2023 年高考数学模拟试题

许少华

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.设集合A=｛-1，0，1，2，3｝，集合B=｛x|y=ln（x+1）（2-x）｝，则A∩B=（）

A. ｛-1，1｝B.｛-1，0｝

C. ｛-1，1，2｝D. ｛0，1｝

2.设a，b∈Z，若（a+i）（2-bi）=5，则a+b的值为（ ）

A.3

B. 2

C.4

D. 7

3.对于锐角α，若sin（α-π6）=13，则cos（α-π3）=（）

A.26+16

B.3-28

C.3+28

D.23-16

4.当0

A.4

B.3

C.2

D.83

5.设O是坐标原点，A，B，C是平面上的三个不同的点，且A，B，C共线，若存在不全为零的实数a，b，c使aOA+bOB+cOC=O，则（）

A.a+b+c=0

B.a-b+c=0

C.a+b+c=1

D.a+b+c=-1

6.体积为323的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为（）

A.32π3_

B.16π3

C.8π3

D.4π3

7.过双曲线x2a2-y2b2=1（a<0，b<0）的右焦点F2作斜率为-1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B，C.若F2B=BC，则双曲线的离心率是 （）

A.2

B.3

C.5

D.10

8.已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（4-x）=f（x），且当x∈（-1，3］时，f（x）=x2，x∈（-1，1＼]

1+cosπ2x，x∈（1，3＼]

则函数g（x）=f（x）-|lgx|的零点个数是（）

A.7

B.8

C.9

D.10

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．

9.已知a，b都是实数，那么“a2>b2”的必要条件是（）

A.a>b

B.a>|b|

C.|a|>b

D.a-1>|b|

10.已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a＝2，且（2＋b）（sin A－sin B）＝（c－b）sin C，则△ABC面积不可能为（）

A.2

B.3

C.2

D.5

11.如图，直三棱柱中，D，E分别是AB，BB1的中点AA1=AC=CB=22AB.则下面结论正确的有（）

A.AC1⊥A1B

B.BC1//平面A1CD．

C.二面角D-A1C-E的余弦值为63．

D.DE⊥BC1

12.已知F1，F2为椭圆x2a2+y2b2=1的左、右焦点，B为椭圆的上顶点，ΔBF1F2为正三角形，且P为椭圆上一点，A（0，22），若|PA|-|PF2|的最小值为-1，过点F2垂直于x轴的弦交椭圆于C，D两点，直线l：y=mx+n与圆x2+y2=3相切交椭圆于M，N（与C，D不重合）两点，则下列结论中，正确的是（）

A.椭圆的离心率为12

B.三角形ΔBF1F2的面积为3

C.点E（0，26），点P为椭圆上任意一点，则|PE|-|PF2|的最小值为2.

D.四边形CMDN面积的最大值为332

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13.若（2x-1x）n展开式中含1x2项的系数与含1x4项的系数之比为-5，则n的值为____________ .

14.甲、乙两个同学做游戏，他们都从1～5中任写一个数（两数相同时无效），若两数之和小于6甲赢，大于6乙赢，若他们玩三次都有效，则都是甲赢的概率为____________ ．

15.如图，直线AB交抛物线y2=4x及其准线分别于

A，B，C，若BFBC=55，则弦|AB|=____________.

16.定义在R上的函数f（x）=ax3+bx2+cx（a≠0）的单调增区间为（-1，1），若方程3a（f（x））2+2bf（x）+c=0恰有4个不同的实根，则实数a的值为____________．

四、解答题：本题共6小題，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17.（本小题满分10分）已知函数f（x）=2x+33x，数列{an}满足a1=1，an+1=f（1an）（n∈N*）．

（1）求数列{an}的通项公式．

（2）令bn=1anan+1，Sn=b1+b2+…+bn，若Sn

求最小正整数m．

18.（本小题满分12分）已知a，b，c是ΔABC三内角A，B，C所对的边，若 asin A+ccos B=0，

acos A-csin B=0，

（1）求C的值．

（2）若D为BC边中点，且AD=7，求ΔABC的面积．

19.（本小题满分12分）在四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA＝2AB＝2．

（1）求证：CE∥平面PAB.

（2）若F为PC的中点，求AF与平面AEC所成角的正弦值．

20.（本小题满分12分）已知设备M可在两种电压（220V和380V）下生产某种零件，现有A、B两个工厂，A工厂设备M用220V电压生产一小时得450个零件，B工厂设备M用380V电压生产一小时得550个零件.为了了解两种电压下生产的零件情况，通过分层抽样的方式共抽取n个零件作为样本，测量其尺寸后，按照以下区间分为九组：①［158，160）；②［160，162）；③［162，164）；④［164，166）；⑤［166，168）；⑥［168，170）；⑦［170，172）；⑧［172，174）；⑨［174，176），得到频率分布直方图如下，已知抽取的零件中尺寸小于162的有6个.

2023年全国高考数学模拟试题参考答案

一、选择题

1.D.解析：由（x+1）（2-x）>0-1

于是，A∩B=｛0，1｝．

2.D.解析：由（a+i）（2-bi）=（2a+b）+（2-ab）i=52a+b=5，

2-ab=0.

由于a，b∈Z，得a=2，b=1a+b=3．

3.A.解析：由于α为锐角，且sin（α-π6）=13，得cos（α-π6）=223.

那么cos（α-π3）=cos［（α-π6）-π6］=cos（α-π6）cosπ6+sin（α-π6）sinπ6=26+16．

4.C.解析：由1x2+1（2-x）2≥12（1x+12-x）2≥12·4x（2-x）≥12·4（x+2-x2）2=2，

上述三个不等式中等号均在同一时刻x=2-x即x=1时成立．

5.A.解析：∵A，B，C三点共线，∴存在实数t使AB=tAC，即OB-OA=t（OC-OA），整理得（t-1）OA+OB-tOC=0，此时令a=t-1，b=1，c=-t即可，

显然a+b+c=0．

6.A.解析：设正八面体的边长为a与球半径为R，则a=2R，由于2×13×a2·R=323R=2．

于是V=4π3×23=32π3，选A．

7.D.解析：对于F2（c，0），则直線方程为y=-x+c，直线与两渐近线的交点为B，C，

由y=-x+c，

y=baxx=aca+b，

y=bca+b即B（aca+b，bca+b），因为F2（c，0），

由F2B=BC知B是F2C的中点，于是可得C（c（a-b）a+b，2bca+b）.

由于C点在y=-bax上，得2bca+b=-ba·c（a-b）a+bb=3ae=10．

8.D.解析：由f（x）是定义在R上的偶函数，知x=0是它的

一条对称轴又由f（4-x）=f（x），知x=2是它的一条对称

轴于是函数的周期为4画出f（x）的草图如图，

其中y=|lgx|在（1，+∞）递增且经过（10，1）点函数g（x）的零点，即为y=f（x）与y=|lgx|的交点结合图像可知，它们共有10个交点，选D.

二、多选题

9.BD.解析：选项A既不充分也不必要．

选项B，由a2>b2产生不了a>|b|，但反过来成立．

选项C也是既不充分也不必要．

选项D，由a2>b2产生不了a-1>|b|，但由a-1>|b|a>|b|a2>b2.

10.CD.解析：由正弦定理asin A=bsin B=csin C=2R，a=2.

又（2＋b）（sin A－sin B）＝（c－b）sin C，

可化为（a+b）（a-b）=（c-b）cb2+c2-a2=bc.

于是cos A=b2+c2-a22bc=12∠A=600.

又4=b2+c2-2bccos 600=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc（当且仅当b=c时取等号），即bc≤4，于是SΔABC=12bcsin A=34bc≤34×4=3．

故△ABC面积不可能为CD．

11.AB.解析：对于选项A，由AA1=AC=CB=22AB可得BC⊥AC，于是BC⊥面．

ACC1A1BC⊥AC1，又AC1⊥A1CAC1⊥面A1CBAC1⊥A1B，故A正确．

对于选项B，连结AC1交A1C于点F，则F为AC1中点.又D是AB中点，连结

DF，则BC1∥DF.因为DF平面A1CD，BC1平面A1CD，所以BC1 // 平面A1CD，故B正确．

对于选项C，由AC＝CB＝22AB，得AC⊥BC.以C为坐标原点，CA的方向为x

轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz.设CA＝2，则D（1，1，0），E（0，2，1），A1（2，0，2），CD＝（1，1，0），CE＝（0，2，1），CA1＝（2，0，2）.设

＝（x1，y1，z1）是平面A1CD的法向量，则·CD=0

·CA1=0，即x1+y1=0，

2x1+2z1=0.可取＝（1，-1，-1）．

同理，设是平面A1CE的法向量，则·CE=0

·CA1=0，可取＝（2，1，-2）．

从而cos<，>·||||=33故选项C错误．

对于选项D，由选项C的分析 可知，B（0，2，0），C1（0，0，2），D（1，1，0），E（0，2，1），那么BC1=（0，-2，2），DE=（-1，1，1）BC1·DE≠0，故選项D错误．

12.AB.解析：对于选项A，由题意得|BF1|=|F1F2|a=2c，

又由|PF1|+|PF2|=2a|PF2|=2a-|PF1|

那么|PA|-|PF2|=|PA|-（2a-|PF1|）=|PA|+|PF1|-2a.

由于|PA|+|PF1|的最小值即为|AF1|，也就是c2+（22）2=c2+8.

于是，可得|PA|-|PF2|的最小值为c2+8-2a，即c2+8-2a=-1.

从而得a=2，c=1，于是椭圆的离心率为12．

对于选项B，由于a=2，c=1b=3SΔBF1F2=12×2c×b=3，所以B正确．

对于选项C，由|PF1|+|PF2|=4

那么|PE|-|PF2|=|PE|+|PF1|-4≥|F1E|-4=（-1）2+（26）2-4=1，故C不正确．

对于选项D，由于椭圆的方程为x24+y23=1，由于直线l：y=mx+n与圆x2+y2=1相切，可得|n|1+m2=3n2=3+m2.

设M（x1，y1），N（x2，y2），由已知可得：|CD|=b2a=32．

由x24+y23=1，

y=mx+n（3+4m2）x2+8mnx+4n2-12=0．

得（8mn）2-4（3+4m2）（4n2-12）>0n2<4m2+3m2+3<4m2+3即m≠0且x1+x2=-8mn3+4m2，x1·x2=4n2-123+4m2．

于是，|x2-x1|=（x2+x1）2-4x1·x2=（-8mn3+4m2）2-4×4n2-123+4m2=12|m|3+4m2．

而S四边形CMDN=12|CD|·|x2-x1|=12×32×12|m|3+4m2=93|m|+4|m|≤334．

故D不正确．

三、填空题

13.n=6.解析：由Tr+1=Crn（2x）n-r（-1x）r=Crn·（-1）r·2n-r·xn-2r.

令n-2r=-2，得n=2r-2．

又由Tk+1=Ckn·（-1）k·2n-k·xn-2k，再令n-2k=-4，得n=2k-4.

于是，k-r=1．

又Crn（-1）rnn-rCkn（-1）k2n-k=-5，结合k-r=1，解得r=4，n=6.

14.8125.解析：都有效时，两数和共有10种.小于6的两数和只有4种，因此，甲赢的概率为410，即25，那么，三次甲都赢的概率为C33253350=8125．

15.解析：设直线AB的倾斜角为α，A（x1，y1），B（x2，y2）自B作准线的垂线，垂足为D，则|BD|=|BF|，那么cos α=BDBC=BFBC=55tan α=2．

于是，直线AB的方程为y=2（x-1）．

由y=2（x-1），

y2=4xx2-3x+1=0x1+x2=3．

故|AB|=x1+x2+2=5．

16.a=-12.解析：∵函数f（x）=ax3+bx2+cx（a≠0）的单调增区间为（-1，1），∴-1和1是方程f'（x）=0的根，f'（x）=3ax2+2bx+c，∴-1+1=-2b3a，

-1×1=c3a，b=0，c=-3a．

∴f（x）=ax3-3a，∴3a（f（x））2+2bf（x）+c=0即3a（f（x））2-3a=0，

∴f（x）=±1，∴f（1）=1，

f（-1）=-1，解得a=-12．

四、解答题

17.解析：（1）由题知，an+1=2·1an+33·1an=an+23，

故数列{an}是以1为首项，23为公差的等差数列，

所以an=1+23（n-1）=23n+13．

（2）bn=1anaa+1=1（23n+13）（23n+1）=92（12n+1-12n+3），

所以Sn=92（13-15+15-17+…+12n+1-12n+3）=92（13-12n+3），

所以Sn

又92（13-12n+3）随着n单调递增，且92（13-12n+3）<32，

所以32≤m-20202m≥2023，

故所求m的最小值为2023.

18.解析：（1）由asin A+ccos B=0，

acos A-csin B=0asin A=-ccos B，

acos A=csin B平方相加得a2=c2即三角形为等腰三角形.此时条件可转化为sin A+cos B=0，

cos A-sin B=0再平方相加sin（A-B）=-1．

∵0A+π2>π2，因此B为顶角，于是2A+B=π结合A-B=-π2得A=π6，B=2π3从而C=π6．

（2）由（1）知b=3a=3c．

由AD=12（AB+AC）AD2=14（AB+AC）24×7=c2+b2+2bc·32c=2．

于是，ΔABC的面积为S=12bcsin A=12×23×2×12=3．

19.解析：（1）在Rt△ABC中，AB＝1，∠BAC＝60°，∴BC＝3，AC＝2．

取AD中点M，连EM，CM.则EM∥PA．

∵EM 平面PAB，PA平面PAB，∴EM∥平面PAB.

在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，AC＝AM＝2，

∴∠ACM＝60°.而∠BAC＝60°，∴MC∥AB．

∵MC 平面PAB，AB平面PAB，∴MC∥平面PAB.

∵EM∩MC＝M，∴平面EMC∥平面PAB．

∵EC平面EMC，∴EC∥平面PAB．

（2）以A為原点，∠BAC的平分线为x轴，AD为y轴，

AP为z轴，建立直角坐标系，则P（0，0，2） ．

由（1）知AC＝2且∠BAC＝60°，得C（3，1，0）.

于是得F（32，12，1），所以AF=（32，12，1）．

又∠ACD＝90°，∠CAD＝60°，且AC＝2，得AD=4.

可得D（0，4，0），从而E（0，2，1），得AC=（3，1，0），AE=（0，2，1），设平面ACE的法向量为=（x，y，z），则AC·=0，

AE·=3x+y=0，

2y+z=0，取x=33，y=-1，z=2，得=（33，-1，2）．

再设AF与平面AEC所成的角为θ，

则sin θ=|cos=32×33-1×12+1×2（32）2+（12）2+12·（33）2+（-1）2+22=64，

故AF与平面AEC所成角的正弦值为64．

20.解析：（1）n=6（0.01+0.02）（160-158）=100.

优等品的个数为：（0.04+0.3+0.06）×2×100=80.

于是2×2列联表如下：

优等品非优等品总计

A301545

B50555

总计8020100

K2=100（30×5-50×15）80×20×45×55=9.9091>7.879．

所以，我们有99.5%的把握认为电压与产品的优等品率有关.

（2）抽到非优等品率为5055=1011，则Y～B（5，1011），从而E（Y）=5×1011=5011.

（3）Z的可取值分别为0，1，2．

那么P（Z=0）=C015C230C245=2966，P（Z=1）=C115C130C245=3066，P（Z=2）=C215C030C245=766．

非优等品个数Z的分布列如下：

Z012

P29663066766

所以E（Z）=0×2966+1×3066+2×766=23．

21.解析：（1）由线段QN的中垂线交MQ于点P，得|PN|=|PQ|．

那么|PM|+|PN|=|PM|+|PQ|=8>|MN| ．

所以动点P的轨迹是以N、Q为焦点，以8为长轴长的椭圆．

即2c=2，2a=8c=1，a=4，得b2=16-1=15，故P的轨迹方程为x216+y215=1．

设M（x，y），A（x-m，y-n），B（x+m，y+n），易知的斜率必存在，又A，B都在轨迹E上．

则15（x-m）2+16（y-n）2=15×16，

15（x+m）2+16（y+n）2=15×16，

kAB·kPM=-115mx+16ny=0，

nm=-x-2y-215x16y=x-2y-2．

即xy+30x-32y=0为所求轨迹方程．

（2）假设直线l存在．

（i）若直线l⊥x轴，由于原点到直线l的距离为1，则直线l的方程为x=±1．

由x=1，

x216+y215=1x=1，

y=±154，易知，此時直线l不满足以l截轨迹E所得的弦为直径的圆恰好过原点．

（ii）若直线l不垂直于x轴，设直线l的方程为y=kx+b，与轨迹E的交点分别为C（x1，y1），D（x2，y2）．

由于原点到直线l的距离为2，得|b|1+k2=1即k2+1=b2…………①

又由y=kx+b，

x216+y215=1（15+16k2）x2+32kbx+16（b2-15）=0．

由于以l截轨迹E所得的弦为直径的圆恰好过原点，于是OC⊥OD即y1x1·y2x2=-1．

（1+k2）x1x2+kb（x1+x2）+b2=0（1+k2）·16（b2-15）15+16k2+kb·-32kb15+16k2+b2=0.

31b2-16×15k2=16×15……………………②

联立①②无解，此时，直线l不存在．

由（i）（ii）知满足条件的直线l不存在．

22.解析：（1）f′（x）=f′（1）e2x-2+2x-2f（0），

所以f′（1）=f′（1）+2-2f（0），即f（0）=1.又f（0）=f′（1）2·e-2，

所以f′（1）=2e2，所以f（x）=e2x+x2-2x.

∴g（x）=f（x2）-14x2+（1-a）x+a=ex+14x2-x-14x2+（1-a）x+a=ex-a（x-1） ∴g′（x）=ex-a．

①当a≤0时，g′（x）>0，函数g（x）在R上单调递增.

②当a＞0时，由g′（x）=ex-a=0得x=lna，

∴x∈（-∞，lna）时，g′（x）<0，g（x）单调递减.x∈（lna，+∞）时，

g′（x）>0，g（x）单调递增.

综上，当a≤0时，函数g（x）的单调递增区间为（-∞，+∞）.当a＞0时，

函数g（x）的单调递增区间为（lna，+∞），单调递减区间为（-∞，lna）.

（2）由于eln［g（x）+a（x-1）］=ex，而f（x-12）+（x-1）（5-x）4+a=ex-1+a.

设p（x）=ex-lnx，q（x）=ex-1+a-lnx，

∵p′（x）=-ex2-1x<0，∴p（x）在x∈［1，+∞）上为减函数，又p（e）=0，

∴当1≤x≤e时，p（x）≥0，当x>e时，p（x）<0．

∵q′（x）=ex-1-1x，令r（x）=ex-1-1xr′（x）=ex-1+1x2>0，

∴q′（x）在x∈［1，+∞）上为增函数，又q′（1）=0，

∴x∈［1，+∞）时，q′（x）≥0，∴q（x）在x∈［1，+∞）上为增函数，

∴q（x）≥q（1）=a+2>0．

①当1≤x≤e时，|p（x）|-|q（x）|=p（x）-q（x）=ex-ex-1-a.

设m（x）=ex-ex-1-a，则m′（x）=-ex2-ex-1<0，

∴m（x）在x∈［1，+∞）上为减函数，∴m（x）≤m（1）=e-1-a，

∵a≥2，∴m（x）<0，∴|p（x）|<|q（x）|，

∴eln［g（x）+a（x-1）］比f（x-12）+（x-1）（5-x）4+a更靠近lnx．

②当x>e时，|p（x）|-|q（x）|=-p（x）-q（x）=-ex+2lnx-ex-1-a<2lnx-ex-1-a，

设n（x）=2lnx-ex-1-a，则n′（x）=2x-ex-1，n′′（x）=-2x2-ex-1<0，

∴n′（x）在x>e时为减函数，∴n′（x）

∴n（x）在x>e时为减函数，∴n（x）

∴|p（x）|<|q（x）|，∴ex比ex-1+a更靠近lnx．

综上：在a≥2，x≥1时，eln［g（x）+a（x-1）］比f（x-12）+（x-1）（5-x）4+a更靠近lnx．

责任编辑徐国坚

（1）求n的值，如果把尺寸在［164，170）内作为优等品的标准，对抽取的n个零件，完成2×2列联表.据此资料，你是否认为有99.5%把握认为电压与零件优等品率有关？

（2）从B厂设备M的生产流水线上随意抽取5个零件，把抽样的频率看作概率，试计算其中优等品个数Y的数学期望E（Y）．

（3）从A厂抽取的样本中随意抽取2个零件，计算其中非优等品个数Z的分布列和数学期望E（Z）.

P（k≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

参考公式及临界值表：

K2=n（ad-bc）（a+b）（c+d）（a+c）（b+d），n=a+b+c+d．

21.（本小题满分12分）已知点Q是圆M：（x+1）2+y2=64上动点（圆心为M），点N（1，0），若线段QN的中垂线交MQ于点P．

（1）以P（2，2）为圆心的圆与轨迹E交于两点，求AB的中点M的轨迹方程．

（2）是否存在直线l？使原点到直线l的距离为1且以l截轨迹E所得的弦为直径的圆恰好过原点，若存在，求直线l的方程.不存在，请说明理由．

22.（本小题满分12分）定义在R上的函数f（x）满足f（x）=f′（1）2·e2x-2+x2-2f（0）x，g（x）=f（x2）-14x2+（1-a）x+a.

（1）求函数g（x）的单调区间．

（2）如果s，t，r满足|s-r|≤|t-r|，那么称s比t更靠近r.当a≥2且x≥1时，试比较eln［g（x）+a（x-1）］和f（x-12）+（x-1）（5-x）4+a哪个更靠近lnx，并说明理由.