线性代数教学的探索与实践

段中雨 孔彦玲

河南开封科技传媒学院经济学院 河南开封 475000

线性代数是理工科院校的一门公共必修课，是大一新生接触的第一门代数类课程。有关线性代数的教学改革不断推进，将线性代数教学改革成果融入教学实践活动中，已在各高校相继展开，教学改革成果不断涌出。其中已发表的线性代数教学改革相关的研究论文中既有具体内容的教学改革讨论[1-2]，也有对线性代数教学改革整体布局的研究[3-4]，还有着眼于哲学在线性代数中的引领作用的研究[5]。本文结合线性代数各章节内容以及代数学发展史，从教学实践出发给出了线性代数教学改革中几点思考和方向。

1 线性代数教学改革方向分析

线性代数作为自然科学类的一门基础课程，是一门应用比较广泛的课程，其理论和方法普遍应用于数学的各个分支，也是计算机科学、物理学、经济学等学科不可或缺的基础。因此，掌握和运用线性代数理论知识，对于理解其他数学分支，学习其他课程都是大有裨益的。但是，线性代数内容抽象、对学生的逻辑思维能力有一定的要求、不同章节之间有着密切的联系，对于刚接触线性代数课程的大一新生来说，难度较大。此外，进行教学改革既需要考虑课时多少，又要考虑学生接受程度，改革过程切忌生搬硬套，而应采取与时俱进的方法，达到“润物细无声”的效果，要想达到此种效果，教学改革任重而道远。

线性代数课程有着丰富的内容，若能结合人才培养目标，积极挖掘线性代数知识点、线性代数发展史、线性代数原理背后蕴含的思想方法，把代数史、代数思想方法巧妙融入日常教学中，以知识内容为导向，课堂讲授为着力点，并将其与课堂教学合理融为一体，则能起到“1+1>2”的效果。这样既增加了课堂的吸引力，又潜移默化地培养了数学情怀，使学生感受数学之美，增强学习兴趣。

首先，线性代数教学改革必须以实际效果为目标。并且，教学改革目标要定位准确，以线性代数教学大纲为基础，进而不断发掘代数思想方法，以代数史为主线，逐步形成各个章节协调配合、循序渐进最终达成线性代数课程培养目标。其次，要落实教学改革效果，通过不同的班级对比，以及成绩、活跃度、课堂参与度等多个方面来评估教学改革的效果，建立切实有效的评估体系。最终不断改进教学方法，以期达到线性代数课程教学目标。

2 教学改革的探索与实践

2.1 发掘代数故事

学习数学课程，无论是专业数学还是公共数学，对于代数学历史背景的了解是必要的，只有扎根于过去，才能培育出新的成果。然而，通常课程所介绍的仅仅是一些数学成就、数学片段，而没有提及概念内容的目的，定理结论是如何探索得到的，以及数学知识是如何在生活中运用来改善我们的日常生活的。因此，在学习理论知识的过程中，应当系统地介绍学科发展脉络，讲解线性代数发展史，包括线性代数的起源、最初的研究对象，直到现代的发展方向。在这个过程中，可以用课前五分钟，从代数史出发，按照代数学发展顺序提供一个“课前讲史平台”，不仅使代数史与课程的内容彼此联系，更能把线性代数课程与数学思想的发展联系起来。让学生体悟数学家克服艰难困苦，探索未知领域，最终经历漫长艰苦的道路，开发新的理论过程，而不仅仅是淹没在漫天的公式、命题和定理之中。在讲到特定的概念，如行列式、向量组等重要概念时，则可以进一步展开说明这些概念的由来。此外，还可以布置课下任务，让学生亲身参与，了解数学家在科学和哲学思想的演进中的推动作用，了解他们对现代数学所产生的重要成果，进而培养数学情感。

借助代数史的发展，一方面可以讲解清楚数学概念的由来，了解其产生的历史背景。比如，在讲解行列式时，可以介绍行列式的起源是17世纪，德国数学家莱布尼茨在求解方程组时，发现总是出现一些数相乘再相加或相减的情况，便想要通过简单的数学符号来表示这一现象，于是行列式应运而生。随后又经过克莱姆、贝祖、范德蒙德、拉普拉斯等数学家的研究，行列式既自成体系，又在方程组的求解等实际问题中发挥着巨大的作用。这样，借助线性代数发展史，既讲清楚了行列式的由来，又点明了行列式的本质是数。这样让学生在了解线性代数发展的基础上，更好地理解线性代数概念的本质。

借助代数史的发展，另一个方面是介绍中国传统数学成就和中国古代数学思想，让学生感受中华民族先贤的璀璨思想，理解中国人民勤劳勇敢，开拓创新的拼搏精神，进而提升民族自信、文化自信。中国作为四大文明古国之一，在文化科学的多个方面取得了开创性的成果，其中数学成就占据着重要的地位，如用尺规画出各种几何图形、用幻方培养数理逻辑、发现勾股定理、求解不定方程等，对世界数学发展产生了深远的影响，这些都可以在线性代数课程教学中反映出来。比如在学习线性方程组时，可以用《九章算术》中记载的问题融入教学设计，进而引入消元法。以此为切入点，介绍方程组的求解，同时也指出，中国的《九章算术》中就已经出现方程组的求解方法，这是已知的世界上最早的求解方程组的方法，在代数学早期历史上占有重要地位，而且《九章算术》在公元1世纪左右就提出了正负数的概念和正负数的运算法则，给出了一些二次方程的解法。让学生从《九章算术》中感受中华民族先贤的独特智慧和探索精神，进而增强文化自信以及民族自豪感。

此外，还可以介绍数学家的生平事迹，可以从个人钻研，学而不厌，开拓创新以及合作交流等方面入手，借助朴素的世界观方法论等，帮助学生培养基础而深刻的数学素养。

2.2 借用代数思想和方法

数学是人类从古至今传承而来的智慧结晶，而代数学则是其中的精髓之一，数学中的巨大成就背后蕴含着深刻的思想方法。线性代数中也蕴含着丰富的辩证法，如特殊与一般、对立与统一、现象与本质、理论与实践等。在线性代数课堂中展现数学内在逻辑，揭示数学定理的本质，不仅有利于学生掌握科学的方法、感受数学之美，而且能够提高学生的思辨能力。科学的思想方法是数学的灵魂，以此作为改革点能够把理论知识和数学思想方法进行有效结合，既提高了学生对于线性代数课程的理解，又加强了学生对世界的认识以及三观的塑造。因此，通过线性代数课程的学习，引导学生掌握知识背后蕴藏的思想方法是非常有意义的。

2.2.1 从特殊到一般的思想

在定义行列式时，首先给出的是二阶、三阶的行列式，只是通过计算的角度给出了行列式的初印象，进而介绍一般的n阶行列式，这种从特殊到一般的思想，在线性代数的学习中时常用到。其一般步骤为从客观具体的现象出发，抓住主要特征，进而抽象出数学概念，总结出一般规律，最终通过科学的方法证明，得到定理、结论等。这种思想渗透在线性代数的方方面面。比如，在方程组的求解中，也是从一个特殊的方程组求解出发，进而总结出科学的方法——消元法，最后应用于一般方程组的求解。启发学生，探索问题可以从特殊情况出发，进而得到一般的真理。

2.2.2 对立统一的思想

在向量组的线性相关性章节中，首先定义了向量组线性相关的概念，接着立即给出了向量组线性无关的概念，并指出向量组要么线性相关要么线性无关，两者之间是非此即彼的关系。以此为切入点，分析线性代数中很多概念都存在对立统一的关系，它们彼此之间既相互排斥、相互独立，又相互依存、相互联系，并且在一定的条件下又可以相互转化。正是这种对立面之间的统一和斗争推动着学科的不断发展和进步，以此，鼓励学生要站在“对立统一”的辩证角度来看待问题。

2.2.3 现象与本质

在二次型的学习中，最主要的问题是判别二次型的正定性。因此，需要借助多种方法化二次型为标准形。这个过程就采用了透过事物现象来研究问题本质的思想方法。无论是配方法，还是正交变换法都实现了化繁为简，找出了问题的本质，把握事物的本质之后，一切正定性的判别问题就迎刃而解。启发学生在解决问题时，把握核心部分，忽略次要部分，把问题转化为相对简洁的形式，进而解决问题。

2.2.4 理论与实践相结合的思想

各门科学都是以现实为基础，又都反映着现实，线性代数也不例外。线性代数课程理论性较强，学生经常遇到学习抽象理论和实际应用相矛盾的情况，应注意理论与实践相结合的思想。在掌握线性代数理论知识的基础上，可以用理论知识与自身学科相结合来解决一些实际问题。例如，矩阵的特征值在实际中的应用。矩阵的特征值和特征向量不仅在研究矩阵对角化中起着关键作用，而且在量子力学、经济学、化学等领域有着重要的影响。例如，在经济学中研究进出口总额与国内生产总值、总消费、存储量之间的关系时，在数据处理时，采用主成分估计就是基于特征值与特征向量理论[6]。启发学生要把理论知识应用到实践中去，注重理论与实践相结合。

线性代数注重数学理论的探究，具有诸多朴素的辩证法思想，注重一般规律。只有让学生对线性代数的思辨性有了深刻的认识，才能够摆脱模糊不清的、约定俗成的部分，进而对线性代数有简明清晰的可靠的理解。通过线性代数中蕴含的思想方法，可以从思辨能力、科学精神、创新思维等方面入手，引导学生分析问题时，要多方面观察，寻找解决问题的可能性和可行性。

2.3 采取“线上+线下”教学模式

随着信息技术的飞速发展，现阶段的学习需要线上线下相结合的学习情景，线上学习时学生之间、师生之间缺乏面对面交流。学生有更多的时间接触网络信息，而大学生思想不够成熟，易被错误信息诱导。部分学生作息混乱，对封闭式管理产生抵触情绪，这些情况对线性代数日常教学工作提出了新的挑战。线性代数课程的讲授应把握当下形势，改变单纯的课堂讲授的教学方式，而教学改革，也应该采取灵活的方式，借助便捷的互联网环境，设计出切实可行的“线上+线下”的教学模式，为单调的理论课程增加人文关怀，引导学生调节自身情绪。首先，在发挥线下课堂主阵地外，也要把握课外师生交流这一教学改革的重要战场，针对“线上+线下”混合式教学的特点，需要加强师生之间的交流沟通，教师可以通过调查问卷、投票等多种形式进行互动，了解学生对教学改革方式的认可程度。其次，还应建立课前挖掘教学方法、课堂潜移默化传播代数思想、课后进阶巩固理论知识的三位一体的教学改革体系。同时，要合理运用共享资源，可以借助雨课堂、超星学习平台等学习APP，发布电子教案、课件、教学视频，以此来进行教学互动[7]。这样既可以让学生获得专业知识，又把代数思想、社会主义核心价值观、中华优秀传统文化等内容传递给了学生，进而提升这些社会主义未来接班人的思想水平和视野。这种采用传统讲授与信息化教学相结合的教学方式来设计课堂教学，就建立起了一种课前、课中、课后全方位的教学新模式。在探索线性代数教学改革多元化教学方法中，将价值引领与知识传授相融合，依托线性代数在线课程建设网络平台，充分发挥网络平台的强大功能和作用，同时借助学习APP平台数据，分析学生课堂学习情况，及时接收教学改革成果，量化教学改革效果。

通过“线上+线下”的教学模式，不仅顺应课堂理论教学与互联网融合的时代环境，而且增加了教学吸引力，加强了师生良性互动，进一步拓展了线性代数课程的影响力。

结语

线性代数教学改革任重道远，在线性代数课程内容中融入代数史和代数思想方法，仍然需要不断地在润物细无声中实现价值引领。通过以上这些探索和实践，在线性代数课程教学内容设计、教学方法选取、教学实践展开等环节将改革方法融入实际教学，在这个过程中要注重实际的教学效果，而不是形式。教学改革应以课堂、课程为起点，激发学生学习兴趣，培养数学思维，最终达到“立德树人”的目的。如何把线性代数教学改革做得更好，仍需要不断优化教学布局，完善课程体系，进行切实有效的探索和实践。