由一道题谈解答抽象函数选择题的思路

徐山

抽象函数问题具有较强的抽象性，这类问题往往不会给出函数的解析式，要求根据题意求函数的周期、单调区间、最值以及某个函数值.对于与抽象函数有关的选择题，一般有两种求解思路：利用赋值法和构造函数法.下面结合实例进行探讨.

例题：已知函数 f（x）的定义域为R，f（x +y）+f（x -y）=f（x）f（y），且f（1）=1，则 f（k）=（ ）.

A.-3  B.-2  C.0  D.1

一、赋值法

赋值法是解答抽象函数问题常用的方法.在解题时，往往要先根据题意选取合适的特殊值进行赋值，常选取的特殊值有0、1、-1、x、-x 等，以得到 f（0）、 f（1）、f（-1）、f（-x）的表达式，从而确定一些特殊点的函数值，以及函数的性质，如奇偶性、对称性、周期性等，为解题提供更多的条件和依据.

解：

解答本題主要用了赋值法.首先令 x =1，y =0，得出 f（0）=2；然后令 x =0，判断出函数的奇偶性；再令 y =1，判断出函数的周期性；最后根据函数的奇偶性和周期性进行代换，求得 f（k）的值.

二、构造函数模型

在解答与抽象函数有关的选择题时，为了使问题变得具象化，我们可以根据题意构造出合适的函数模型，并代入一些特殊值进行验证，即可将问题转化为常规函数的单调性、求值、最值、零点问题来求解.

解：

由题目中的已知条件 f（x +y）+f（x -y）=f（x）f（y），联想到余弦函数的和差化积的公式：cos（x +y）+ cos（x -y）=2 cos x cosy ，于是构造出函数 f（x）=a cos wx ，这样便将问题转化为三角函数求值问题，利用余弦函数的周期性、三角函数值进行求解，即可解题.

通过探讨一道题目的多种解法，我们不仅可以熟悉一类问题的本质和解法，还能通过研究，找出具有普适性、一般性的方法，从而明确此类问题的“通性通法”，提升解题的效率.

（作者单位：江苏省宿迁市第一高级中学）