广义Ablowitz-Ladik方程的守恒律和Darboux变换

谢伟康 樊方成 周冉

摘要： 基于新的2×2离散矩阵谱问题，研究广义Ablowitz-Ladik（AL）方程的守恒律和Darboux变换. 首先，利用Riccati方法给出广义AL方程的无穷守恒律，并得到其显式表示; 其次，借助Lax对和规范变换构造广义AL方程的Darboux变换; 最后，选择恰当的种子解，给出广义AL方程的显式精确解，得到2-扭结孤子解，并分析解的动力学性质.

关键词： 广义Ablowitz-Ladik方程; Lax对; 守恒律; Darboux变换; 精确解

中图分类号： O175.29  文献标志码： A  文章编号： 1671-5489（2023）02-0246-05

Conservation Law and Darboux Transformation of Generalized Ablowitz-Ladik  Equation

XIE Weikang1，FAN Fangcheng1，ZHOU Ran2

（1. School of Mathematics and Statistics，Minnan Normal University，Zhangzhou 363000，Fujian Province，China;

2. College of Mathematics，Jilin University，Changchun 130012，China）

Abstract： Based on  a new 2×2 discrete matrix spectral problem，we  studied conservation law and Darboux transformation of generalized Ablowitz-Ladik （AL）

equation. Firstly，we gave infinite  conservation law of the generalized AL equation and obtained its explicit representation by using Riccati  method.

Secondly，Darboux transformation （DT） of the generalized AL equation was constructed by means of the Lax pair and gauge transformation. Finally， by choosing the appropriate

seed solution，we gave the explicit exact solutions of the generalized AL equation， obtained 2-kink soliton，and analyzed the dynamic properties of the solution.

Keywords： generalized Ablowitz-Ladik  equation; Lax pair; conservation law; Darboux transformation; exact solution

收稿日期： 2022-04-20.

第一作者简介： 谢伟康（1998—），男，汉族，硕士，从事可积系统及其应用的研究，E-mail： xieweikang7@163.com.

通信作者简介： 樊方成 （1989—），男，汉族，博士，副教授，从事可积系统及其应用的研究，E-mail： fanfc@mnnu.edu.cn.

基金项目： 福建省自然科学基金面上项目（批准号： 2022J01892）.

0 引 言

非线性Schr?dinger（NLS）方程在非線性光学、 等离子体、 水波理论、 生物物理学、 Bose-Einstein凝聚态等物理学领域应用广泛［1-2］.  Ablowitz-Ladik（AL）方程是NLS方程的离散形式，可描述光学系统中的self-trapping机制、 化学性质和凝聚态等［3］.这两类方程都是完全可积的，能通过Hirota双线性方法［4］、 Darboux变换［5］和Riemann-Hilbert方法［6］等得到其孤子解、 呼吸子解和怪波解等. 这些结果为解释相关物理现象提供了理论依据.

综上，本文从新的2×2离散矩阵谱问题（2）和（4）出发，研究了广义AL方程（3）的无穷守恒律和Darboux变换. 一方面，借助Riccati方程组构造法得到了广义AL方程的无穷守恒律，并给出了其显式表示; 另一方面，通过Lax对和规范变换构造了广义AL方程的Darboux变换，通过选择种子解un=1，vn=1，给出了广义AL方程的显式精确解（9），又通过选择适当的参数，得到了2-扭结孤子，并分析了其动力学行为.

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（责任编辑： 赵立芹）