探究。相较于被动解决问题，学生的自主探究会更为主动且高效。当然，情境不能一味地追求激发学生的兴趣，其内容应该紧扣模型需要解决的问题或困境，让学生能够自然且顺利地在给定的情境下使用数学语言。建模情境中最容易被忽视的就是学生的已知经验。究竟什么样的情境才真正贴合学生呢？综上，笔者认为优秀的建模情境至少满足以下要求：情境设置要“有趣”，能够调动儿童建模的动力；情境选择要“合理”，符合儿童的认知发展规律，同时兼顾儿童的最近发展区；情境内容要“关联”，能够贴合儿童的生活实际。

（二）建模能力理解失准

在建模过程中，学生有了建模的动力后，面临的最大问题就是不会建模。其中最大的障碍就是学生的数学语言与建模活动之间的冲突。以苏教版小学数学中的“和差问题”为例：“五年级一班、二班共有学生100人，一班比二班多6人，则两个班各有多少人？”这样的问题会出现在三年级下册的数学书中，往后还有“和倍”“差倍”的问题。从实际教学来看，解决这样的问题一般会经历“分析条件——依据数量关系画线段图——列式解答——检验答案”的过程（如图2）。

学生在此之前已有的经验是苏教版三年级下册的“解决问题的策略——画线段图”。因此，解决“和差问题”时，需要学生熟练掌握用线段图的语言方式来描述此类问题，如果学生无法想到用线段图或示意图来表征，那么他的建模就很难进行。相反，有了这样的基础，学生在“量”的积累下逐渐实现“质”的完善，最后形成“大数=（和+差）÷2，小数=（和－差）÷2”这样抽象的数量关系式，就可以顺利完成初步的建模。在进行建模教学中，教师要充分考虑到学生的已有经验，结合建模内容，让学生不仅有话“可”说，还要有话“能”说。

（三）信息技术水平滞后

打破课内外的界限，如何有效运用信息技术建模依然是当前数学课堂存在的问题。笔者曾经在听六年级“圆锥的体积”课中就遇到过这样的“尴尬”。教师在给学生讲解圆锥体积是等底等高的圆柱体积的三分之一时，采用的是倒水实验，但在实验过程中损耗了一些水，导致实验未能成功，部分学生开始起哄，现场气氛十分尴尬。其实这位教师是想通过实际的操作，让学生明白三分之一是怎么来的，不过人为因素导致的误差反而造成了困扰。数学教学中像这样的实物演化的模型不在少数，因而信息技术的引入就显得迫在眉睫，它可以规避这样的误差，達到理想化的模型。此外，观察笔者所在地区当前的课堂可以发现，教师在课堂中使用的信息技术较为基础，常见的是用Powerpoint等演示文稿，部分地区装备了“金陵微校”这样的教学平台，而像“GSP几何画板”这样的软件几乎无人使用。信息技术的滞后对数学建模来说有着不小的影响，笔者认为，教育信息化的发展必然会对数学建模教学起到正向的促进作用，这一点在很多高校也得到了验证，因此，小学阶段要重视信息技术与数学建模的关联性价值。

（四）建模评价方案单一

数学建模的结果最终是要回到真实情景中加以验证的，因此模型的正确与否应成为评价的重要指标之一。但是，同一个情景可能存在不同的数学模型，比如：运算律中a－（b+c）和a－b－c虽然形式不同，但是都能够解决同样的问题，因此在评价建模结果的时候不能一概而论。小学阶段除了要关注结果，更重要的是关注学生经历建模过程时的表现，教师需要在建模的每一步给予学生及时的反馈，以帮助学生更好地形成模型素养。

三、全面解读：信息技术在数学建模教学中的应用价值

教师在传统的建模教学中几乎看不到信息技术的影子。随着教育信息化的飞速发展，教育装备的不断更新，信息技术与课堂的融合由浅入深，不仅可以解决技术上的难题，而且可以加深学生对知识的理解。小学阶段的教学重点之一就是要处理好“抽象”与“直观”的关系，而信息技术的可视化特点能够很好地解决这一问题。小学数学课堂内容常分为“数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践”四大板块，建模教学渗透在不同的板块里，下面笔者将从这四大板块简述信息技术与建模教学的深度融合价值。

（一）“数与代数”：数形结合，化抽象为直观

1. 数的认识

小学阶段的“数与代数”主要包含“数与运算”“数量关系”两个方面。“数”主要包括整数、小数、分数等，“运算”主要包括算法、算理等；“数量关系”主要是用数或符号表达数量之间的关系，常见的数量关系主要运用于加法模型和乘法模型。

广义地看，教师可以把一个分数看作一个高度抽象的模型。以学生刚认识的1/2为例，它的引入在教材中是以一个蛋糕平均分成2块来呈现的，被分出来的1/2块蛋糕可以看成是这个分数的直观模型（或实物模型），它既可以表示一个结果，也可以表示部分与整体的关系，但因分数本身过于抽象，所以不利于学生理解。当然，教师也不可能在实际教学中让学生准备一个蛋糕分一分，因此，教师一般会让学生在学习单上画一画（如图3），这是数学表征的一种方式。这样画一画虽然可以展现学生思考的过程，但却难以展现分出的结果。若学生在平板上操作，则很容易地就把圆片一分为二，然后屏幕显示分开后的蛋糕，从过程到结果，一目了然（如图4）。

因此，教师需要在保留分数本质属性的基础上，把它具象化、直观化，才能有助于学生感知。这一点也是新课标中强调的，教师既要处理好知识的直观呈现方式，又要处理好“直观”与“抽象”的关系。而利用信息技术就可以很好地达到这样的效果。以笔者遇到的一道题为例：“一个分数的分子和分母都加上1，分数的大小不变。（  ）（填×或√）”，单纯解决这样一个问题对于六年级的学生来说并非难事，他们可以采用下面的方式解答。

举例子，所以填“×”。归根结底，它本身就是一个＞的数学模型，但对于小学生来说，这样的表达式太过抽象和复杂，分母和分子都处在变化之中。因此，笔者引入“GSP几何画板”软件。这款软件操作起来十分简便，能够快速构造图形、函数图像等。以大小相同的圆片为例，教师依次输入分子和分母，会呈现出规律的结果（如图5）。

从图中可以清晰、直观地看到随着分子和分母“同时增加1”，涂色部分的面积在不断变大，抽象的分数和直观的图像巧妙地结合在一起，做到了真正的“数形结合”，同时，学生经历了这一完整的变化过程，更能感悟这一数学模型的规律价值。同样的，属于“数与代数”领域的还有对小数、百分数等这些数的认识与理解。例如，学生在学习小数后，形如0.80米所表示的含义、0.001这个小数的意义等抽象的问题都需要技术的参与，打破学生思维的壁垒，突破手工操作的困境，将数与形建立起联系，助力学生的思维成长。

2. 数量关系

小学阶段常见的模型分为加法模型和乘法模型，学生需要在具体情境中运用含有符号的式子解决问题。以乘法模型为例，教师可以在低年级的课堂中这样引入乘法模型。

（1）趣味情景，引发思考。

动画播放：天空下起了小雨，小水滴齐刷刷地落下来，形成了美丽的雨幕。老师用相机拍了一张照片，请大家欣赏。可是，有一些小水滴藏在了乌云的背后，有一些露在了外面，你能算出有多少小水滴在乌云外面吗？（出示图片，如图6）

（2）深入交流，感知模型。

预设：2+2+2=6（加法）；3×2=6或2×3=6（乘法）。

谈话：（出示图7）调皮的乌云被风吹走一部分，又露出一些小水滴，你能根据这道乘法算式摆一摆吗？（出示：4×7）明确：每行7个，有4行；每列4个，有7列。

（3）自主探索，应用模型。

（出示图8）将全部的雨滴展示出来，让学生像之前一样用两种方法在图上表示算式。

借助課件的动画演示和交互式白板的体验，学生的思维从单一走向开阔。在学生初步掌握乘法模型后，课件的两种不同呈现形式让学生从两种角度理解了乘法模型的含义。在最后自由框选小水滴的环节中，学生在数量关系的支撑下自由地探索不同的算式。

（二）“图形与几何”：动态演绎，从静态到动态

小学阶段“图形与几何”主要包括“图形的认识与测量”和“图形的位置与运动”两大主题。相较于数的认识，图形较为直观、具象。从实际学情来看，学生从实际物体中抽象出几何图形比较轻松，但是对于理解图形之间的关系，在某些图形的特征的认识上则存在困难。

1. 图形的认识

以苏教版五年级上册“三角形的面积”为例，本节课的难点之一就是理解和应用“蝴蝶模型”（如图9）。简单来说，就是在一个梯形内，连接对角线，△AOD的面积等于△BOC的面积，这也是小学阶段五大“几何模型”之一。

简单分析这个模型可以发现，要想让学生理解这个模型，应当从“特殊”走向“一般”，即将梯形的上底和下底向两边延展，得到两条平行线，在平行线之间去思考三角形的面积关系。（出示图10）引导学生思考：涂色部分的三角形和哪个三角形的面积相等？为什么？以BC为底，像这样面积相等的三角形，你还能画出多少？这些问题旨在引导学生思考：在这样的两条平行线之间画出来的三角形都是等底等高的，所以面积相等。在画三角形时利用交互式白板的优势，学生可以尽情地画三角形，方便且快捷，在此过程中等底等高的思想被一遍遍地强化，为后续研究做铺垫。接着，利用交互式白板的功能，笔者将图10中的点A设置为可以在平行线上自由拖动的点，将静态的图形转变为动态的图形，在形状变化中让学生思考不变的地方，即面积不变（高不变）。有了这样的基础，学生在理解图9时就变得游刃有余，继而可以尝试在实际应用中借助这个模型去解决一些复杂的问题。如图11，学生可以增添辅助线（虚线），将△ABC的面积转变为大正方形面积的一半，然后解决问题。巧妙的转化，激发了学生的学习热情，让学生感悟到用模型解决复杂问题的价值。

2. 图形的位置

以苏教版的“用数对确定位置”为例，图形的位置，在生活中就是某一事物、建筑物等的位置，它在现实世界有着广泛的应用。比如2008年北京奥运会开幕式上的“活字表演”令人印象深刻，教师可在课上播放相关视频，引导学生思考：猜一猜，张艺谋导演是如何指挥这么多人完成美丽的图案的？这样的问题，极大地激发了学生的兴趣。这是利用信息技术建立起了认知的冲突，学生在思考这一现象的同时，也在初步感知数学模型的存在。

（三）“统计与概率”：明晰意义，透数据思本质

“统计与概率”是小学阶段的重要内容之一，它是学生用数学的眼光观察世界的基础，主要包括“数据分类”“数据的收集、整理与表达”“随机现象发生的可能性”。其中，平均数是统计中一个重要的概念模型，在计算平均数的时候，往往采用“移多补少”的方法。针对这一点，教师可以采取直观的图示化表达，帮助学生进行数据分析。例如：在唱歌比赛中，四位评委打分见表2。

教师用直方图呈现后，让学生在屏幕上拖动，进行“移多补少”的操作。结果如图12所示：

教师引导学生将统计表中的数据和移动完之后的数据进行对比，明确平均数是把原始数据进行“移多补少”处理后的结果，它是一个虚拟存在的数，能够反映这组数据的整体水平。有了这样直观的体悟，学生对平均数背后的统计意义会产生更清晰的认知，强化了平均数的模型意义。

诚然，在计算平均数的时候还存在“先合再分”的方法，只是一般情况下，教师会把它当作计算方法进行讲解。而有了技术的支撑，教师可以将这一过程再现，借助方格理解算式的意义（如图13）。

教师将每一个评委的分数用不同颜色进行区分，把它们先合在一起，然后平均分给4个评委，每个评委得到的分数都不是自己原来的分数，而是平均分出来的结果——7分，它代表的是一组数据的整体水平。信息技术的支持，能够帮助学生深层次地理解平均数这一模型的本质，让学生在观察、操作、比较中感悟“移多补少”和“先合后分”的不同。

（四）“综合与实践”：实践检验，还建模以生活

“综合与实践”要求学生在真实情景中运用数学和其他学科的知识与方法解决真实的问题，是模型思想的集中体现。相较于其他领域的内容，“综合与实践”因其开放性、综合性、自主性、应用性等，要求教师要格外关注学生的主体地位。利用信息技术打造的智慧课堂可以完全适应课程的要求。以苏教版四年级下册的“数字与信息”一课为例，笔者采用“金陵微校”作为搭建智慧课堂的平台。

1. 课前推送，掌握學情

在执教“数字与信息”这节课之间，笔者利用“金陵微校”平台给每一位学生发送了一份学习单，让学生先了解自己和父母的身份证号码、出生年月日，所在地的邮政编码，家庭住址的编号等，收集生活中常见的数字信息。

2. 思维参与，理解编码

课中，笔者和学生一起交流电话号码这样常见的数字号码，然后即时发送火车票、车牌号、邮政编码三张图片，组织学生讨论“你知道这些图片上的数字和符号表示什么意思吗”，引导学生思考数字编码背后的意义。

3. 游戏体验，玩转编码

在探究完身份证号码所代表的信息后，笔者利用“金陵微校”中的软件设计了“配对”游戏：将小明一家五口的身份证全部打乱，然后一键发送给学生，让学生自己在平板上操作。被打乱的编码给学生的认知带来了冲突，由于有了前面正确的认识，学生可以在判断中强化对编码顺序的理解，从而对整个编码系统模型有了一个整体的感知。

4. 现实应用，完善编码

最后，笔者设置了一个现实问题：学校新进了一批图书，这是书单，如果你是图书管理员，你打算怎么利用今天学习的知识对这些图书进行编码？说说你的理由。模型最终还是要回到现实生活中去检验，但是考虑到小学生的生活经验不足，教师就鼓励学生展开思考与设计，并同时将最终的结果和现实的结果进行对比即可。

五、结语与未来展望

建模在小学数学课程中无处不在，几乎每一节课中都存在建模的学习活动。信息技术凭借自己的优势可以优化建模情境、优化建模过程、突破建模难点、优化建模方式、促进建模评价等，而这些都是传统课堂所无法实现的。同时，新课标（2022年版）中也指出“数学建模是一个综合性的过程”，它的学习方式可以从“信息技术环境中的学习”展开探究。丰富的网络资源会让学生产生不同的学习体验。而基于信息技术环境的学习方式则是更加深度的融合，它影响着建模学习的每一步。本文通过小学数学四大板块中信息技术全面参与建模教学的实例分析其价值与策略，具有重要的、一定的普适意义。但针对如何从学生“学”的路径分析建模的过程，笔者后续将继续深入探索。

参考文献：

［１］ 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（２０２２年版）［Ｍ］. 北京：北京师范大学出版社，２０２２.

［２］ 张奠宙. 小学数学研究［Ｍ］. 北京：高等教育出版社，２００９.

［３］ 徐利治. 数学方法论选讲［Ｍ］.武汉：华中理工大学出版社，２００１.

［４］ 张钦.基于建模思想的小学数学教学设计研究［Ｄ］. 淮北师范大学，２０１５.