理解抽象的层次性 落实数学抽象素养

【摘 要】本文基于王尚志教授对三角函数概念形成的教学分析，从数学抽象思维过程的层次性與产物结构的层次性两方面出发，对三角函数概念形成的六个主要阶段进行教学设计，为教师在实际教学中理解数学抽象的过程与层次性，发掘数学抽象之美，落实数学抽象素养提供启示。

【关键词】三角函数；数学抽象；概念形成；层次分析

一、引言

《国务院办公厅关于新时代推进普通高中育人方式改革的指导意见》中明确指出：“深化课堂教学改革……培养适应终身发展和社会发展需要的正确价值观念、必备品格和关键能力。”［1］为了能在数学课堂中高效率地落实核心素养，王尚志教授在“国培计划（2020）”天津师范大学培训班中，以任意角三角函数概念的形成为例，鞭辟入里地阐释如何理解数学抽象的层次性，进而落实数学抽象素养。

任意角的三角函数在三角学中具有重要地位，由于其定义方式与幂、指数和对数函数的定义方式有所不同，因此引导学生建构任意角三角函数的概念历来都是教学中的重点和难点。［2］在以往的教学设计中，章建跃的单位圆定义法单刀直入［3］，再在适当的时机联系锐角三角函数，不失为一种不错的选择。不过这种设计在导入的伊始，与学生已有认知结构中锐角三角函数概念的联系不够紧密，可能会增加学生的认知负荷。那么，如何在保证借助单位圆定义三角函数的前提下，照顾到学生的锐角三角函数的经验基础，实施任意角三角函数概念的教学呢？本文立足于数学抽象的层次性，深入分析三角函数概念形成过程中抽象的六个阶段，为广大一线教师实施教学、落实数学抽象素养提供启示。

二、数学抽象的层次性分析

数学研究对象是对现实世界的数量关系与空间形式的逐级抽象形成的形式化思想材料，这种思想材料的获得并不是一蹴而就的，而是逐级抽象的结果。［4］数学本身是一个层次分明的学科，每一层都是建立在之前的层次之上。数学抽象的层次性可以从两方面理解：一是在思维过程中体现层次性，二是在产物结构上具有层次性。

（一）数学抽象在思维过程中体现层次性

从思维过程与活动上看，数学抽象具有层次性。史宁中等把数学概念的抽象过程划分为三个层级：第一层是简约阶段，包含辨别、分化、类化3个步骤；第二层是符号阶段，包含检验、概括2个步骤；第三层是普适阶段，包含推广、形式2个步骤。［5］这三个层级7个步骤共同组成了概念形成的一般抽象过程。在任意角三角函数概念形成的教学中，这7个步骤可构成教学内容的明线，通过建立认知冲突，体会用单位圆定义三角函数的便利性，提升学生的数学抽象能力。

（二）数学抽象在产物结构上具有层次性

从数学内容上看，数学抽象的产物在结构上也具有层次性。为反映抽象物所具有的抽象性层次，徐利治等定义了抽象度的概念，创立了抽象度分析法，以对数学概念和具体数学问题中的抽象程度进行分析。［6］他将数学抽象的方法分为强抽象、弱抽象、广义抽象，分别刻画了特殊化、一般化、类比联想、归纳猜测等思想方法的表现形式。在任意角三角函数概念的抽象过程中，需要从初中已形成的三角函数原型中选取某一侧面加以抽象，从而获得更广的认识结构，使原结构成为新结构的特例，这也是概念扩张式抽象中的弱抽象。具体可写出如下抽象概念链：

锐角三角函数值?以角为自变量的三角函数?一般三角函数

其中?是构成抽象链的序关系。在教学过程中，这一三角函数的抽象链可构成教学内容的暗线，引导学生从已形成的锐角三角函数的认识基础出发，深化对三角函数概念的理解，形成一般三角函数的概念。

三、基于数学抽象层次分析的“任意角三角函数概念”教学设计

（一）辨别阶段：初中形成的三角函数概念

辨别阶段主要是辨别各种刺激模式。这些刺激模式可以是学生已形成的认知经验基础，也可以是与学生日常生活相关的经验事实。从初中锐角三角函数的定义入手，有利于调动学生在初中三角函数学习过程中的有关知识，进而实现由外部刺激引入学习情境。通过对三角函数概念体系进行逐级抽象，学生可以看清知识的来龙去脉，认识到三角函数在不同阶段领域的联系与区别，展示数学抽象的独特魅力。

问题1 在初中，我们是如何研究锐角α的正弦、余弦函数的？

初中是利用相似的直角三角形，探索学习特殊角锐角三角函数的值。这主要研究的是锐角三角函数值的计算，而不是真正意义上的函数分析。可倘若以单位圆的定义方式直接引入，学生难免会产生“为什么引进单位圆？这一做法是如何想到的？”等疑问。因此在教学过程设计中，从学生已有认知结构中对边的比的认识出发，明确数学抽象的基础与原型，有助于实现三角函数概念从初中静态认识到高中动态理解的顺利过渡。

（二）分化阶段：让变化融入三角函数

分化阶段主要是分化出各种刺激模式的属性。为理解高中三角函数概念的本质属性，就需要从函数和变化的视角对刺激模式的属性予以分化。三角函数概念的抽象过程需要学生亲身经历、动手体验，在再发现、再创造的过程中逐渐形成对概念的深刻认识，因此通过寻找具体三角函数值的几何表征，让学生感受用不同方式描述三角函数概念的特点，该过程有利于发展数学抽象素养。

问题2 （1）如何用几何图形画出sin60°？

（2）再画一个sin45°，你会选用何种方法？

（3）在之前的学习中，我们知道函数是研究事物变化规律的数学模型。以区间0°到90°为例，如何在变化中表示三角函数？

初中大多是在静态的过程中研究直角三角形的边角关系，而函数是研究变化规律的数学模型，因此就需要学生从变化的角度重新认识三角函数。以0°到90°为例，从边的比方面考虑，有两种描述变化的表示方法：第一种是固定直角三角形的一条直角边的长度，通过变化另一条直角边与斜边的长度进而表示不同角度的大小如图2（a）；第二种是固定一条斜边的长度，通过两条直角边的变化对不同的角度进行表示如图2（b）。通过几何直观的形式展现直角三角形中两种边角关系变化的描述方法，有利于突破在（单位）圆中定义任意角三角函数的教学难点。

问题3 图2中描述变化的方式有什么不同？各自有何优势？

图2（a）的描述方式可以直接从初中所学的知识推广得出，也可以连续地描述角的变化情况，学生易于理解和接受。但是这种方式既不利于用代数符号对变化的量予以表征，也不利于推广至大于90°角的情形。对于图2（b），由于直角三角形斜边的长度是固定不变的，因此线段的一个端点绕另一个端点旋转一周所形成的轨迹就是一个圆，如果简化一点就可以把它看作是一个单位圆，对于给定的0°到90°的锐角α，角的一边与单位圆交点的横坐标与初中所定义的cos α保持一致，纵坐标与初中定义的sin α保持一致。教学时引导学生对这两种方式进行比较，有利于明确引入单位圆模型的自然性与合理性，同时借助单位圆模型把握三角函数概念中的关键属性——终边与单位圆交点的横坐标与纵坐标。

（三）类化阶段：从0°到90°的三角函数到任意角三角函数

类化阶段主要是提出抽象对象关键属性的种种假设。在三角函数概念的形成过程中，共同关键属性可假设为：角度同角的终边与单位圆的交点的横、纵坐标分别一一对应。在概念形成的同时渗透坐标法的思想，有助于发展学生的数学抽象素养。与此同时，依托数学思想方法可以深化对三角函数概念的理解，有助于学生认识并形成数学抽象的思维方式，进而感受数学抽象之美。

问题4 图2中哪种描述变化的方式更有利于三角函数概念的推广？为什么？

对任意角三角函数概念的拓展，首先需要对角的定义进行推广，其次要对三角函数的定义进行推广。角的定义的推广在之前的学习中就已经完成。对于三角函数的概念而言，借助单位圆模型是更有利于推广的，因为在这个模型中渗透了解析几何的思想——以点的坐标替代边的比例关系。因此借助直角坐标系的单位圆模型，从0°到90°角拓展至任意角的过程中，角的终边始终会与单位圆有一个唯一交点P，此时点P的横坐标x就是0°到90°角的横坐标的推广，我们将其定义为cos α，纵坐标[y]定义为sin α，纵坐标与横坐标的比y/x定义为tan α。解析几何的思想不仅体现在任意角三角函数概念的形成过程中，在描述一般函数变化时，坐标思想也起到了重要作用。通过上述过程引导学生感悟坐标在解决函数问题时的实用性，这对培养学生分析和解决问题的能力，在特定的情境中检验假设，确认用点的坐标定义任意角三角函数这个关键属性都具有重要意义。

（四）检验阶段：从任意角三角函数到三角函数

检验阶段主要是在特定的情境中检验假设，确认概念的关键属性。在检验过程中，采用变式是一种有效手段。通过列举其他周期变化现象的实例，展示三角函數概念由浅入深的抽象过程，实现从“角度与实数集之间一一对应”到“实数集与实数集之间一一对应”的突破。学生逐步形成具体模型到形式模型的一般认识，感受数学抽象的层次性。

问题5 三角函数除了描述物体做匀速圆周运动，还能描述如简谐振动、潮汐变化等周期变化。以角为自变量的三角函数与一般三角函数概念之间存在哪些差别？

第一，以角为自变量的三角函数不足以反映对三角函数的整体的理解。例如潮汐现象也是可以利用三角函数来描述的一个现实模型，其自变量是时间而不是角度。此外，简谐振动、交流电等均可以用三角函数来描述。这些周期变化的自变量和函数值都可以是与角无关的其他量。

（五）概括阶段：整体理解三角函数概念

概括阶段主要是在概括的基础上形成概念。在验证了假设后，需要将关键属性抽象出来，并能区分有从属关系的概念之间的不同属性。将高中三角函数的概念与初中三角函数、高中函数概念的相关观念分化，并用语言概括说明。这一阶段可以帮助学生梳理三角函数概念的抽象过程，形成概念的逻辑链条，实现数学抽象能力的螺旋发展。

问题6 如何从多个角度全面理解三角函数概念？

第一个角度：三角函数是刻画变量间变化规律的数学模型。第二个角度：三角函数是实数集之间特殊的对应关系。第三个角度：三角函数是平面直角坐标系中一种特殊的图象。通过深入剖析概念的内涵全面认识三角函数，使三角函数概念与学生已有认知结构中初中三角函数的概念、函数的概念、函数图象的概念建构起实质性的联系，这也是三角函数概念形成过程中的一个关键步骤。

（六）推广阶段：全面认识函数，感悟数学抽象素养

推广阶段主要是将新概念的共同关键属性拓展到同类事物中去。三角函数既然是一类函数，那么便可以用函数的研究方法去探究三角函数的基本要素（定义域、值域、对应关系）和有关性质（奇偶性、单调性等）。此过程可以促使学生将三角函数的概念融会贯通，内化认知。

问题7 回忆三角函数概念的学习过程，你对函数的概念又有了哪些新的认识？

在三角函数概念的形成过程中，需要站在变化的视角对角的大小进行描述，也需要在自变量与因变量是两个实数集的情况下进行研究，这两个特点也正是高中函数概念之精华所在。通过系统地回顾三角函数概念形成的过程，帮助学生理解函数这个重要的上位概念，从而发展数学抽象素养，适当合理地渗透推理与直观想象。

四、结语

在学习和应用数学的过程中，提升和发展数学抽象素养是实现数学课程目标的关键。［7］教师在日常教学中，要充分理解数学抽象在思维过程与数学内容中的层次性，以生活和数学情境为抽象基础［8］，以数学探究活动为抽象载体，以数学课程中的核心概念和模型为抽象内容，通过合理地设置问题串展现抽象的来龙去脉，进而有意识地发掘数学抽象之美。

参考文献：

［1］国务院办公厅关于新时代推进普通高中育人方式改革的指导意见［EB/OL］．（2019-06-19）［2023-02-19］．http：//www.gov.cn/zhengce/content/2019-06/19/content_5401568.htm．

［2］沈威，曹广福.高中三角函数教育形态的重构［J］.数学教育学报，2017（6）：14-21，71.

［3］章建跃.为什么用单位圆上点的坐标定义任意角的三角函数［J］.数学通报，2007（1）：15-18.

［4］吴立宝，王光明.数学特征视角下的核心素养层次分析［J］.现代基础教育研究，2017（3）：11-16.

［5］史宁中，王尚志.普通高中数学课程标准（2017年版）解读［M］.北京：高等教育出版社，2018：82-83．

［6］徐利治，王光明.数学方法论选读［M］. 2版.北京：北京师范大学出版社，2019：35-43.

［7］王尚志，吕世虎，张思明.理解《普通高中数学课程标准（2017年版）》的八个关键问题［J］.人民教育，2018（9）：54-55.

［8］张雁冰，李健，吕天玺. 2022年高考数学情境化试题的特征分析［J］.中学数学杂志，2022（11）：49-53.

（责任编辑：潘安）