基于鸟群搜索行为和余弦变异的改进白鲨优化算法

张超，杨 忆

（1.宿州职业技术学院计算机信息系,安徽 宿州 234000；2.淮北师范大学计算机科学与技术学院,安徽 淮北 235000）

优化是为一组决策变量寻找最佳组合以解决特定问题的过程[1]。现实世界很多复杂的科学和工程问题本质上是困难的优化问题。他们的目标函数大多是不可微、不连续、非线性和非凸的，涉及许多决策变量并受到各种约束的束缚。基于梯度的传统优化技术，如牛顿法、序列二次规划法等很难为其找到高质量的解[2]。元启发式算法不依赖于问题的梯度信息，其一般优化框架是从一组随机解开始，由多个智能体按照特定元启发式算子协同求解问题[3]。元启发式算法已经成为求解现实世界复杂优化问题的流行方法。

目前，元启发式算法中遗传算法[4]（genetic algorithm，GA）、粒子群优化（particle swarm optimizer，PSO）算法[5]、蚁群优化（ant colony optimization，ACO）算法[6]等经典算法被广泛利用。近几年，一些新的元启发式算法涌现出来，如正弦余弦算法（sine cosine algorithm，SCA）[7]、冠状病毒群体免疫优化（coronavirus herd immunity optimizer，CHIO）算法[8]、鲸鱼优化算法[9]（whale optimization algorithm，WOA）、蜜獾算法[10]（honey badger algorithm，HBA）、野马优化（wild horse optimizer，WHO）算法[11]等。这些算法帮助解决了图像处理[12]、无线传感器网络优化[13]、路径规划[14]、流水车间调度[15]等现实生活领域的诸多问题。

由于元启发式算法的随机性和搜索空间的未知性，这类算法存在缺陷：1）在搜索中无法精确控制种群的多样性；2）算法易早熟收敛，陷入局部极值；3）无法适应于求解所有现实问题。这些缺陷成为新算法提出和对现有算法改进研究的天然动机。克服了缺陷的算法可提高解决现实生活中特定问题的效率。

白鲨优化（white shake optimizer，WSO）算法是Braik 等[1]在2022 年提出的一种新型的元启发式算法，其灵感源自白鲨在深海中利用自己非凡的嗅觉、听觉和视觉系统进行捕猎的行为。他们通过对白鲨捕猎时几个典型行为的数学建模，仿生设计了WSO 算法。然而，与大多数基于种群的算法一样，WSO 算法在处理高维优化问题时亦存在容易早熟收敛、收敛精度低等问题。

为提高WSO 算法在处理高维优化问题的收敛精度，本文提出一种改进的白鲨优化（improved white shake optimizer，IWSO）算法。IWSO 算法使用3 种改进策略：1）引入Sinusoidal 混沌映射（Sinusoidal map）初始化策略，以提高初始解的多样性，使其尽可能地覆盖更多的潜在解空间，从而提高算法收敛速度；2）引入鸟群搜索行为，对白鲨个体的速度更新公式进行改进，赋予白鲨游动速度自适应动态惯性权重，以提高算法的收敛速度；3）在WSO 开发阶段，引入精英白鲨余弦变异策略，以加快算法向最优解进化，以提高收敛精度。为了验证IWSO 算法的性能，本文选取23 个著名基准函数和8 个CEC2014 测试函数做对比分析实验。其结果表明，IWSO 算法优于对比算法，具有良好的寻优性能。

1 白鲨优化（WSO）算法

大白鲨拥有非凡的视觉、嗅觉、听觉和敏感的电磁场感受力，能很好地感知来自环境的各种复杂信息[1]，如图1 所示。图1 展示了白鲨各感官系统在搜寻猎物时能够侦察的范围。白鲨利用它们追踪和狩猎。白鲨优化算法主要是以白鲨的3 种典型行为进行数学建模仿生设计的。

图1 白鲨及其感官系统[1]Fig.1 White shark and its sensory system[1]

1.1 朝向猎物移动的速度

大白鲨利用听觉、视觉和嗅觉等非凡感官跟踪猎物。大白鲨根据它在猎物移动时听到的波浪声音感知到猎物位置后，以波浪式向猎物游动，游动速度使用式（1）模拟计算。

式（2）—（5）中：n代表白鲨种群规模；rand(1,n)表示在[0,1]范围内，产生n个服从均匀分布的随机数；k和K分别表示当前和最大迭代次数；pmin和pmax表示白鲨实现良好运动的最小和最大速度，一般取值为0.5 和1.5；τ表示加速度系数，一般取值为4.125。

1.2 朝向最优猎物移动

当白鲨听到猎物移动引起的波浪声或闻到猎物的气味时，会向其移动。某些情况下，当白鲨到达猎物原始位置时，猎物已经离开，这时白鲨会进行搜索：1）根据猎物的气味在当前区域进行局部探索；2）根据猎物制造的波浪声进行全局搜索。这2 种搜索行为使用式（6）模拟计算。

式中sgn 是符号运算符。

式中 ⊕为异或运算。式（7）—（9）主要功能是将搜索空间上下边界值赋予中溢出上下边界的维度。

式中fmin和fmax分别表示波浪式运动的最小和最大频率，一般取值为0.07 和0.75。

式中a0和a1是2 个正常数，用于管理探索和开发行为，一般取值为6.25 和100。

1.3 白鲨的集群行为

白鲨是一种高度社会化的动物。它们喜欢集群捕猎，捕猎时会保持高度合作，朝着最靠近猎物的白鲨移动。WSO 算法使用式（12）模拟群体朝着最佳白鲨移动行为。

式中：a2是一个正常数，控制开发和探索之间的平衡，一般取值为0.000 5。

WSO 算法使用式（15）模拟白鲨集群行为，白鲨个体根据到达最佳位置的白鲨的位置更新自己的位置，该位置非常接近猎物。

2 改进的白鲨优化（IWSO）算法

WSO 算法在低维函数上具有良好的寻优性能，但在高维函数上收敛精度较低，特别在问题维度大于100 维以上时，算法易陷入局部极值，早熟收敛。为此，本文使用3 种策略进行改进，以提高WSO 算法处理高维优化问题的能力。

2.1 Sinusoidal 混沌映射初始化策略

由于初始解会对元启发式算法的最终寻优结果产生较大影响。WSO 算法的初始种群采用随机化方式生成，易导致初始解在搜索域内分布不均，缺乏多样性。为此，引入Sinusoidal 混沌映射初始化种群，利用混沌系统的非线性、随机性和遍历性特点，提高初始种群的多样性和在解空间的分布性，从而提高算法的寻优性能。Sinusoidal 混沌映射的数学表达式为

其中，x∈[0,1]，本文a=2.3，x0=0.7。其300 次迭代映射产生的混沌序列值分布如图2 所示。由图2可见，混沌值在[0,1]之间分布均匀，使用其取代WSO 算法的伪随机初始值，能够有效提高初始种群的分布性。

图2 Sinusoidal 混沌映射分布图Fig.2 Distribution diagram of Sinusoidal chaos map

2.2 鸟群搜索行为的速度更新策略

白鲨向猎物游动的速度使用式（1）计算，其对WSO 算法至关重要。在WSO 算法全局搜索阶段主要依赖速度进行位置更新计算。但式（1）使用收缩因子μ对速度更新规则进行整体缩放。μ的值取决于式（5）中加速度系数τ，根据文献[1]的大量数值实验后推荐的τ取值，μ实际值为0.703 46，是一个常数。对速度恒定的缩放，易使白鲨种群失去活性，导致算法在全局搜索时陷入极值，收敛停滞。

为了改进WSO 算法，本文首先删除式（1）中μ缩放因子，并受粒子群优化算法鸟群觅食行为启发，将鸟群飞行速度的惯性权重思想引入式（1）中。改进后的速度更新策略使用式（17）计算。

式中：g是惯性权重参数，由式（18）计算；其他参数及取值和式（1）保持一致。

其中，gmax和gmin是惯性权重上下界，本文中gmax=0.9，gmin=0.2。随着迭代进程，g动态递减。在迭代前期g取较大值，有利于白鲨种群在尽可能大的空间进行全局搜索，找到更多的潜在最优解。在迭代过程中逐渐变小的g，可使得白鲨种群具备精细的局部开发能力，有利于在已找到的潜在最佳解中勘探到更好的最优解。

2.3 精英白鲨余弦变异策略

每代最优白鲨是种群中的精英，离猎物最近，在它的附近邻域小空间内进行精细化开发，能够极大提升找到最佳解的概率，提高收敛精度。为此，本文在WSO 算法开发阶段，引入精英白鲨余弦变异策略，利用余弦函数周期性振荡特征，驱动算法在精英白鲨附近的小邻域内进行勘探。随着算法的运行，精英白鲨更接近于猎物，开发的邻域范围应逐渐收缩，因此，在本文中为余弦函数设计自适应动态递减的振幅。该过程使用式（19）模拟计算。

式中：B是cos(α)的振幅，由式（20）计算；α∈[0,2π]，是随机数。em 为余弦变异控制参数，一般取0.2。rand 小于0.2 时进行精英白鲨余弦变异，反之，仍使用WSO 算法原开发策略。

其中，γ为形状控制系数，B的值随迭代次数非线性递减。图3 是不同γ值的B×cos(α)形状对比图，本文γ=100。从图3 可见，在迭代开始，IWSO 算法在精英白鲨稍大邻域内进行搜索，随着迭代进行，在精英白鲨微小邻域内进行开发，以此提高算法收敛速度和精度。

图3 不同γ 值的B×cos(α)形状对比图Fig.3 Shape comparison of B×cos(α) for different values of γ

2.4 IWSO 算法

综上，在Sinusoidal 混沌映射、动态惯性权重的鸟群搜索行为和精英白鲨余弦变异策略的有效集成，成为IWSO 算法。图4 示出改进后的白鲨优化算法的伪代码。

图4 IWSO 算法的伪代码Fig.4 Pseudo-code of IWSO algorithm

3 仿真实验

3.1 实验设计

为充分验证IWSO 算法的寻优性能，仿真实验在2 类领域内普遍接受并能够客观评估元启发式算法性能的函数上进行。一是著名的23 个基准函数，函数详情可参阅文献[8-10]。二是CEC2014中8 个复合函数，函数详情可参阅文献[16]。算法评价指标为寻优结果的最好值、最差值、平均值和标准差。

本文选择近年新兴的5 种算法做对比实验。5种算法分别是：SCA[7]、CHIO算法[8]、WOA[9]、HBA[10]和WHO 算法[11]。为保障算法比较的公平性，所有算法的种群规模设为30，最大迭代次数设为500。IWSO 算法参数使用第2 章已给出的值。对比算法的参数均使用对应文献推荐的设置，以保障其寻优性能最佳。

3.2 在23 个函数上的实验结果和分析

23 个函数分类情况如下：单峰函数，f1～f7；多峰函数，f8～f13；固定维度多峰函数，f14～f23。将f1～f13函数的维度设为30。

3.2.1 单峰函数实验结果

表1 为算法的对比实验结果。由表1 可知，IWSO 算法在f1～f4上每次皆能找到理论最优值，而相应的对比算法均不能。f5被称为“香蕉”函数，一般的元启发式算法在其上表现较差，而IWSO 算法最优值可达1.555 3×10-3级别，平均值亦优于对比算法，表现出优越寻优性能。在f6上：IWSO 算法优于WSO 算法、CHIO 算法、WOA 和SCA；最好值不如HBA 和WHO 算法，但最差值、平均值和标准差均优于它们。在f7上，IWSO 算法在4 个评价指标上亦均优于其他算法。因此，IWSO 算法在单峰函数上的寻优能力整体优于所有对比算法。

表1 单峰函数上的对比实验结果Tab.1 Comparative experimental results on unimodal functions

3.2.2 多峰函数实验结果

表2 为算法在多峰函数上的对比实验结果。由表2 可知，在f8上，IWSO 算法能收敛到理论最优值，其他对比算法均不能，且IWSO 算法的均值和最差值好于所有对比算法。在f9和f11上，IWSO 算法和HBA 每次均能找到理论最优值，整体略优于WHO 算法，大幅优于WSO 算法、CHIO 算法、WOA、SCA。在f10上：IWSO 算法、WOA、HBA 和WHO 算法最好值一样，但从最差值、均值和标准差指标看，IWSO 算法更稳定，鲁棒性优于它们；WSO 算法、CHIO 算法和SCA 表现较差。f12和f13函数较复杂，最优值很难找到，但IWSO 算法整体上优于所有对比算法。综上所述，IWSO 算法在多峰函数上具有良好的收敛精度和鲁棒性。

表2 多峰函数上的对比实验结果Tab.2 Comparative experimental results on multimodal functions

3.2.3 固定维度多峰函数实验结果

表3 为算法在固定维度多峰函数上的对比实验结果。从找到理论最优值维度分析：IWSO 算法、WSO 算法、HBA 和WHO 算法在所有10 个函数上都能找到理论最优值；WOA 为5个，CHIO 算法为3个，SCA 为2个，表现相对较差。从算法的稳定性维度分析：除了f14，从均值和标准差看，IWSO 算法表现出稳健的鲁棒性，整体好于对比算法。特别在f15、f21～f23上，IWSO 算法每次均能收敛到理论最优值，表现出优越的鲁棒性，而对比算法均易陷入局部极值，鲁棒性欠佳。因此，IWSO 算法提升了WSO 算法在固定维度多峰函数上寻优的稳定性，整体性能优于其他对比算法。

表3 固定维度多峰函数上的对比实验结果Tab.3 Comparison experimental results on fixed dimensional multimodal functions

综上所述，IWSO 算法在3 种不同类型的函数上均表现出了优越的寻优性能，在收敛精度和稳定性上较对比算法大幅提升，说明本文所提出的改进策略是可行和有效的。

3.2.4 收敛性分析

除了收敛精度和稳定性外，衡量一个元启发式算法性能优劣的重要指标是收敛速度。收敛速度代表达到问题预设精度所耗费的迭代周期，在一定程度上反映了算法获得最佳解时所花费时间的优劣。图5 为各算法在部分函数上的收敛曲线对比图。横坐标代表迭代次数，纵坐标代表到目前为止获得的最佳解（做10 为底的对数处理）。

从图5 可见，IWSO 算法的收敛曲线整体呈起伏前进形态，说明算法能够有效跳出局部极值，不断向最佳解收敛。在f1～f4上，IWSO 算法在100 次迭代左右即能收敛到函数的最优值0，对比算法均不能。在f9和f11上，IWSO 算法找到最优值0 仅需几步迭代，较对比算法中表现较好的WOA、HBA、WHO 算法大幅提高。综上说明所提Sinusoidal 混沌映射、动态惯性权重的鸟群搜索行为和精英白鲨余弦变异策略的有效集成，可提高IWSO 算法的收敛速度和精度。

图5 收敛曲线对比图Fig.5 Comparison of convergence curves

3.3 在CEC2014 复合函数上的实验结果和分析

为了进一步验证IWSO 算法在更复杂函数上的寻优性能，本文做IWOS 算法和6 种对比算法在CEC2014 中8 个复杂复合函数上的实验。以平均值、标准差作为评价指标。对实验结果做p=5%显著性水平下的Wilcoxon 秩和检验，以说明实验真实性，以决策算法的性能优劣，实验结果如表4 所示。CEC2014 复合函数较复杂，理论最优值很难获得。从Wilcoxon 秩和检验结果看：IWSO算法在8 个函数上均优于WSO 算法、CHIO 算法、WHO 算法和SCA；IWSO 算法在6 个函数上优于WOA，在2 个函数上相当；IWSO 算法在6 个函数上优于HBA，在f26上相当，在f27上略逊。特别地，在f30、f31上，IWSO 算法的收敛精度较对比算法提升4～6 个数量级。综上，进一步验证了所提3 种策略的有效性。

表4 CEC2014 复合函数上的对比实验结果Tab.4 Comparison experimental results on the CEC2014 composite functions

4 IWSO 在更高维度上的寻优性能

限于篇幅，本文选择f1～f4这4 个函数做维度为300 和1 000 维的实验，以充分展示IWSO 算法在更高维度时的优越性能。对比实验主要在IWSO 算法和基本WSO 算法之间进行，种群规模和最大迭代次数仍设为30 和500，独立进行30 次实验，实验结果如表5 所示。表5 的平均值和标准差指标清晰地表明：IWSO 算法在300 维和1 000维时每次都能收敛到函数的最优值0，不受维度变大的影响；基本WSO 算法在300 和1 000 维上收敛结果变得更差。这进一步说明，IWSO 算法充分解决了WSO 算法处理高维函数时性能较差的不足，达到了算法改进的目的。

表5 在更高维度上的对比实验结果Tab.5 Comparison experimental results in higher dimensions

5 结论

针对白鲨优化（WSO）算法在处理高维函数时存在早熟收敛，精度较差的不足，提出了一种改进的白鲨优化（IWSO）算法。IWSO 算法集成了Sinusoidal 混沌映射初始化策略、基于鸟群搜索行为的速度更新策略和精英白鲨余弦变异策略。首先，在23 个基准函数和CEC2014 中8 个复合函数上进行了对比实验，实验结果表明，IWSO 算法在收敛精度、速度及其鲁棒性上整体优于WSO 算法、CHIO 算法、WOA、HBA、WHO 算法和SCA。其次，在300 和1 000 维度上做更高维度性能分析实验，结果表明，IWSO 算法均能收敛到函数的理论最优值，充分解决了WSO 算法处理高维函数时性能较差的不足。大量实验结果表明，3 种策略的有效集成提高了初始解的多样性及在解空间的分布，加快了白鲨向猎物游动的速度，有效维持了探索和开发之间的微平衡，进而达到了提升算法性能的目的。白鲨优化（WSO）算法是2022 年新提出的元启发式算法，相关研究和应用尚处于起步阶段，下一步的重点工作，将研究使用IWSO 算法解决现实世界的实际工程优化问题。