有限倾角电机新型复合磁极阵列拓扑设计与解析建模

王天乙,黄 建,闫 昕,王 贯,宋志翌

（1.北京自动化控制设备研究所,北京 100074;2.北京机电工程总体设计部,北京 100039）

0 引言

惯性导航系统与作动系统是飞行器实现精准飞行姿态控制的核心传感与伺服作动单元,其性能直接决定了飞行器综合效能[1]。在惯性系统与伺服系统中,普遍应用了高精度力矩电机作为核心执行器件,特别是在极端空间约束条件下,采用有限倾角电机进行高精度位置伺服控制是目前研究的热点方向[2]。随着飞行器综合性能的不断提升,电机性能中的转矩密度、动态特性成为决定系统综合性能的关键性能指标,其核心在于优化电机内部磁路走势,实现高磁密、低惯量转子系统兼容性设计。

磁铁在电机中扮演了重要的角色,是产生空载磁场的重要元件。如何进行多个充磁方向不同磁铁的有序排列使输出性能最好,是磁极阵列设计的主要目标。轴向充磁阵列是最简单的磁极阵列之一,是通过多个轴向充磁磁铁正反交替沿轴向排列而成。每两块磁铁之间夹有导磁体,起到固定磁铁和增强磁密的作用。英国谢菲尔德大学的Wang 等[3-4]对该构型的磁极阵列进行了深入分析,但仍存在固有的齿槽力大、漏磁严重等问题。径向充磁磁极阵列同样是一种广泛使用的磁极阵列,由于该阵列直接提供径向磁场,具有磁路简单、边缘漏磁少等优点。但由于理想的径向充磁很难实现,且充磁价格较贵,通常以瓦片状平行充磁磁铁来代替。Kim 等[5]和Yan 等[6]基于该径向阵列开发了系列化伺服电机,但由于该阵列对背铁的极度依赖,转子难以实现轻量化设计。为了进一步提高气隙磁密、减小背铁厚度,哈尔巴赫磁极阵列越来越多地应用在电机中。其结构是径向、轴向磁铁沿轴向交替排列,产生单侧增强、另一侧减弱的磁场效果,有利于提高线圈侧径向磁场、减弱背铁侧磁场,从而减轻背铁质量,代表性的如英国谢菲尔德大学研制的哈尔巴赫电机、Liang 开发的多级哈尔巴赫电机、Yan 设计的双层哈尔巴赫音圈电机等[7-9]。但由于理想的哈尔巴赫充磁方式难以实现,通常采用近似哈尔巴赫阵列进行替代,导致背铁侧磁场没有彻底削弱,仍需要适当厚度的背铁进行磁路引导,转子轻量化设计仍有进一步优化的空间。

有限元法的基本思想是：假定接触状态，求出接触力，检验接触条件，若与假定的接触状态不符，则重新假定接触状态，直至迭代计算得到的接触状态与假定状态一致为止。具体做法是：

针对转子系统高转矩密度、低惯量性能需求,本文提出了一种新型复合磁极阵列转子构型,通过采用哈尔巴赫阵列与轴向阵列复合拓扑结构提升输出侧聚磁效果、增强非输出侧屏蔽效应,以期平衡转矩密度提升与轻量化转子的设计矛盾。此外,针对该新构型开展复杂边界条件下高精度解析建模研究,以期形成复合磁极通用化建模方法,为开展精细化电磁优化与迭代设计提供高效的理论工具。

1 复合磁极阵列构型设计

永磁电机转子一般采用永磁体和导磁体相组合的形式进行设计,通过二者构型排布与磁场作用产生空载磁场,进而与通电绕组产生电磁作用力,驱动电机产生旋转运动,其构型排布直接决定了永磁电机的转矩输出能力与动态特性。传统的排布构型主要包括径向交替、轴向交替、哈尔巴赫三类,如图1所示。图1（a）、图1（b）所示为径向、轴向交替阵列,其结构特点为永磁体充磁方向沿径向或轴向,且相邻磁铁充磁方向相反。这两类磁极阵列往往需要较厚的导磁体来引导磁路减少漏磁,因此整个转子质量较大。图1（c）所示为哈尔巴赫阵列,其采用径向、轴向磁铁按一定顺序交替排列的方式组合而成,具有单侧磁场增强、另一侧磁场削弱的特殊效应,因此在磁场削弱侧导磁体厚度可以减小,从而降低了转子质量。但由于哈尔巴赫阵列的自屏蔽效应无法完全实现削弱侧磁场的抵消,因此导磁体是不可以完全去掉的,否则仍会有磁漏产生,影响电机的输出转矩密度。因此,转子磁路构型面临着转矩密度与转子质量的设计矛盾,即如何在保证输出力的同时降低动子质量是亟需解决的重点问题。

图1 传统转子磁极阵列排布方式Fig.1 Layouts of conventional rotor magnet array

针对这一特殊需求,本文提出了一种新型复合哈尔巴赫阵列的磁路构型,在保证输出转矩的同时通过完全去除导磁体层来降低转子质量,从而提高电机的动态特性。该磁极构型如图2所示,分为内外两层: 外层为传统的哈尔巴赫阵列,内层为轴向交替阵列,且在相邻的轴向永磁体之间布置有导磁块用来引导磁路。在轴向位置的对应关系上,外层哈尔巴赫阵列的径向磁铁与内层轴向阵列的导磁体相对,外层哈尔巴赫阵列的轴向磁铁与内层轴向阵列的轴向磁铁相对。从该结构图中可以看出,磁路中不存在任何的背铁层,完全由永磁体和导磁块构成,实现了转子质量的轻量化设计。

图2 新型复合磁极阵列Fig.2 Diagram of novel compound magnet array

从该阵列的磁感线走势可以分析得到,由于阵列内部形成了完整的闭合磁路,对外漏磁较少、自屏蔽效果更强,因此具备转矩密度与转子轻量化兼容性设计的条件。以外层哈尔巴赫阵列一个径向朝外充磁磁铁作为起始点,磁感线由磁铁出发经过空气进入相邻的径向朝内充磁磁铁,随后进入导磁体并分成两路,分别经过导磁体两侧的轴向磁铁,最终回到外层径向磁铁的内侧,形成完整闭合回路,如图3所示。

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图3 复合磁极阵列磁感线走势Fig.3 Trend of flux lines for compound magnet array

结合定转子电磁作用关系,可以得到应用复合磁极阵列的有限倾角电机工作原理,如图4所示。由于定子绕组单相供电,相邻槽内绕组通电方向相反,在定子齿内产生电枢磁通。该磁通与转子永磁体产生的磁通相互作用,根据磁阻最小原理驱动转子沿磁阻变小的方向运动,从而产生了输出转矩。图4（a）所示为转子在中位时正向通电产生的输出转矩情况,当通电方向变化后,电枢磁通方向相应改变,依照图4（b） 所示新的磁路产生相反方向的转矩。

图4 定转子电磁作用工作原理Fig.4 Diagram of electromagnetic torque generation and working principle

2 复合磁极阵列解析建模

磁场是分析电机电磁特性的基本要素,是推导电机输出特性以及结构优化的理论基础。磁场解析模型是描述电机内部磁场分布的理论模型,建立精确的解析模型对于分析内部磁场分布规律、参数影响分析以及基于模型的电磁结构优化具有重要意义。本节针对新型复合磁极阵列构型进行磁场解析模型建模工作,利用谐波函数法对转子磁场分布开展详细推导,重点解决复合多层次边界问题,得到完整电机内部磁场的解析规律描述。

2.1 条件假设与求解区域划分

首先,如图5所示,为方便求解需对模型做出如下假设:

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图5 理想化求解模型Fig.5 Idealization assumptions of solving model

1）忽略定子绕组电枢磁场的影响,只关注转子永磁体磁场的变化趋势;

2）电机磁路关于z轴对称;

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3）不考虑定转子中导磁材料的饱和效应;

4）磁路单元看做无穷个单元轴向串联,相邻单元间隔足够大,有助于进行傅里叶展开。

又由于任意向量旋度的散度恒为零,可将磁通密度表示为磁矢量势的旋度,这样式（2）中第一条便自然满足,可进一步表示为

式（1） 中,为磁通密度,为磁场强度,为永磁体剩磁密度,为永磁体磁化强度。求解区域划分如图6所示。

图6 复合磁极阵列求解区域划分Fig.6 Solving region divisions of compound magnet array

2.2 控制方程建立

首先对空载磁场模型进行验证,取三个极为例,在有限元软件Maxwell Ansoft 中建立二维模型,如图10所示。图10（a） 为建模及材料分配情况,图10（b）为磁力线走势,从中可以看出磁力线基本在磁极阵列内部形成闭合回路,验证了磁极阵列设计思路的正确性。

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这样,根据磁导率不同,将电机内部磁场求解区域划分为两类: 一类为永磁体区域,另一类为绕组及空气区域。在不同的求解区域中,磁通密度表达式可以表示为

又由于任意函数梯度的旋度恒为零,可以为增加一个自由度,即

根据前述假设,由于磁场关于z轴对称,所以Br、Bz都应与θ无关,且Bθ=0。因此,式（13）中和项系数均为零,整个式子只保留了项,即式（13）简化为

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因此,引入磁矢量势后,只要求得的解析表达,磁通密度的解析式也唯一确定。将式（1）代入式（6）中的第二条,消去磁通密度,可以得到只关于磁矢量势的表达,根据求解区域不同表达为

进一步结合麦克斯韦方程的微分表达,得到了求解区域的磁矢量势最终解析表达式,称为控制方程。其中,绕组及空气区域的公式叫做拉普拉斯方程,永磁体区域的公式叫做泊松方程。这样,通过求解两个区域的控制方程就可以得到各区域内磁矢量势的解析表达,从而为推导磁通密度的解析表达提供了基础。

2.3 控制方程求解

根据求解模型关于z轴对称的假设,将磁矢量势在圆柱坐标系内展开,得到

此时,将式（3）～式（5）代入式（2）中,得到了关于磁通密度的完整描述为

代入式（8）,得到左半部分表达为

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将式（10）中各项分量拉普拉斯算子展开化简,得到

同时,令磁通密度=[BrBθBz],则根据旋度计算公式得到

此时代入到式（3）中,可以得到对应磁通密度的一组磁矢量势。为了进一步确定矢量势,需根据库伦规范给定矢量势的散度,满足

对比各项内容,并令Δ×=[NrNθNz],可以得到

由此,得到了控制方程的新表达形式

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至此,控制方程可写为只关于磁矢量势分量的显式表达方程组,结合永磁体阵列的磁化强度分量即可求出磁矢量势的解析解,进而可得到磁通密度的解析表达为

在实际求解过程中,由于永磁体层为复合结构包含双层磁极且内层磁极还由导磁体间隔开来,不仅给磁化强度表达带来了困难,其复杂的不连续边界条件也对求解提出了挑战。对此,本文提出了一种引入虚拟层求解新思路,通过在内外两层磁铁之间人为加入一个虚拟的空气层,将两层磁铁分割开来分别求解,简化了磁化强度表达与边界条件,极大地方便了求解过程。求解结束后,再令该虚拟层厚度趋近于零即可得到复合磁极阵列的精确磁场分布。

针对上节所给出的磁极阵列解析模型,本节将应用有限元工具进行仿真模型的验证,并对解析模型求解精度影响因素进行分析。

图7 求解区域的重新分配Fig.7 Reassignment of solving regions

2.4 复合阵列内外层磁化强度展开

取新型复合哈尔巴赫阵列的一个极对单元为例,轴向方向为z轴,中间轴向磁铁对称轴为r轴,并假设该单元沿轴向无限延伸拥有无穷多个周期,进行永磁体磁化强度的求解。根据图8,永磁体区域①为传统的哈尔巴赫阵列,其径向和轴向磁化强度分布如图8（b）所示;根据图9,永磁体区域②为传统的轴向交替阵列,由于没有径向磁铁故径向磁化强度为零,轴向磁化强度如图9（b）所示。

图8 外层磁铁磁化强度分布Fig.8 Magnetization distribution of outer magnet

图9 内层磁铁磁化强度分布Fig.9 Magnetization distribution of inner magnet

分别对图8、图9中磁化强度分量进行傅里叶级数展开,代入如下的控制方程

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式（20）中,an、bn为待求系数,I1、K1分别为第一类和第二类修正贝塞尔函数,L1为修正斯特鲁夫函数。

2.5 边界条件应用

根据图7（b）中的虚拟层求解区域划分,得到各区域内边界条件表达为

代入控制方程,即可求解得到转子永磁体产生的磁场在空间内部分布情况。

3 有限元仿真验证

由此方法,新磁极阵列的实际求解区域如图7所示,共包括五个求解区域,即: 空气①、永磁体①、空气②、永磁体②和空气③。其中,永磁体②区域不连续,被导磁体分割开来,需进行边界条件离散处理,可写出五个区域的控制方程如下

3.1 有限元模型建立

求解各个区域的磁场分布实际上就是求解磁通密度在各个空间位置的解析解。为了方便求解,这里引入磁矢量势来辅助求解。由于磁场是有源有势场,所以满足

图10 有限元模型建立Fig.10 Establishment of FEM

3.2 傅里叶级数对解析模型精度的影响

如上节磁场解析模型推导所示,磁场分量的解析表达为多个傅里叶级数的相加,随着级数的增加求解精度随之提升,但所需计算时间以及因求解矩阵病态所带来的发散问题也愈发明显,因此需要探讨如何在保证工程求解精度基础上选取合适求解级数。

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解析模型中共有n和j两个级数需要确定,当二者由小至大变化时,径向和轴向磁通密度分布情况如图11所示。

图11 求解级数对精度的影响Fig.11 Solving series effects on definition

在级数增加到6 的过程中,磁场分布结果逐渐反映出磁极结构特征,相应求解时间也增大。当级数大于7 之后,求解矩阵由于病态严重极易出现发散的情况,已不适用于解析求解。

因此,在解析模型实际使用过程中,应结合需求建模精度合理选取求解级数,在保证模型求解时间、求解精度满足需求的条件下,优先选择较低级数的求解方案。

3.3 解析模型与有限元模型精度对比

为了验证所提建模方法的有效性与求解精度,将解析计算结果与有限元仿真结果进行对比,取气隙中磁密为求解目标,分别在高精度模型与有限元软件中进行求解。

磁铁中段位置在有限元模型中的示意如图12（a） 所示,与解析模型对比如图12（b） 所示。从中可以看出,解析模型与有限元模型的气隙磁通密度结果吻合度很高,误差小于5%,验证了解析模型的正确性。

图12 中段模型精度对比Fig.12 Comparison of mid-segment definition

对于磁铁边缘处,由于边缘效应的存在,磁通密度形式与中间段存在差别。通过上节所述调整单元间隔的方法得到边缘处解析模型,并与有限元结果进行对比验证,如图13所示。从中可以看出,解析解与有限元解基本吻合。

图13 边缘模型精度对比Fig.13 Comparison of edge-segment definition

4 试验验证

为验证所提复合磁极阵列高精度建模方法的准确性和有效性,采用试验方式进行验证。加工制造由复合磁极阵列单元组成的永磁体组合体,利用磁场测量设备对永磁体表面的磁密分布进行测量,并将实测结果与相应位置的建模计算结果进行对比,验证方法的有效性。

在试验中,采用磁场高斯计与高斯探头对典型磁极阵列外侧磁场变化规律进行记录,以1mm 为记录步长,记录信息分为径向磁密与轴向磁密两部分。

优化目标是将性能成本函数Lp最小化,Lp与液压系统的能耗有关,而机械臂末端执行器主要是跟踪一个与时间有关的平面路径r(t),可表示为

同时,利用所提解析模型对相应位置径向、轴向磁密进行求解,并与实测结果对比,如图14所示。从中可以看出,试验结果与仿真结果趋势一致,仅在磁密跳变处吻合特性略有下降,精度满足95%以上要求,可以满足工程实际应用需求。

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图14 实测结果与仿真对比Fig.14 Comparison between test and simulation

5 结论

针对有限倾角电机轻质化转子、高转矩密度输出特性需求,本文提出了新型复合磁极阵列转子构型,将传统单层磁极拓展为双层结构,利用其更好的自屏蔽与聚磁效果实现转矩密度与动态特性的兼容性设计。在此基础上,提出了针对双层阵列的高精度解析建模方法,巧妙利用虚拟层解决双层磁极复杂边界条件问题。通过仿真与试验验证,提出的解析建模方法精度优于95%,满足工程实用需求,为基于该特征的电机系统优化设计提供了理论工具。