实验中外接球问题教学方法的探究

李必船

［摘  要］ 外接球问题在高考中持续出现且难度较高，通过数学实验可以帮助学生突破空间想象能力提升的瓶颈，在探究中直接获得经验，为数学核心素养的发展创造环境. GeoGebra软件是高中数学立体几何实验理想的工具.

［关键词］ 数学实验；外接球；GeoGebra软件

高考试卷是教师重要的研究对象，一方面为课堂教学确立合理的目标和内容，以提高教学效率，另一方面反思自己在教学中存在的不足和误区，以校正教学方法. 在近几年的高考试卷中，外接球问题持续出现，如2022年全国高考乙卷理科数学第9题（文科数学第12题）、2022年新高考Ⅰ卷第8题和新高考Ⅱ卷第7题都属于此类问题. 在立体几何教学中，师生对外接球问题的关注度都比较高，同时这类试题的难度也相对较高，对学生的数学核心素养有较高的要求.

通过调查与实验，发现教学中要解决的问题

为了调查即将升入高三的学生解决立体几何问题的能力，笔者随机抽取了一些学生，将上述三道高考题发给他们进行实验，发现存在的关键问题是学生的空间想象能力严重不达标，最直接的体现是不能绘制准确的直观图，从而导致后续的逻辑推理和数学计算成了空中楼阁. 具体来看，三道高考题考查的是棱锥、棱台和球的相关知识，对“知识和能力”的要求是画出直观图，根据直观图或轴截图推导出棱锥、棱台的底面外接圆的半径与球的半径满足的关系式. 对“数学核心素养”的要求是具备较高的直观想象、逻辑推理和数学计算素养. 实验中约有三成学生因不能画出直观图而失分，在能画出直观图的学生中，只有约一半的人能够推导出棱锥、棱台的底面外接圆的半径与球的半径满足的关系式. 所以，如何培养学生的直观想象素养，并在直观想象素养的基础上发展逻辑推理和数学计算素养是立体几何教学的重要问题之一.

通过数学实验，建立解决问题的环境

课程标准指出，“立体几何初步”的教学重点是帮助学生逐步形成空间观念，应遵循从整体到局部、从具体到抽象的原则，提供丰富的实物模型或利用计算机软件呈现空间几何体，帮助学生认识空间几何体的结构特征，进一步掌握在平面上表示空间图形的方法和技能.

人教A版普通高中数学教科书（2019年版）推荐的GeoGebra软件很好地解决了这个问题. GeoGebra软件是一款结合几何、代数和微积分的数学动态软件，其“3D视图”功能可以实现空间几何体的动态演示，为立体几何的数学实验提供了可靠的工具.

常见资料中对外接球问题的教学方法不够完善，往往是就事论事，不能推广到一般情况，没有系统的方法体系，更大的问题是忽视了学生空间想象能力的培养，造成推理和计算没有根基. 空间想象能力的形成和提高不是一蹴而就的，要遵循认知的一般规律，所以笔者利用GeoGebra软件设计了几个由简到繁的实验模型，学生通过对实验模型的观察与分析，获得探究经验，掌握结论. 在应用环节，笔者引导学生先寻找适合的模型，让学生在套用结论的过程中逐步熟悉解决问题的方法，然后通过一题多解的训练，理解模型之間的内在联系，掌握解决问题的一般方法，逐渐摆脱对模型的依赖，形成解决问题的能力，提高数学素养.

常见的外接球问题大致可归纳为以下几种模型：截面模型、长方体模型、圆柱模型、圆锥模型、圆台模型、二面角模型. 本文结合2022年高考题叙述圆锥与圆台模型的实验与运用.

运用GeoGebra软件制作实验模型

虽然外接球问题灵活多变，但可以通过GeoGebra软件建立可变的图形，探究多种问题. 在实验中，学生只需要改变参数值或拖动点改变位置，就能够得到不同的图形；还可以拖动坐标轴转换视角，从不同的视角进行观察与探究.

通过实验探究模型的一般结论

实验模型结论的运用

引导学生思考实验模型结论的作用，实验模型不仅可以解决圆锥、圆台的外接球问题，还可以解决棱锥、棱台的外接球问题，只需求出棱锥、棱台的底面外接圆的半径，就可以将它们转化为实验中的圆锥、圆台模型，从而套用实验模型获得的一般结论.

许多外接球问题有多种模型可以套用，关键是根据已知条件分析空间中点、线、面之间的位置关系，寻找满足模型的条件. 在不同模型的对比中，可以锻炼学生的空间想象能力，形成解决一般问题的能力.