Heisenberg李代数的形心

余德民 马洁京 蒋婵

摘要：Heisenberg李代数是一类重要的可解李代数， 有深刻的物理背景， 因而也是李代数研究的重要对象之一. 李代数的形心是研究李代数结构的必要工具. 特别地， 形心具有自然的环结构， 其所有可逆元构成一个群. 本文讨论了有限维和无限维Heisenberg李代数的形心及其结构.

关键词：李代数; 形心; 群; 环

中图分类号： O152.5  文献标识码：A   DOI：10.19907/j.0490-6756.2023.051004

收稿日期：  2023-03-23

基金项目：  国家自然科学基金（11771135）； 湖南理工学院科研创新团队基金（2019-TD-15）

作者简介：   余德民（1975-）， 男， 湖南岳阳人， 副教授， 主要研究领域为李代数. E-mail： yudeming8640024@126.com

On the centroid of Heisenberg Lie algebra

YU De-Min， MA Jie-Jing， JIANG Chan

（College of Mathematics， Hunan Institute of Science and Technology， Yueyang 414006， China）

Heisenberg Lie algebra belongs to a class of solvable Lie algebras. It has a deep physical background and thus is an important object of Lie algebra study. The centroid of Lie algebra is a necessary tool for the study of structure of Lie algebra. Particularly， the center of shape has a natural ring structure and all its invertible elements form a group. In this paper， the centroid and structure of finite-or infinite-dimensional Heisenberg Lie algebra are discussed.

Lie algebra; Centroid; Group; Ring

（2010 MSC 17B30， 17D25）

1 引  言

形心是李代数研究中的一个基本概念  ［1］ ， 也是究李代数结构理论一个重要工具. 当前，对李代数形心的研究已有部分结果， 如陈和高研究了扩张Schrodinger-Virasoro李代数的形心  ［2］ ， 王和张研究了 n -李超代数的形心  ［3］ ， 周和曹研究了Jordan-李代数的形心  ［4］ ， Bai等  ［5］ Liu等  ［6］ 和曹燕等  ［7］ 分别研究了 n -李代数、李三系、Leibniz三系代数的形心，等.

值得注意的是， 现有文献中研究无限维李代数、无限维李超代数及无限维 n -李代数上的形心的较多， 而研究有限维李代数的形心及其形心结构的却很少. 鉴于此， 本文将讨论有限维李代数和无限维李代数的形心及其结构.

Heisenberg代数是一类二步幂零李代数，其中心是一维的. 它有深刻的物理背景， 因而是李代数研究的重要对象.文献［8］研究了Heisenberg李代数的自同构群，文献［9］研究了Heisenberg李代数的Rota-Baxter算子， 而文献［10］则研究了Heisenberg李代数的自同构及拟自同构.

Heisenberg代数的可解扩张李代数（我们称其为扩张Heisenberg代数）是一类可解李代数. 可解李代数在有限维李代数研究中占有重要地位. 因此， 进一步研究扩张Heisenberg代数的代数性质是有理论意义的. 文献［11］研究了扩张Heisenberg代数的导子代数与自同构群及二维复射影空间的实子流形.

形心属于李代数的结构和交叉问题， 而李代数结构与表示问题一直是李代数研究的热点问题  ［12-16］  .

余德民， 等： Heisenberg李代数的形心

本文主要研究有限维和无限维Heisenberg李代数的形心及其结构， 重点研究其群和环结构. 形心具有自然的环结构， 它的所有可逆元构成一个群. 由于形心首先是线性变换， 因而形心在选定的一组基下就与矩阵形成一一对应关系. 本文在研究有限维Heisenberg 李代数时将利用形心的定义找出矩阵所应满足的条件. 文中相对重要的定理是引理2.2、定理3.5及定理4.2.