基于Dirichlet-to-Neumann映射计算太赫兹频段旋电光子晶体带隙结构

查显昊 胡真

摘要： 用扩展Dirichlet-to-Neumann（DtN）映射方法计算太赫兹频段二维旋电光子晶体的带隙结构，由于DtN映射方法仅需在单元晶格的边界上进行离散，避免在其内部离散，因此减少了未知数的个数，使计算速度大幅度加快. 首先，构造旋电光子晶体单元晶格的DtN映射; 其次，将光子晶体的带隙结构问题转化为矩阵的特征值问题进行求解; 最后，数值模拟验证用DtN映射方法计算旋电光子晶体带隙结构的有效性.

关键词： 数值方法； Dirichlet-to-Neumann映射； 特征值问题； 旋电光子晶体； 光子带隙

中图分类号： O436  文献标志码： A  文章编号： 1671-5489（2023）02-0400-07

Computing Bandgap Structures of Gyroelectric Photonic Crystals in Terahertz Band Based on Dirichlet-to-Neumann Map

ZHA Xianhao，HU Zhen

（College of Science，Hohai University，Nanjing 211100，China）

Abstract： We used the extended Dirichlet-to-Neumann （DtN） map method to calculate the bandgap structures

of two-dimensional gyroelectirc photonic crystals in terahertz band. Because the DtN map method only needed to discretize on the boundaries o

f the cell lattice and avoided discretization in its interior，so the number of discretization points was reduced，which made the calculation much faster.

Firstly，the DtN map of a unit cell of gyroelectirc photonic crystals was constructed. Secondly，the bandgap structrue of photonic crystal was transformed into the eigenvalue problem of matrix. Finally，

numerical simulation verified the effectiveness of using DtN map method to calculate the bandgap structure of gyroelectric photonic crystals.

Keywords： numerical method; Dirichlet-to-Neumann map; eigenvalue problem; gyroelectric photonic crystal; photonic bandgap

收稿日期： 2022-05-20.

第一作者簡介： 查显昊（1996—），男，汉族，硕士研究生，从事光子结构数值模拟的研究，E-mail： zhaxianhao@hhu.edu.cn.

通信作者简介： 胡 真（1982—），男，汉族，博士，副教授，从事光子结构数值模拟的研究，E-mail： huzhen@hhu.edu.cn.

基金项目： 中央高校基本科研业务费专项基金（批准号： B200202002）.

光子晶体［1］是由不同介电材料周期性排列构成的人工晶体，广泛应用于光子晶体波导［2］、 谐振腔［3］、 光环形器［4］和光隔离器［5］等领域. 磁光光子晶体［6］是用磁光材料制成的晶体结构，可分为旋磁光子晶体和旋电光子晶体. 在外加磁场作用下，旋电材料的介电常数变成非对角元不为零的二阶张量［7］. 旋电光子晶体具有光子晶体的光学特性（光子带隙）和磁光材料的磁光效应. 结合这两种特性，旋电光子晶体支持单向电磁边缘模式，可用来开发非互易的太赫兹器件.

由于目前对光子晶体的研究大多数被限制在微波频段，其对应的光器件尺寸太大而不易在芯片上集成. 因此，在太赫兹波段或可见光波段实现单向传输效应具有重要意义. 太赫兹波段旋电光子晶体具有开发超低损耗、 紧凑的太赫兹组件和集成设备的能力. 在旋电光子晶体的能带图中，简并点在外加磁场的作用下发生分离，产生一条新的光子带隙. 在新的带隙中存在单向边缘模式，该模式依赖于传输边界的表面结构. 旋电光子晶体的边缘电磁模式具有单向传输的特征，可用来实现非互易性太赫兹器件，在有较大的障碍物、 大角度弯曲和损耗等情况下，单向传输波仍可实现免疫背向散射［8］.

传统计算光子晶体带隙结构的方法有平面波展开法［9-11］、 有限元法［10-11］和有限时域差分法［12］等. 有限元法需离散区域内部，相关矩阵不易求解，且对色散介质建立的非线性特征值问题较复杂. 当光子晶体结构复杂或含有缺陷时，由于计算能力限制，平面波展开法难以准确计算，收敛速度慢，当介电常数是一个随频率变化的值时，本征方程没有一个确定的形式，此时平面波展开法也无法求解. 有限时域差分法需较小的网格尺寸解决具有高指数对比的材料界面，并需较小的时间步长保持数值的稳定性.

文献［13-14］提出了一种用于分析光子晶体带隙结构的方法，即Dirichlet-to-Neumann（DtN）映射方法. DtN映射方法以单元晶格的DtN映射为基础，利用光子晶体结构的几何特点，建立相应的特征值问题或边值问题分析光子晶体结构的各类性质. 利用DtN映射方法，Huang等［14-15］计算了光子晶体多层结构的透射和反射光谱，并分析了正方形周期排列的介质柱光子晶体波导管； Yuan等［13，16］计算了正方形和三角形周期排列光子晶体的光子带隙； Hu等［17-19］模拟分析了二维光子晶体拐弯、 分支和波导管-微腔耦合结构、 Mach-Zehnder干涉仪以及光子晶体异质结构； Ye等［20］计算了正方形、 三角形和蜂巢状光子晶体等频线; 王梦梦等［21］分析了半无限二维光子晶体的表面模式. 本文扩展DtN映射方法，将其用于计算太赫兹频段二维旋电光子晶体的带隙结构. 通过构造旋电光子单元晶格的DtN映射，并基于该映射建立特征值问题进行求解，避免了在单元晶格内部的离散，仅需在边界上进行离散，从而减少了未知数的个数，使特征值问题所涉及的矩阵较小，大幅度提高了计算速度，有利于旋电光子晶体结构的优化设计，并用数值算例验证了方法的有效性.

綜上，本文用扩展DtN映射方法计算了太赫兹频段二维旋电光子晶体的带隙结构，并数值模拟验证了DtN映射方法计算旋电光子晶体带隙结构的有效性. 由于DtN映射方法避免了在单元晶

格内部离散，仅需在边界上进行离散，因此相应的矩阵规模较小，提高了计算速度，与传统平面波展开法和有限元法相比，该方法具有高效性. 在本文研究的旋电光子晶体结

构中，旋电材料介质柱或挖取的空气洞截面均为标准圆形，因此可在单元晶格中用Helmholtz方程的柱面波特解的线性组合表示通解，从而构造出旋电光子晶体单元晶格的DtN映射.

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（責任编辑：  王 健）