数形结合，化此题无解为一题多解

庞海燕

一、问题呈现

正弦定理和余弦定理在解三角形中有着举足轻重的作用，学生利用正余弦定理实现边角转化，求边算角。可笔者在教学时碰见下面这道题，着实难住了一些学生，连呼无法解。

例 [ΔABC]中，角[A，B，C]所对的边分别为[a，b，c]，若[A=π3]，则[a（cosC+3sinC）]的值为（）

学生在课堂上反映无论用正弦定理还是余弦定理，想直接将条件实行边角转换，都很难突破。有的学生尝试将[cosC+3sinC]合一变形，得到[2asin（C+π6）]或[2acos（C-π3）]，又苦于算不下去。

二、一题多解

教师引导：“如果数不行，形行不行？”学生就此展开了讨论，得出如下三种解法。

解法一：如图1，作[BD⊥AC]于[D]，有

[a（cosC+3sinC）=acosC+3asinC=CD+3BD]，知道[CD+AD=AC=b]，而上式中[BD]的系数[3]该如何处理呢？注意到[π3]三角函数值的特殊性，有[3BD =  33BD  +  233BD  =  BDtanA  +  BD32=AD+BDsinA=AD+AB  ]，于是有[CD+3BD=CD+AD+AB=AC+AB=b+c]，求得答案[B]。

反思：在图形中找到条件中数式对应的几何线段，系数[3]的处理充分应用[π3]的三角函数值，提升学生的数感，落实数据分析核心素养。

解法二：如图2，[a（cosC+3sinC）=2asin（C+π6）]，作角[A]的角平分线[AE]交[BC]于[E]，则[∠AEB=C+π6]，且[sin∠AEB=sin（C+π6）=sin∠AEC]。[ΔABE]中，由正弦定理，[BEsin∠BAE=ABsin∠AEB]，得[BEsin∠AEB=ABsin∠BAE=c2]，[ΔACE]中，由正弦定理，[CEsin∠CAE=ACsin∠AEC]，得[CEsin∠AEC=ACsin∠CAE=b2]，[BEsin∠AEB+C E sin ∠ AEC = B C sin ∠ AEB =a sin ∠ AEB = b+c2] ，[2asin（C+π6）=2?b+c2=b+c。]

反思：在图中作出[C+π6]，是本方法的核心。从[π3]到[π6]，角平分线很关键，再到[C+π6]，外角定理发挥了作用，提升学生以形助数，由数辅形，落实逻辑推理核心素养。

解法三：不妨假设[C>π3]（[C≤π3]类似可得），如图3，[a（cosC+3sinC）=2acos（C-π3）]，在[AB]上取点[F]，使得[∠ACF=π3]，则[∠BCF=C-π3]，[ΔACF]为等边三角形。延长[CF]至[G]，过[B]作[BG⊥AG]。[2acos（C-π3）=2acos∠BCF=2CG=2（FG+CF）=2FG+2CF=BG+GA+AC]，由[CF=AF=AC]，得[BG+GA+AC=c+b]。

反思：在图中作出[C-π3]，再到[2acos（C-π3）]的图形转化，法二比法三更具挑战，前面形转数的艰辛却也换来运算的畅快，学生从这一过程中深刻体会到数形结合的妙处。

实际上，本题直接使用正弦定理也可得出答案，而学生的卡点主要是系数的处理。于是有下面的解法。

解法四：[a（cosC+3sinC）=2RsinAcosC+23sinAsinC]，由[sinA=32]，代入上式得

[2R（sinAcosC+32sinC）=2R（sinAcosC+12sinC+sinC）]

[=2R（sinAcosC+cosAsinC+sinC）=2R（sin（A+C）+sinC）=2R（sinB+sinC）=b+c]

三、教学反思

正余弦定理的解题教学主要围绕公式计算，课堂上这道借助于数形结合思想来解三角形的题目，解开了学生的“数”的困扰，也为他们打开了“形”的大门。实际上，正余弦定理、射影定理的证明本身也可以从形出发，实现多种方法的证明，教学中可以做渗透，举例如下。

由图4，以锐角[ΔABC]为例，作[AD⊥BC]于[D]，有[AD=csinB=bsinC]，化简得[csinC=bsinB]，同理[asinA=csinC]，正弦定理得证；[BC=BD+CD=ccosB+bcosC=a]，同理[acosB+bcosA=c]，射影定理得证。

[AD=csinB，CD=BC-BD=a-ccosB]，[ΔACD]中根据勾股定理，得[b2=（a-ccosB）2+（csinB）2，]即[b2=a2+c2-2accosB]，余弦定理得证。

正如华罗庚教授说的：“数缺形时少直观，形少数时难入微;数形结合百般好，隔离分家万事休。”数学中，一个对象用不同领域的方式表示并不是数学游戏，它标志着看问题角度的变化，会带来实质性的内容变化。教师在利用正余弦定理解三角形的教学过程中可以引导学生多视角来分析问题，实现一题多解，多题一解，提升学生的思维品质。