理清关系，探寻思路巧解答

朱月红

定义是解决问题的基础

数学是讲道理的。计算、证明过程的每一步都要严密、有理有据。定义是数学计算、推理的基础。利用定义解题，可提高解题效率，取得事半功倍的效果。

例1 若m是方程2x2-3x-1=0的一个根，则6m2-9m+2019的值为 。

【分析】根据一元二次方程的解的定义即可求出答案。

解：根据题意，得2m2-3m-1=0，

∴2m2-3m=1。

∴原式=3（2m2-3m）+2019=2022。

故答案是2022。

【小贴士】本题考查一元二次方程的解，解题关键是正确理解一元二次方程的解的定义。同学们，你有没有先解方程再分别代入求值？这样的话，既费时又易错。

数学思想是解题的灵魂

数学思想是数学知识、数学技能、数学方法的本质体现，是形成数学能力、数学意识的桥梁，是灵活运用数学知识、方法的灵魂。方程与不等式之间存在联系，在求解时隐含了各种思想方法，这些思想方法是架设在数学知识间的桥梁。

例2 解方程：[1x-2]=[4x+1]。

【分析】方程两边可同乘（x-2）（x+1），化成整式方程求解。

解：方程两边同乘（x-2）（x+1），得

x+1=4（x-2），

∴x=3。

检验：将x=3代入（x-2）（x+1），得

（x-2）（x+1）≠0。

∴x=3是原方程的解。

∴原方程的解是x=3。

【小贴士】本题考查了分式方程的求解。解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程。特别要注意，解分式方程时一定要验根。

例3 若方程组[3x+2y=k+1，2x+3y=4k-1]的解满足x＞y，求k的取值范围。

解法1：用含k的代数式分别表示x、y，得[x=-k+1，y=2k-1。]

∵x＞y，∴-k+1＞2k-1。

∴k＜[23]。

解法2：观察所给方程组的未知数系数，不难发现，两个方程中未知数x、y的系数进行了互换。若将两个方程相加，得到5x+5y=5k，则未知数x、y的系数相同；若将两个方程相减，得到x-y=2-3k，則未知数x、y的系数互为相反数，特殊的系数特征会有特殊的解法。不等式x＞y移项后，可转化为x-y＞0，呈现出两个方程相减后的整体x-y，将这个整体用含k的代数式表示，即可得到关于k的不等式，从而得解。请同学们试一试。

【小贴士】请同学们比较一下解法1和解法2，再次感受整体思想和转化思想。我们在解题时不要急于下笔，要认真观察并分析题意，选择合适的方法，养成回顾反思的学习习惯，这样才能积累解题经验。

方程和不等式之间既有联系，又有差异，在一定意义上具有特殊与一般的关系，因而决定了这两部分内容的考查既有一些相似的特点，又各有侧重。在学习中，我们要理清关系，分析思路，方可寻得出路。

［作者单位：江苏省泰州市医药高新区（高港区）教师发展中心］