灵活运用构造函数法，提升证明不等式的效率

吴谦

构造函数法是解答高中数学问题的一种常用方法，即通过构造函数，将问题转化为函数的最值或单调性问题来求解.构造函数法常用于求参数的取值范围、证明不等式、比较函数式的大小等.本文主要谈一谈运用构造函数法证明不等式的三种思路，供大家参考.

一、通过作差构造函数

有些不等式左右两边的式子中含有多个单项式， 此时可将不等式左右两边的式子移项，通过作差，来构 造出函数，如将 f （x） > g（x） 化为 h（x） = f （x） - g（x） > 0 ， 将 f （x） < g（x） 化为 h（x） = f （x） - g（x） < 0 .求得函数 h（x） 在定义域内的最值，并使函数 h（x） 的最值恒大于（小 于）0，即可证明不等式成立.

例1.

证明：

目标不等式左右两边的式子较为复杂，于是将左 右两边的式子作差，构造出新函数 F（x） ；然后利用导 函数与函数单调性之间的关系判断出函数的单调性， 求得函数 F（x） 在 x > 0 时的最小值，证明 F（x） > 0 ，即 可证明不等式.通過作差构造出函数，就可以将问题转 化为函数最值问题，即可通过转换解题的思路，顺利 证明不等式.

例2

证明：

首先将要证明的不等式进行移项、作差，使所有 项都位于不等号的左边；然后将变形后不等式左边的 式子构造成函数式，探讨在 x > 0 时函数的单调性以 及值域，即可证明不等式成立.

二、通过换元构造函数

有些不等式的结构较为复杂，其中含有根式、绝 对值、指数幂、对数式等，此时为了简化不等式，需将 不等式中的某一部分式子进行换元，从而构造出新函 数.运用该思路证明不等式，需仔细分析已知条件和不 等式的结构特点，选取合适的代数式进行换元.同时， 在换元的过程中，要注意新旧元取值范围的等价性.

例3

证明：

本题中要证明的不等式较为复杂，于是先根据已 知条件将不等式变形为 ln x1 - ln x2 x1 - x2 > 2 x1 + x2 ；然后引 入新变量，将其替换 x1 x2 ，并构造关于新变量 t 的函数 式，通过讨论函数的单调性和最值，证明函数的最值 小于 0 ，从而证明结论.在遇到结构复杂的不等式问题 时，往往可将其变形，选取多次出现的式子进行换元， 这样便可使复杂的不等式得以简化，以构造出合适的 函数模型.

例4

证明：

首先根据不等式的结构特点，将 1 n 替换为变量 x ，以简化不等式；然后将化简后的不等式构造成函数 式，在定义域 （0，1） 内探讨函数的最小值，即可通过证 明函数的最小值大于 0 ，证明不等式成立.

三、通过放缩构造函数

有时不等式左右两边的式子没有直接联系，我们 很难证明不等式.此时，不妨将不等式左右两边的式子 进行适当的放缩，可根据重要不等式 ln x ≤ x - 1 、 e x ≥ x + 1 、a + b ≥ 2 ab （a > 0，b > 0） 等进行放缩，也可 将不等式与某个函数关联起来进行放缩.再构造出函 数模型，通过求函数的值域，进而运用不等式的传递 性证明不等式成立.

例5

证明：

在证明第二个问题中的不等式时，需借助第一个 问题中的结论，将要证明的不等式进行放缩，并构造 函数 h（x） = ln x - x + 1 以及 g（x） = x 2 - x + 2 - 2 sin x ，使 问题转化为证明 f （x） < h（x） < g（x） ，利用导数法分别 求得两个函数的最值，即可证明不等式成立.

根据不等式的结构特点，将不等式进行适当的变形，如作差、换元、放缩，从而构造出不同的函数模型，即可将不等式问题转化为熟悉的函数最值问题来求解，这样便达到了化难为易，化繁为简的效果.

（作者单位：江苏省泗洪姜堰高级中学）