基于变限积分法的非线性Schr?dinger方程的数值格式

张燕 冯立新

摘要： 首先，利用变限积分法和四阶Runge-Kutta法分别离散含五次项的非线性Schr?dinger方程的空间和时间变量，并构造初边值问题的全离散格式； 其次，在理论上证明其数值解的有界性、 存在唯一性以及收敛阶； 最后，用数值模拟验证理论分析的有效性.

关键词： Schr?dinger方程； 变限积分法； 四阶Runge-Kutta法； 收敛性分析

中图分类号： O241.82  文献标志码： A  文章编号： 1671-5489（2023）02-0303-07

Numerical Scheme of Nonlinear Schr?dinger Equation Based on Variable Limit Integral Method

ZHANG Yan，FENG Lixin

（School of Mathematical Sciences，Heilongjiang University，Harbin 150080，China）

Abstract： Firstly，the variable limit integral method and the fourth-order Runge-Kutta method were used to discretize the spatial and te

mporal variables of a nonlinear Schr?dinger equation with a fifth order term，respectively，and a fully-discrete scheme for the initial boundary value problem was constructed. Secondly，we theoretic

ally proved the boundedness，existence，uniqueness and the order of convergence of the numerical solution. Finally，the numerical simulations verified the validity of the theoretical analysis.

Keywords： Schr?dinger equation; variable integral method; fourth-order Runge-Kutta method; convergence analysis

收稿日期： 2022-07-04.

第一作者簡介： 张 燕（1997—），女，汉族，硕士研究生，从事数学物理反问题及其数值解法的研究，E-mail： w1941329266@163.com.

通信作者简介： 冯立新（1975—），女，汉族，博士，教授，从事数学物理反问题及其数值解法的研究，E-mail： fenglixin@hlju.edu.cn.

基金项目： 国家自然科学基金面上项目（批准号： 11871198）和黑龙江省自然科学基金（批准号： LH2022A021）.

0 引 言

非线性Schr?dinger方程在光纤通信、 非线性波动力学等领域应用广泛［1-3］. Cloot等［4］首次用有限差分法数值求解了含五次项的非线性Schr?dinger方程的初值问题； 张法勇等［5］利用有限差分法对该方程进行了数值分析，并给出了一个全离散的守恒差分格式； 张鲁明等［6］基于该方程提出了一类广义的含五次项的非线性Schr?dinger方程的初边值问题：

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（責任编辑： 李 琦）